由数列的递推关系求数列通项公式方法总结

由递推关系求数列通项问题—“不动点”法由递推公式求其数列通项历来是高考的重点和热点题型，对那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键．与递推关系对应的函数的“不动点”决定着递推数列的增减情况，因此我们可以利用对函数“不动点”问题的研究结果，来简化对数列通项问题的探究。笔者在长期的教学实践中，不断总结探究反思，对那些难求通项的数列综合问题，形成利用函数不动点知识探究的规律性总结，以期对同学们解题有所帮助．1不动点的定义一般的，设了〔X）的定义域为D,若存在心ED，使成立，则称为的不动点，或称（忌冰J为图像的不动点。2求线性递推数列的通项定理1设冷十+也工〔订），且为的不动点，满足递推关系吗二了（冷（，总二…，证明是公比为a的等比数列。证：•・•是的不动点，所以，所以，所以，.••数列是公比为金的等比数列。例1已知数列｛%｝的前讯项和为且鳩二占-北厂跖，&吕川⑴证明：｛叫T｝是等比数列；（2）求数列｛$｝的通项公式，并求出使得盘+1>垃成立的最小正整证：⑴当n=1时，a=-14；当n>2时，a=S-S=-5a+5a+1,即6碍二気+10工2）即1 nnn—1 nn—1，记 ，令，求出不动点心二1,由定理1知：6066爲_1=；〔込_1_卫22），又a—1=—15弟，所以数列｛a—1｝是等比数列。（2）解略。1n3求非线性递推数列的通项定理2设 ，且是的不动点，数列满足递推关系，总二…，cx-\-d2c（i）若珂工乃，则数列是公比为的等比数列；（ii）珂二冷二础，则数列是公差为的等差a十用

数列。说眄+色 3—£珂证：（i）由题设知□鬲亠抚 c3—C：疋同理岀-b=（a-门叨西.@—亡砧叫-\-b—刈珂a—c(d!—CX2)^n+3_必2所以数列是公比为的等比数列。（ii）由题设知=疋的解为兀1二也二心,...且=1_1说勢i_两一莎斗上（ii）由题设知=疋的解为兀1二也二心,...且=1_1说勢i_两一莎斗上1:乔7 0caK十』（口一皈血十土盛）3-晒血厂亦 &_%_cax一：筍+』+卞咼-c d+c^0 1— — 3_%)宓_%)a-e^a-c^%_心.a-dd+; 12c12c，所以数列是公差为 的等差数列。&一吒马，一心务一知心+圧 □十r例2设数列｛%｝的前"项和为显，且方程工一理-工-①二0有一根为显-1（応时"）。求数列｛理｝的通项公式。解：依题丐二13£,且毘“尸-叮陰"）■%二o,将比二孟-莒-1代入上式，得1 _2-Sk亍记”*丄，令"E，求出不动点心九由定理1 _2-Sk亍所以数列■■■ y—［是公差为-1的等差数列，所以E=因此数列｛%｝的通项公式为叫

例3已知数列仏｝中,曲：K+1（I）设^=|a=，求数列｛乞｝的通项公式.（II）例3已知数列仏｝中,曲：K+1（I）设^=|a=，求数列｛乞｝的通项公式.（II）求使不等式%<%戟<3成立的疔的X、—占解：（1）依题吗+1=35 1 5^-2，记畑二%纽，令fd，求出不动点咼=h 2由定理2（i）知：直两式相除得到M-1M+1是以工为公比’ 为首项的等比数=-2-4b_1=-2-列，所以,（II）解略。列，所以,3.I1.定理3设 ，且是的不动点，数列满足递推关系，左二23…，则有T.ax+d•In，故代>0，则>0是公比为•In，故代>0，则>0是公比为2的等比数列。耳+1—珂—「％—咼诅 」一玛丁）；若门F，则'In%'是公比为2的等比数列。dj!+l_X2-务—牝J证：*•*是的不动点，•••=b-tJZj ， dx2=b—曲；菖話+1-珂a-+£■-（2lj-ljh+^）zl a-+匕2ci•j -b理+1—孔■J 1 ._ n. —a +P—（2&• +占）疋2 a-~l-•匕一Acr <y3+阪f-hx：-3例4已知数列仗」满足叫=4， .⑴求证：心=3；⑵求证：兀叙<耳；⑶求数列的通项公式．证：⑴、⑵证略；⑶依题 ，记 ，令了㈡）二x，求出不动点兀一斗 2忙一4= = ；由定理3知：^M41£-3= = ；由定理3知：^M41£-3_]=（兀阪-4 2xa-4Ln寻所以汙心-1L丿¥，又吕=駅》所以咤詈斗氓圣.’ 五1一1T T兀一1 「、又 ，令 ，则数列心是首项为1，公比为，的等比数列•所以▽対•由Z心,得川二巴所以I嘉利用函数“不动点”法求解较复杂的递推数列的通项问题，并不局限于以上三种类型，基于高考数列试题的难度，本文不再对更为复杂的递推数列进行论述，以下两个定理供有兴趣