真空中的静电场1

真空中的静电场+-静电场第十章electrostaticfieldchapter10本章内容本章内容ContentsCoulomb'slaw库仑定律电场电场强度electricfieldelectricfieldstrength高斯定理Gauss'stheorem电势能electricpotential电势electricpotentialenergy

本章内容interactionofelectrostaticfieldwithconductor电容capacity静电场与介质的相互作用interactionofelectrostaticfieldwithdielectric

介质中的高斯定理Gausstheoremindielectric

电场的能量energyofelectricfield

电场与导体的相互作用

10.1

库仑定律

Coulomb’sLaw库仑定律库仑定律一、电荷电荷---组成实物的某些基本粒子（电子、质子等）的固有属性之一。自然界存在正、负两种电荷，同性电荷相斥，异性相吸。电荷的量子性自然界中任何带电体的电量（电荷的定量量度）总是以某一基本单元（）的整数倍（）出现。QenQne为电子或质子带电量的绝对值。ee271369.0173101库仑（）C电荷守恒定律电荷守恒定律在一个与外界没有电荷交换的系统内，任一时刻存在于系统中的正、负电荷的代数和始终保持不变。该定律的要点：电荷的代数和不变性孤立系统中正、负电荷各自的量可能发生变化，但其代数和恒保持不变。例如，正、负电子相遇转化为两个光子。高能光子经过另一粒子附近时可能转换为正、负电子对。电荷的相对论不变性孤立系统的电量，与其运动状态无关。在不同参考系内进行观察，系统总电量保持不变。电荷守恒定律对宏观过程和微观过程均适用。真空库仑定律二、真空中的库仑定律点电荷相对于要研究的问题，其大小和形状可以忽略的带电体。q1rr2q施力点电荷受力点电荷施受单位矢量距离真空中两静止点电荷的的相互作用力（静电力或库仑力）kFq12qr2r其中k0e4p10e24815.0812mCN.21.2称真空电容率0e或真空介电系数续库仑定律这种矢量表达式不论为同号q12q或异号电荷，也不论谁是受q12q力者均可适用。例如，带负电2q2q()0,q1带正电()0,q1若考虑2q受力F,所得结果F0,即与反向，Fr与定性判断一致。真空中的库仑定律又可写成Frq12qr20e4p13rq12qr0e4p1q1rr2q施力点电荷受力点电荷施受单位矢量距离真空中两静止点电荷的的相互作用力（静电力或库仑力）kFq12qr2r其中k0e4p10e24815.0812mCN.21.2称真空电容率0e或真空介电系数

10.2

电场电场强度

electricfieldelectricfieldstrength早期：电磁理论是超距作用理论后来:法拉第提出近距作用并提出力线和场的概念一、电场

(electricfield)电场：给电荷以力的作用的物理场1.电场的宏观表现对放其内的任何电荷都有作用力电场力对移动电荷作功（电场强度）（电势）电场电场强度电场电场强度2.静电场

相对于观察者静止的电荷产生的电场是电磁场的一种特殊形式又称库仑场。静止电荷之间的作用力是通过静电场来传递的

电荷电场电荷电量为Q的带电体在空间产生电场描述场中各点电场强弱的物理量是电场强度二、电场强度思考试验电荷必须满足两小：电量充分地小线度足够地小试验电荷放到场点P处，试验电荷受力为试验表明：确定场点比值与试验电荷无关电场强度定义定义方法：为什么？讨论1)2)矢量场3)SI中单位4)电荷在场中受的电场力点电荷在外场中受的电场力或一般带电体在外场中受力随堂小议(1)

E与q成反比，因为公式中q0

出现在分母上。电场强度0q的物理意义表明EF0请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议(2)

E与q无关，因为分子F中含有q因子。00结束选择(1)

E与q成反比，因为公式中q0

出现在分母上。电场强度0q的物理意义表明EF0请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议(2)

E与q无关，因为分子F中含有q因子。00结束选择小议链接1小议链接2(1)

E与q成反比，因为公式中q0

出现在分母上。电场强度0q的物理意义表明EF0请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议(2)

E与q无关，因为分子F中含有q因子。00结束选择三、电场强度的计算1.点电荷Q的场强公式要解决的问题是：场源点电荷Q的场中各点电场强度。解决的办法：根据库仑定律和场强的定义。由库仑定律有，首先，将试验点电荷q放置场点P处1)

