大学数学二向量空间

§1空间向量及其线性运算一、向量概念向量:

既有大小,又有方向的量,称为向量.(或矢量)2.向量的几何表示法:

用一条有方向的线段来表示向量.以线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.AB向量AB的大小叫做向量的模.记为模为1的向量称为单位向量.模为0的向量称为零向量，它的方向可以看作是任意的.特别3.自由向量自由向量:只有大小、方向,而无特定起点的向量.具有在空间中可以任意平移的性质.

大小相等且方向相同,二、向量的加减法1.定义1.1.向量加法(1)平行四边形法则设有(若起点不重合,可平移至重合).作以为邻边的平行四边形,对角线向量,称为的和,记作(2)三角形法则将之一平行移动,使 的起点与的终点重合,则由 的起点到的终点所引的向量为2.向量加法的运算规律.(1)交换律:(2)结合律:例如:3.向量减法.(1)负向量:与模相同而方向相反的向量,称为的负向量.记作(2)向量减法.规定:（a）

平行四边形法则.将之一平移,使起点重合,作以为邻边的平行四边形,对角线向量,为（b）三角形法则.将之一平移,使起点重合,由的终点向的终点作一向量,即为三、数与向量的乘法1.定义1.2:实数

与向量的为一个向量.其中:当

>0时,当

<0时,当

=0时,2.数与向量的乘积的运算规律:(1)结合律:(2)分配律:(

<0)(

>0)结论:

设表示与非零向量同向的单位向量.则或定理1.1:两个非零向量平行存在唯一实数

，使得例1.1:

在平行四边形ABCD中,设AB=,AD=试用表示向量MA,MB,MC,和MD.其中,M是平行四边形对角线的交点.解:=AC=2MC有MC=又=BD=2MD有MD=MB=

MD

MA=

MC

DABCM四.向量在轴上的投影1.点在轴上投影设有空间一点A及轴

u,过

A作

u轴的垂直平面

π,平面

π

与

u轴的交点A'

叫做点

A在轴

u上的投影.A'Auπ2.向量在轴上的投影.设有向线段AB的起点A和终点B在轴u上的投影分别为点A

和B

.定义1.3:B'BA'Au向量AB在轴u上的投影向量或射影向量.称有向线段A

B

为如果向量e为与轴u的正方向的单位向量，则称

x

为向量AB

在轴u上的投影，记作则向量AB的投影向量A'B'有：B'BA'Aue3.两向量的夹角设有非零向量(起点同).规定：正向间位于0到之间的那个夹角为的夹角,记为或(1)若同向，则(2)若反向，则(3)若不平行，则4.向量的投影性质.定理1.2.(投影定理)设向量AB与轴u的夹角为

则

ProjuAB=||AB||·cos

B

BA

Au

B1

定理1.3

两个向量的和在轴u上的投影等于两上向量在该轴上的投影的和。推论:B

BA

AuCC

即即定理1.4:实数

与向量的乘积在轴u上的投影，等于

乘以向量在该轴上的投影。一、空间直角坐标系的建立1.空间直角坐标系ozxyzxyx轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)组成了一个空间直角坐标系,又称笛卡尔(Descartes)坐标系，点O叫做坐标原点.o§2空间直角坐标系与空间向量的坐标表示2.坐标面.由三条坐标轴的任意两条确定的平面,称为坐标面,分别叫xy面.yz面、zx面,它们将空间分成八个卦限.zIVVIVVII0xyVIIIIIIIII1.点在空间直角坐标系中的坐标表示.RQP<M>(x,y,z)记:点M为M(x,y,z)OxyzMxyz二、空间向量的表示(1)若点M在yz面上,则x=0;

在zx面上,则y=0;

在xy面上,则z=0.(2)若点M在

x轴上,则y=z=0在y轴上,则x=z=0在z轴上,则x=y=0特别:2.空间向量的坐标表示(1).起点在原点的向量OM设点M(x,y,z)以i,j,k分别表示沿x,y,z轴正向的单位向量,称为基本单位向量.

