沪科版初中数学中考第一轮复习33

3.3

反比例函数结合具体情境了解反比例函数的意义,能根据已知条件确定反比例函数的表达式;掌握反比例函数的图象和性质,根据图象和表达式y=(k≠0)探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况;能用反比例函数解决简单实际问题.考点1

反比例函数的概念及表达式的确定(8年4考)1.反比例函数形如

y=

(k是常数,且k≠

0

)的函数叫做反比例函数,k叫做

比例系数

.

2.反比例函数表达式的确定求反比例函数的表达式与求一次函数的表达式一样,一般也是用

待定系数法

,即先设反比例函数的表达式是y=,再根据已知条件利用方程求出k,即得反比例函数的表达式.

典例1

(2017·山东枣庄)如图,O是坐标原点,菱形OABC的顶点A的坐标为(-3,4),顶点C在x轴的负半轴上,函数y=(x<0)的图象经过顶点B,则k的值为

(

)A.-12 B.-27 C.-32 D.-36【解析】∵A(-3,4),∴OA=5,∵四边形OABC是菱形,∴AO=CB=OC=AB=5,∴点B的横坐标为-3-5=-8,∴点B的坐标为(-8,4),将点B的坐标代入y=,得4=,解得k=-32.【答案】

C提分训练1.在下列函数中,y是x的反比例函数的是

(C)2.已知点(2,-4)在反比例函数y=的图象上,则下列各点在此函数图象上的是

(D)A.(2,4)

B.(-1,-8)C.(-2,-4)

D.(4,-2)【解析】∵点(2,-4)在反比例函数y=的图象上,∴k=2×(-4)=-8.在A中,k=2×4=8;在B中,k=-1×(-8)=8;在C中,k=-2×(-4)=8;在D中,k=4×(-2)=-8.∴点(4,-2)在反比例函数y=的图象上.考点2

反比例函数的图象和性质1.反比例函数的图象和性质

典例2

已知反比例函数y=的图象的一支位于第一象限.(1)判断该函数图象的另一支所在的象限,并求m的取值范围;(2)如图,O为坐标原点,点A在该反比例函数位于第一象限的图象上,点B与点A关于x轴对称,若△OAB的面积为6,求m的值.【解析】(1)对于反比例函数,当k>0时,图象位于第一、三象限,当k<0时,图象位于第二、四象限,本题中有一支在第一象限,则另一支肯定在第三象限,根据k>0求出m的取值范围;(2)设点A的坐标为(x,y),根据对称的性质得出点B的坐标为(x,-y),从而得到AB=2y,根据三角形的面积得到xy=6,根据反比例函数的解析式得到xy=m-7,从而得到m的值.【答案】

(1)由已知得该函数图象的另一支在第三象限,∵图象过第一、三象限,∴m-7>0,∴m>7.∴m的取值范围为m>7.(2)设点A的坐标为(x,y),∵点B与点A关于x轴对称,∴B点坐标为(x,-y),∴AB的长度为2y.∴m-7=6,∴m=13.【变式拓展】

如图,点P在函数y=-的图象上,过点P作x轴的垂线,垂足为A,则△AOP的面积是

(B)A.-2 B.2 C.4 D.8知识拓展一次函数与反比例函数的交点

提分训练3.设函数y=与y=x-2的图象的交点坐标为(a,b),则a2+b2的值为

10

.

解得x1=3,x2=-1,即两函数图象的交点坐标为(3,1),(-1,-3),则a2+b2=10.考点3

运用反比例函数解决实际问题(8年2考)(1)在现实的生活生产中存在很多有关反比例函数的实际问题,我们要善于通过分析实际问题中的数量关系,尤其是两个变量之间的关系,建立反比例函数模型,从而解决实际问题.(2)找出反比例函数的关系式后,要注意根据实际意义确定自变量的取值范围.典例3

如图,市煤气公司计划在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室,则储存室的底面积S(单位:m2)与其深度d(单位:m)的函数图象大致是

(

)【解析】由储存室的体积公式知104=Sd,故储存室的底面积S(m2)与其深度d(m)之间的函数关系式为S=(d>0),为反比例函数,又由d>0,知A项正确.【答案】

A提分训练4.已知一物体做匀速直线运动时,其速度v(千米/小时)与运动时间t(小时)成反比例,且当v=15千米/小时时,t=4小时,则v与t之间的函数表达式是

v=

.