球对称由库仑定律由场强定义讨论2)场强方向：正电荷受力方向由上述两式得2.场强叠加原理任意带电体的场强1）如果带电体由n个点电荷组成，如图由电力叠加原理由场强定义整理后得或根据电力叠加原理和场强定义2）如果带电体电荷连续分布，如图把带电体看作是由许多个电荷元组成，然后利用场强叠加原理求解。P体电荷密度面电荷密度线电荷密度电荷密度电偶极子的场

首先看一对相距为l的等量异号点电荷的电场强度：根据场强叠加原理：若从电荷连线的中点向场点P画一位矢且满足：r>>l的条件，则这一对等量异号点电荷叫做电偶极子(electricdipole)描述的物理量是电偶极矩(electricmoment)，定义式：方向：从负点电荷指向正点电荷电偶极子场强偶极电荷连线的延长线上某点B处的场强偶极电荷连线的中垂线上某点A处的场强例电偶极子的场强+EAEA+EA()+EAEA+EAcosq2q0e4pl2r2l2()2+r2l2()2+q0e4pl32r2l2()2+EB++EBEBEBq0e4p1rl2()2+rl2()21lq0e4p2rr2l2()22q+EAqEAEAqqlq++qB+EBEBEBrOrArl若则q10e4p3rlEA远rl若则10e4p2ql3rEB远定义偶极矩为l+方向由指向并规定10e4p3r2EB远则EA远10e4p3r，qlp电矩或pp带电直线场强例均匀带电直线的场强ydysinqcosdEr20e4p1ldyxdEydEdEdEqqld线元带电dydy在点产生元场强为P换元dydqctg2tgaraysin()pqsinq()pqtgqrya2sinq2a2cscq2aq,dyacscq2dqdE0e4p1la2cscq20e4p1alacscq2dqdq得E？YXOa1q2q电荷线密度lABLdEydExdErqpqP续16YXO例均匀带电直线的场强rAB1qLyadExdEydE2qdyqpqPsinqcosdEr20e4p1ldyxdEydEdEdEqqld线元带电dydy在点产生元场强为P电荷线密度l换元dydqctg2tgaraysin()pqsinq()pqtgqrya2sinq2a2cscq2aq,dyacscq2dqdE0e4p1la2cscq20e4p1alacscq2dqdq得dE0e4p1aldq得sinxdExE0e4pal1q2qqdqcos0e4pal1q2q()cosydE0e4pal1q2qqdqyEcos0e4pal1q2q()sinsin续17YXO例均匀带电直线的场强rAB1qLyadExdEydE2qdyqpqPsinqcosdEr20e4p1ldyxdEydEdEdEqqld线元带电dydy在点产生元场强为P电荷线密度l换元dydqctg2tgaraysin()pqsinq()pqtgqrya2sinq2a2cscq2aq,dyacscq2dqdE0e4p1la2cscq20e4p1alacscq2dqdq得dE0e4p1aldq得sinxdExE0e4pal1q2qqdqcos0e4pal1q2q()cosydE0e4pal1q2qqdqyEcos0e4pal1q2q()sinsinxEcos0e4pal1q2q()cosyE0e4pal1q2q()sinsinjixE+EyEE2xE+yE2若L为无限长01q2qpExE0epal2E？带电平面场强例无限大均匀带电平面的场强sq电荷面密度sYOzXbrEdyEdxEdydy带电线元场强的积分P带电平面的场强线元的电荷线密度ldys对应于本题Eddysr2pe0运用无限长直电荷场强公式Ela2pe0各线元的对称相消EdyExEdEdcosq续19E？