OM=OA+AN+NM=OA+OB+OC=xi+yj+

zkx,y,z,分别是OM在三坐标轴上的投影,称为OM的坐标.zijkMoxyCABzyxN简记为OM

=(x,y,z)称为向量OM的坐标表示式.zijkMoxyCABzyxN由于：从而：(2.1)(2).起点不在原点O的任一向量a=M1M2设点M1

(x1,y1,z1),M2

(x2,y2,z2)a=M1M2=OM2

OM1=(x2i+

y2j+

z2k)

(x1i+y1j

+z1k)

=(x2

x1)

i+(y2

y1)

j+(z2

z1)

k即a=(x2

x1

,y2

y1,z2

z1)为向量a的坐标表示式记ax=x2

x1

,ay=y2

y1,az=z2

z1分别为向量a在三个坐标轴上的投影,称为a的坐标.zxyM1M2aoa=M1M2=(x2

x1

,y2

y1,z2

z1)(2.2)两点间距离公式：(2.3)由此得(3).运算性质设a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),且

为常数

a

b=(ax

bx,ay

by,az

bz)

a

=(

ax,

ay,

az)证明:

a

+b=(axi

+

ayj+

azk)+(bxi

+

byj+

bzk)=(axi

+bxi

)+(ayj+byj)+(azk+

bzk)=(ax+bx)

i

+(ay+by)j+(az+

bz)

k

a

+b=(ax+

bx,ay+

by,az+

bz)(4)两向量平行的充要条件.设非零向量a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),即ax

=

bx,ay

=

by,az

=

bz,于是注:在(*)式中,规定若某个分母为零相应的分子也为零.

a//b(*)

a//b

a=

b则(

为常数)例如：(4,0,6)//(2,0,3)三、向量的模与方向余弦的坐标表示式.1.方向角:

非零向量a与x,y,z轴正向夹角

,

,

,称为a的方向角.2.方向余弦:

方向角的余弦

cos

,cos

,cos

,称为方向余弦.3.向量的模与方向余弦的坐标表达式故有

ax=||a||

cos

ay=||a||

cos

az=||a||

cos

a

yzx0

设a=(ax,ay,az)又：(2.4)(2.5)由(2.5)式可得cos2

+cos2

+cos2

=1(2.6)设ao是与a同向的单位向量ao=(cos

,cos

,cos

)(2.7)例2.1.

已知两点M1(2,2,)和M2(1,3,0).计算向量M1M2的模,方向余弦和方向角.

解:M1M2=(1,1,)||M1M2||=例2.2:在z轴上求与两点A(4,1,7)和B(3,5,

2)等距离的点.解:设该点为M(0,0,z)由题设|MA|=|MB|.即:解得:所求点为M(0,0,)例2.3:证明以M1(4,3,1),M2(7,1,2),M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解:由|M2M3|=|M3M1|,所以

M1M2M3是等腰三角形.§3向量空间一、n维向量定义3.1由n个数组成的有序数组(a1,a2,…an)称为一个n维向量。

=(a1,a2,…an)其中第i

个数ai(i=1,2,…,n)称为n

维向量

的第i

个分量或坐标。零向量0=(0,0,…,0)负向量对

=(a1,a2,…an)称

(－a1,－a2,…,－an)为

的负向量。记为－

。－

=(－a1,－a2,…,－an)行向量

=(a1,a2,…,an)列向量规定：两个向量

=(a1,a2,…an),

=(b

1,b

2,…b

n)相等，记

=

ai=bi

(i=1,2,…,n)二、n

维向量的线性运算定义3.2设

=(a1,a2,…,an)，

=(b

1,b

2,…,b

n)

是数规定：(1)加法：

+

=(a1+b1,a2+b2,…,an

+bn)(2)数与向量的乘法：

=(

a1,

a2,…,

an)向量的加法及数与向量的乘法两种运算统称为向量的线性运算。2.向量的线性运算满足八条运算律(1)

+＝+(2)(+)

+

＝+(+

)(3)

+0＝(4)

+(－)＝0设

、

、

是n

维向量，0

是n维零向量，k、l

是任意实数。(5)k(+)

＝k+k(6)(k+l)=k+l(7)(kl)=k(l)(8)

1·=三、向量空间与子空间定义3.3设V

是n维向量的集合，如果V

对向量的两种运算封闭，即V

满足:(1)

,V，

有

+V(2)

V，kR，

有

kV则称V

是一个向量空间。例如(3)

V1={(0,a2,…,an)|ai

R,i=2,3,…n}是一个向量空间，且V1

Rn，称为Rn

的一个子空间。(2)