【解析】由于速度v(千米/小时)与运动时间t(小时)成反比例,1.反比例函数与几何中动点问题的综合

①S△ODB=S△OCA;②四边形OAMB的面积不变;③当点A是MC的中点时,则点B是MD的中点.其中正确结论的个数是

(

)A.0 B.1 C.2 D.3【解析】①中,S△ODB=S△OCA=1,该结论正确;②中,四边形OAMB的面积=a-1-1=a-2,该结论正确;③连接OM,当点A是MC的中点时,则△OAM和△OAC的面积相等,∵△ODM的面积=△OCM的面积=,△ODB与△OCA的面积相等,∴△OBM与△OAM的面积相等,∴△OBD和△OBM的面积相等,∴点B一定是MD的中点,该结论正确.【答案】

D2.反比例函数与几何证明、计算结合

下面是小明的探究过程:(1)如图所示,设函数y=图象的交点为A,B.已知A点的坐标为(-k,-1),则B点的坐标为

.

(2)若点P为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点.①设直线PA交x轴于点M,直线PB交x轴于点N.求证:PM=PN.∴直线PA的解析式为

.

请你把上面的解答过程补充完整,并完成剩余的证明.②当P点坐标为(1,k)(k≠0)时,判断△PAB的形状,并用k表示出△PAB的面积.【解析】(1)根据反比例函数的对称性可知点A与点B关于原点O对称,据此可求B点的坐标.(2)①利用加减消元法易求a,b的值(用含m,k的式子表示);利用直线PA的解析式,确定点M的坐标,过点P作PH⊥x轴于点H,利用点的坐标表示MN与PH的长,再利用勾股定理求得PM的长,同理求得PN的长,可得结论PM=PN.②当P点坐标为(1,k)(k≠0)时,有MH=HN=PH,从而可求∠APB=90°,故△PAB为直角三角形.分k>1、0<k<1两种情况,利用相关三角形的面积和差计算△PAB的面积.【答案】

(1)B点的坐标为(k,1).令y=0,得x=m-k,∴M点的坐标为(m-k,0).过点P作PH⊥x轴于点H,∴点H的坐标为(m,0).∴MH=xH-xM=m-(m-k)=k.同理可得HN=k.∴PM=PN.②由①知,在△PMN中,PM=PN,∴△PMN为等腰三角形,且MH=HN=k.当P点坐标为(1,k)时,PH=k,∴MH=HN=PH.∴∠PMH=∠MPH=45°,∠PNH=∠NPH=45°.∴∠MPN=90°,即∠APB=90°.∴△PAB为直角三角形.命题点1:分析动点问题判断函数图象(常考)1.(2014·安徽第9题)如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,动点P从A点出发,按A→B→C的方向在AB和BC上移动,记PA=x,点D到直线PA的距离为y,则y关于x的函数图象大致是(B)【解析】依据题意点P在AB上时,0<x≤3,y=4;当点P在BC边上时,命题点2:反比例函数与一次函数的综合(常考)2.(2015·安徽第21题)如图,已知反比例函数y=与一次函数y=k2x+b的图象交于A(1,8),B(-4,m).(1)求k1,k2,b的值;(2)求△AOB的面积;(3)若M(x1,y1),N(x2,y2)是反比例函数y=图象上的两点,且x1<x2,y1<y2,指出点M,N各位于哪个象限,并简要说明理由.(2)设直线y=2x+6与x轴交于点C,当y=0时,x=-3,∴OC=3.(3)点M在第三象限,点N在第一象限.①若x1<x2<0,点M,N在第三象限分支上,则y1>y2,不合题意;②若0<x1<x2,点M,N在第一象限分支上,则y1>y2,不合题意;③若x1<0<x2,点M在第三象限,点N在第一象限,则y1<0<y2,符合题意.命题点3:反比例函数的实际应用(常考)3.(2012·安徽第21题)甲、乙两家商场进行促销活动.甲商场采用“满200减100”的促销方式,即购买商品的总金额满200元但不足400元,少付100元;满400元但不足600元,少付200元;….乙商场按顾客购买商品的总金额打6折促销.(1)若顾客在甲商场购买了510元的商品,付款时应付多少钱?(2)若顾客在甲商场购买商品的总金额为x(400≤x<600)元,优惠后得到商家的优惠率为,写出p与x之间的函数关系式,并说明p随x的变化情况.(3)品牌、质量、规格等都相同的某种商品,在甲、乙两商场的标价都是x(200≤x<400)元,你认为选择哪家商场购买该商品花钱较少?请说明理由.解:(1)顾客在甲商场应付款510-200=310(