带电平的场强例无限大均匀带电平面的场强sq电荷面密度sYOzXbrEdyEdxEdydy带电线元场强的积分P带电平面的场强线元的电荷线密度ldys对应于本题Eddysr2pe0运用无限长直电荷场强公式Ela2pe0各线元的对称相消EdyExEdEdcosqdysEdr2pe0ExEdEdcosqdysr2pe0cosq2+by2rb得Edysr2pe02bdys2pe0b2+by288s2pe0()ybarctg88s2pe0(2p2p)s2e0两个常用公式注意前述两个推导结果*“无限长”均匀带电直线的场强El0epa2电荷线密度laPE为负时lE反向*EEs电荷面密度s“无限大”均匀带电平面的场强s2e0E为负时E反向s带电圆环场强XqaOXxE？例均匀带电圆环轴上点的场强圆环轴上点的场强P各线元的成对相消Ed线元的电量为dldq2paqdl对应的元场强为Ed10e4p2dqrxEdcosqEdsinEdEdq圆周上各线元在点的元场强的矢量和PE则xEdcosqEd02pa10e4p2dqrxr()10e4pqxxa2+2322pa102padl()0e4pqxxa2+232dlrqEdxEdEdP续22XqaOXxE？带电圆环场强例均匀带电圆环轴上点的场强圆环轴上点的场强P各线元的成对相消Ed线元的电量为dldq2paqdl对应的元场强为Ed10e4p2dqrxEdcosqEdsinEdEdq圆周上各线元在点的元场强的矢量和PE则xEdcosqEd02pa10e4p2dqrxr()10e4pqxxa2+2322pa102padl()0e4pqxxa2+232dlrqEdxEdEdPXqaOxrEPE0e4pqx()xa2+232结果：又因()xa2+221r故又可表成3E0e4pqxr若xa（远场）x()xa2+232xx312x则0e4pq远E(2x)相当于点电荷的场强带电圆盘场强E？ss例均匀带电薄圆盘轴上点的场强圆盘在点的场强P各同心环带元在点的元场强的矢量和PRROOXxrEdadadaaP电荷面密度sada某圆环半径，环带宽dq该环带电为2psaadEx()423pe0q+2ax2运用带电圆环轴上场强公式Edx()423pe0+2ax2dq对应于本题为4pe0()23+2ax2x2psaadE则Ed2e0sxR0a()23+2ax2ad2e0sx1()2+2ax210R2e0s(1x)+2x2R若x（超近场）则相当于无穷大带电平面的场强Rx+2x2R以至0超近E2e0s带电球面场强E？R电荷面密度sOr例均匀带电球面的场强球面在点的场强P球面上各环带元在点的元场强的矢量和PEx()423pe0q+2ax2运用带电圆环轴上场强公式a某环带半径sinq环带宽dq环带面积为2pdsaadq2sinqdq2pRRRR对应于本题为Ed()234pe0+2ax2dqx总电量q4p2Rs环带带电量sdqdss2sinqdq2pR21qsinqdq2pe08cosq()rRqsinqdqsinq2R2+cosq()rR23dqRldqqOaaxEdP续25带电球面场强E？R电荷面密度sOr例均匀带电球面的场强球面在点的场强P球面上各环带元在点的元场强的矢量和PEx()423pe0q+2ax2运用带电圆环轴上场强公式a某环带半径sinq环带宽dq环带面积为2pdsaadq2sinqdq2pRRRR环带带电量sdqds对应于本题为Ed()234pe0+2ax2dqxqdqOaaxEdP总电量q4p2Rss2sinqdq2pR21qsinqdqldqR2pe08cosq()rRqsinqdqsinq2R2+cosq()rR232pe08cosq()rRqsinqdqsinq2R2+cosq()rR23Ed为积分方便换元dqldQ2R+2r2cosq()rRpe08cosq()rRqsinqdq23由POQl2R+2r2cosq()rR12ld得2R+2r2cosq()rRrRsinqdqEdE22()pe08qRrrR++rr1rR2l2lrRl2dl16pe0Rr2qRrrR++2rR2l2l2dl16pe0Rr2ql2rR2lRrrR+qpe0r24P点在球面外：若P点在球面内积分限为RrrR+到，结果得0E点电荷电偶极子无限长带电线(柱面柱体）无限大带电面（板）r>>dr>>lr<<Lr<<dPPPP理想模型条件带电体P场点结束