V={0}，由于0+0=0，k·0=0，

V={0}构成一个向量空间，称为零空间。(1) 全体n

维向量构成一个向量空间，称为

n维向量空间：记作Rn;定义3.4设V是一个向量空间，V1

V，若V1也是一个向量空间(即对向量的两种运算封闭)，则称V1是V

的一个子空间。注：一个向量空间V

至少有两个子空间：

V

及零子空间{0}，称为平凡子空间。例5.1：设证明：L构成一个向量空间。证：

,

L，

R

L是一个向量空间注意：称为由

1,

2,…,

m

生成的向量空间，记为L

(

1,

2,…,

m

)对于向量则1.2.对于m×n矩阵A的列向量组

1,

2,…,

n

Rm。称L(

1,

2,…,

n)为A的列空间，记为

N(A)。A的行向量组

1,

2,…,

m

Rn，称L(

1,

2,…,

m)为A的行空间，记为N(AT)。§4向量组的线性相关性一、线性相关与线性无关的概念比较两组向量：(1)

1=(1,0,－1),

2=(0,3,4)考察k1

1+k2

2=(k1,3k2,－k1+4k2)当k1

＝k2=0时k1

1+k2

2=0(2)

1=(1,0,－1),

2=(2,0,－2)当k1

＝k2=0时k1

1+k2

2=0当k1=－2,k2=1时k1

1+k2

2=0定义4.1设

1

，

2，…，

m

是m个n维向量，若存在m个不全为0的数

1，

2，…，

m，使得

1

1+

2

2+…+

m

m=0(4.1)则称向量组

1

，

2，…，

m

线性相关，否则，称它们线性无关。注：

1

，

2，…，

m线性无关

1

1+

2

2+…+

m

m=0

1=

2=…=

m=0例4.1：考察n维向量组解：设有一组数

1，

2，…，

n。使得

1e1+

2e2+…+

nen=0即：(

1,0,…,0)+(0,

2,…,0)+…+(0,0,…,

n)=(

1，

2，…，

n)=0

1=

2=…=

n=0所以e1，e2，…，en线性无关称e1，e2，…，en为n维单位向量组e1=(1,0,…,0),e2=(0,1,…,0),…,en=(0,0,…,1)的线性相关性。例4.2

设

1=(1,1,1)，

2=(1,2,3)，

3=(1,3,6)讨论其线性相关性。解：

1

1+

2

2+

3

3=0设有一组数

1，

2，

3

使即：(

1+

2+

3,

1+2

2+3

3,

1+3

2+6

3)=(0,0,0)有:

1+

2+

3=0

1+2

2+3

3=0

1+3

2+6

3=0因为系数行列式所以方程组只有唯一的一组零解，

1=

2=

3=0，故

1,

2,

3

线性无关。例4.3

讨论向量组

1=(1,－1,1),

2=(2,0,－2),

3=(2,－1,0)的线性相关性。解：设有一组数

1，

2，

3,使

1

1+

2

2+

3

3=0即(

1+2

2+2

3,－

1－

3,

1－2

2)=(0,0,0)有

1+2

2+2

3=0－

1－

3=0

1－2

2=0解得：

3=－

1取

1=2,得非零解

1=2，

2=1,

3=－2所以，向量组

1,

2,

3

线性相关。定义4.2对于m+1个n维向量

1

，

2，…，

m和

，若存在m个数

1，

2，…，

m

，使得：

=

1

1+

2

2+…+

m

m或称

是

1

，

2，…，

m的线性组合，

1，

2，…，

m

称为组合系数。则称向量

能用向量组

1

，

2，…，

m线性表示

，例如：Rn

中的任一个向量

=(x1,x2,…,xn)都是单位向量组的一个线性组合。

=x1e1+x2e2+…+xnen定理4.1向量组

1

，

2，…，

m(m2)线性相关该向量组中至少有一个向量是其余m－1个向量的线性组合。证：必要性设

1

，

2，…，

m线性相关，则存在一组不全为零的数

1，

2，…，

m

，使得

1

1+

2

2+…+

m

m=0不妨设

m0，则即：

m是

1

，

2，…，

m－1的线性组合。充分性：设

m是其余向量的线性组合，即存在数

1，

2，…，

m－1

，使得

m=

1

1+

2

2+…+

m－1

m－1有

1

1+

2

2+…+

m–1

m－1+(－1)

