数学竞赛专题函数奇偶性和单调性

11.已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)

若f(0)＝2004，求f(2004)

解：因为f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)所以f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)

两式相加得0＝f(x－1)＋f(x＋2)

即：f(x＋3)＝－f(x)∴f(x＋6)＝f(x)

12．设函数f(x)对任一实数x满足f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)，且f(0)=0。求证：f(x)在[-30，30]上至少有13个零点且f(x)是以10为周期的函数。

解．f(x)关于x=2和x=7对称。

f(4)＝f(2+2)＝f(2－2)＝f(0)＝0,f(10)＝f(7+3)＝f(7－3)＝f(4)＝0，于是（0，10]上至少有两个零点。

f(x＋10)＝f(7＋3＋x)＝f(7－3－x)＝f(4－x)＝f(2＋2－x)＝f(2－2＋x)＝f(x)，∴f(x)以10为周期。f(－30)=f(－30＋3×10)=f(0)=0．综上，f(x)在[－30，30]上至少有13个零点13．函数f(x)=的图象的对称轴方程为x=2，则常数a=

－4

.函数第三讲奇偶性和单调性莆田四中许沐英这里主要研究运用函数的概念及函数的性质解题,函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的.关于函数的有关性质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教材复习,这里以例题讲解应用一.函数奇偶性的定义：如果对于函数f（x）的定义域内任意的一个x，都有：（1）f（－x）=－f（x），则称y=f（x）为奇函数（2）f（－x）=f（x），则称y=f（x）为偶函数例1：若f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)=x·(4－3x),求当x＜０时,f(x)的解析式【解法1】x＞0时，f(x)=x·(4－3x)，在其上取三点P1（0，0）、则它们关于原点的对称点分别是Q1(0，0)，设x＜０时，34)32()(2-+=xaxf∵Q2在其上，∴

解之，得a=3，∴x＜０时，034)3234(2=-+-a)43(34)32(3)(2+=-+=xxxxf例1：若f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)=x·(4－3x),求当x＜０时,f(x)的解析式【解法2】设x＜0，则－x＞0∴f(－x)=(－x)·(4+3x)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x)∴x＜0时，f(x)=－f(－x)=x(4+3x)．

例2已知函数f(x)对任意实数a，b都有，且f（0）≠0，则f(x)是（A）奇函数非偶函数（B）偶函数非奇函数（C）是奇函数也是偶函数（D）既非奇函数也非偶函数

例3函数y=f(x)在(-∞,0]

上是减函数，而函数y=f(x+1)是偶函数．设，b=f(3)，c=f(

)．那么a，b，c的大小关系是____.【解】,c=f(

)∵y=f(x+1)是偶函数∴y=f(x)的图像关于x=1对称，于是由y=f(x)在(-∞,0]上递减知，f(x)在[2,+∞)上递增．∵f(－2)=f(4)而2＜3＜

＜4∴f(3)＜f(

)＜f(4)，即b＜c＜a．．例4.设f(x)是R上的奇函数，且f(x＋3)＝－f(x)，当0≤x≤时，f(x)＝x，则f(2003)＝()

A.－1 B.0 C.1 D.2003解：f(x＋6)＝f(x＋3＋3)＝－f(x＋3)＝f(x)

∴f(x)的周期为6

f(2003)＝f(6×335－1)＝f(－1)＝－f⑴＝－1

用定义证明函数的单调性的步骤:(1).设x1＜x2,并是某个区间上任意二值;(2).作差

f(x1)－f(x2);(3).判断

f(x1)－f(x2)的符号:(4).作结论.①分解因式,得出因式x1－x2

.②配成非负实数和.

方法小结二.函数的单调性

例5

已知函数，判断该函数在区间上的单调性，并说明理由．【解法1】设．11)(212112+++-+-=xxxxxx22112111)()(xxxxxfxf++--+=-úúûùêêëé++++-×-=111)(211212xxxxxx∴f(x1)>f(x2)

故函数是减函数．111112121122+++<+Þïþïýü+<+<xxxxxxxx1111212<++++Þxxxx01111212>++++-Þxxxxxxxf-+=1)(【解法2】x≥0时，和都是增函数，∴也是增函数，从而是上的减函数．xxxxy++=-+=111xx++1xxy++=11[)+¥,0例6填空（1）函数的递增区间是______．（2）函数递减区间是___．

在y轴左侧，增减的转折点是x=－2，且先减后增，故[-2,0]是递增区间；在y轴右侧，增减的转折点是x=2，且先减后增，故[2,+∞)

是递增区间．654321-1-2-3-4-5-6-7-6-4-224例7.已知(3x＋y)2001＋x2001＋4x＋y＝0，求4x＋y的值.解：构造函数f(x)＝x2001＋x，则

f(3x＋y)＋f(x)＝0

注意到f(x)是奇函数且为R上的增函数，

所以3x＋y＝－x

4x＋y＝0例8解方程：ln(＋x)＋ln(＋2x)＋3x＝0

解：构造函数f(x)＝ln(