10.3

高斯定理

Gauss’stheorem真空中静电场的高斯定理一、电场线（电力线或线）E静电场的虚拟形象描述电场线+-垂直的面元dsENd条通过E约定：某点处电场线的方向是该点处NddsE的方向。电场线的密度定为E定量规定：

通过单位垂直面积的电力线条数等于该区域的电场强度值电场线的性质1)电场线起始于正电荷(或无穷远处)，终止于负电荷，不会在没有电荷处中断；2)两条电场线不会相交；3)电场线不会形成闭合曲线。由静电场的基本性质和场的单值性决定的。可用静电场的基本性质方程加以证明。++-++++----电通量二、电通量（通量）E电通量电通量：通过电场中某一个面的电场线数。ef匀强电场中通过某一平面的通量sEEEsnnsefEsEEsnnsqqqqqcossqcossefEsqcos续28sqEnds非匀强电场中通过任一曲面的通量sEE通过面元的元通量dsefdefdqcosdsE定义面元矢量dsndsefd则的定义式为efdqcosdsEEds通过曲面的通量为sEefdefsqcosdsEEdsss若为封闭曲面，应规定n各个面元的均指向曲面外，sefEds并作封闭面积分凡例例EEnnRqqqq圆面非封闭半球面ef2pREef2pREef2pRE匀强efqcosdsEsEdss封闭半球面封闭球面任意封闭曲面nnnnnEnnnn匀强E非匀强sefEds0ef0ef0即进、出同一封闭面的线数目相等，总通量均为零。E特例引入下节例封闭球面中心有点电荷E+qqrrnqe04pr24pr2he0qefEdssEef-qqrrn同理可得qe0e0qq用负值带入+qqs12sss12ss对球面对球面对包围的任意封闭曲面q：：必有efqe0efqe0efqe0高斯定理e0qefef0+qsEef通过任意封闭曲面的通量sE回顾前例内q在sq在外s+Eqs高斯定理将给出更普遍的表述三、高斯定理续32外sEds0efsEds0qs在2ef112内efsEdsefsEefsEe0dse0dse0qs在i13ii2i1i23iqi1qi2qi3efsEEdse0sEdse0()+()E1+)总E2+Ei1+i2+3iqi1+qi2+qi31qiS通过任意封闭曲面的通量sEqisefEdssqcosdsESe01+-++-s任意封闭曲面（简称高斯面）q1q1iq3iq2iq2在真空中通过任一封闭曲面的电通量该曲面内电荷电量的代数和除以e0注意EqiS及在面ss内、外ds的合场强一切电荷的面元处s内的电荷电量的代数和三、高斯定理续33续28++-+-q1q1iq3iq2iq2s任意封闭曲面通过任意封闭曲面的通量sEqisefEdssqcosdsESe01s内的电荷电量的代数和在面ss内、外ds的合场强一切电荷的面元处（简称高斯面）三、高斯定理Q任意带电体s内的电荷电量的代数和dqQ积分随堂小议（1）为零，也可能不为零；（2）处处为零。请在放映状态下点击你认为是对的答案

若通过一闭合曲面的通量为零，则此闭合曲面上的一定是EE随堂小议结束选择小议链接1（1）为零，也可能不为零；（2）处处为零。请在放映状态下点击你认为是对的答案

若通过一闭合曲面的通量为零，则此闭合曲面上的一定是EE随堂小议结束选择小议链接2（1）为零，也可能不为零；（2）处处为零。请在放映状态下点击你认为是对的答案

若通过一闭合曲面的通量为零，则此闭合曲面上的一定是EE随堂小议结束选择1)闭合面内、外电荷的贡献2)静电场性质的基本方程

e>0,表明面内净电荷为正，正电荷为源头，

e<0,表明面内净电荷为负，负电荷为源尾。3)微分形式讨论都有贡献对对电通量的贡献有差别只有闭合面内的电量对电通量有贡献有源场4)源于库仑定律高于库仑定律库仑定律只适用于静止的点电荷,高斯定理适用于任何带电体;高斯定理不仅适用于静电场，也适用于变化的电场；当带电体的电荷分布具有一定的对称性时，可以用高斯定理方便地求场强分布。常见的电量分布的对称性：

球对称柱对称面对称均匀带电的球体球面(点电荷)无限长柱体柱面带电线无限大平板平面利用高斯定律求静电场的分布★★★1.步骤（1）根据电荷分布对称性分析电场分布对称性；（2）应用高斯定律求场强。2.关键选择合适的高斯面，使E能以标量形式方便地从积分号中提出。四、应用高斯定理求场强某些带电体的电场具有某种特殊的对称性分布，应用高斯定理，恰当选取高斯面，能方便地求出场强。sefEdsqiSe01sqcosdsEs(1)根据电荷(电场)分布的对称性，选取适当高斯面；(2)某一高斯面上或高斯面的某一部分上场强大小不变；(3)高斯面上场强与面元法线方向夹角恒定,便于计算。高斯面的选取3.举例目的：1)清晰用高斯定理解题的步骤2)通过解题明确用高斯定理解题的条件3)简单的解作为基本结论记住并且能熟练使用。

理论是建立在理想模型之上的RPrORErr

例求电量为Q半径为R的均匀带电球面的电场强度分布对称性分析第1步：根据电荷分布的对称性选取合适的高斯面(闭合面)解:取过场点P的以球心o为心的球面第2步：从高斯定理等式的左方入手计算高斯面的电通量第3步：根据高斯定