m

＝0

1

，

2，…，

m线性相关故推论：两个非零向量

1

，

2线性相关

定理4.2：若m个向量

1

，

2，…，

m中有一部分向量线性相关，则这m个向量也线性相关。即

1

，

2对应坐标成比例

1=k

2，(其中k0)(部分相关整体相关)证：不妨设前r

个向量

1

，

2，…，

r线性相关，即存在不全为0的数

1，

2，…，

r

，使得

1

1+

2

2+…+

r

r=0也有

1

1+

2

2+…+

r

r+0·

r+1+…+0·

m=0

1，

2，…，

r,0,…,0不全为0故

1

，

2，…，

m线性相关推论1：包含零向量的向量组一定线性相关推论2：若m个向量

1

，

2，…，

m线性无关，则其中任一部分也线性无关。(整体无关部分无关)二、向量组线性相关性的矩阵判定法则称：为由向量组

1

，

2，…，

m构成的矩阵定义4.3

2=(a21

a22…a2n),…,

m=(am1

am2…amn)设有m个n维向量

1=(a11

a12…a1n),A定理4.3设有m个n维向量

1=(a11

a12…a1n),

2=(a21

a22…a2n),…,

m=(am1

am2…amn)则

1

，

2，…，

m线性相关r(A)<m推论1：推论2：若m>n

，则m个n维向量必线性相关。(因为r(A)min(m,n)=n<m

)推论3：n个n维向量

1

，

2，…，

n线性相关n个n维向量

1

，

2，…，

n

线性无关m个n维向量

1

，

2，…，

m线性无关r(A)=m|A|=0，即A降秩|A|0，即A满秩例4.4

判定下列向量组是否线性相关(1)

1=(1,－2,1

),

2=(2,1,－1),

3=(7,－4,0)解：由于而|A|=－50所以

1,

2

,

3

线性无关(2)

1=(1,－3,7

),

2=(2,0,6),

3=(3,－1,－1)，

4=(2,4,5)解：由于向量组的个数大于向量的维数，所以

1,

2

,

3

,

4

线性相关。解：r1

r2(3)

1=(2,－1,7,3

),

2=(1,4,11,－2),

3=(3,－6,3,8)r2

－2r1r3

－3r1r3

－2r2r(A)=2<3所以

1,

2,

3

线性相关三、向量组的最大无关组定义4.4设

1

，

2，…，

r是某向量组T中的r个向量，若

(1)

1

，

2，…，

r线性无关；(2)任取

T，总有

1,

2,…,

r,

线性相关则称

1,

2,…,

r为向量组T的一个最大线性无关组。简称最大无关组。例如：对于向量组T：

1=(1,2,－1),

2=(2,－3,1),

3=(4,1,－1)

1,

2

为T

的一个最大无关组;

2,

3;

1,

2,

3线性相关，因为2

1+

2－

3=0

1,

3也是T

的最大无关组。定理4.4

一个向量组的所有最大无关组含有的向量个数都相等。定义4.5向量组T的最大无关组所含向量的个数r称为向量组T的秩。设

1,

2,

…,

r为向量组T一个最大无关组，则任取

T，

能用

1,

2,…,

r线性表示。证：任取

T，由

1,

2,…,

r是T的最大无关组，则

1

，

2，…，

r、

线性相关。存在不全为0的一组数

1，

2，…，

r

、

使得：

1

1+

2

2+…+

r

r+

=0则

0定理4.5事实上：若

=0有不全为0的

1，

2，…，

r

使

1

1+

2

2+…+

r

r=0成立

1

，

2，…，

r线性相关，矛盾所以即

能用

1

，

2，…，

r线性表示。定义4.6将每一行看成一个向量

i=(ai1

ai2…ain)(i=1,2,…,m)称为A的行向量，行向量组的秩称为A的行秩。对于矩阵将A的每一列也可看成一个向量(j=1,2,…,n)称为A的列向量，列向量组的秩称为A的列秩定理4.6

设A是m×n矩阵r(A)

=r

A的行秩(或列秩)为r§5向量空间的基与向量的坐标一、向量空间的基与维数定义5.1且满足：(1)

1,

2,…,

r

线性无关；(2)V

中任一向量都可以由

1,

2,…,

r

线性表示；则称

1,

2,…,

r

为V的一组基底，简称基，r

为V的维数，并称V

为r

维向量空间。设V为向量空间，若存在

1,

2,…,

r

V.注1：若将向量空间V看成向量组，其基底就是其最大无关组，其维数就是其秩。注2：零空间{0}没有基，规定其维数为0。例如：对于Rn(1)基本单位向量组e1,e2,…,en

是一组基，称为标准基。(2)

1=(1,0,0,…,0),

2=(1,1,0,…,0),…，

n=(1,1,…,1)也是基。二、向量在给定基下的坐标定义5.2设

1,

2,…,

n

是向量空间V的一组基，任取

V,都有

=

x1

1+

x2

2+…+xn

n且组合系数x1,x2,…,xn唯一，称为向量

在基

1,

2,…,

n下的坐标，记为(x1,x2,…,xn)例如：在R3中，

=(2,－3,1)=2e1－3e2+1e