gs多元函数的偏导数

会计学1gs多元函数的偏导数在二元函数z=f

(x,y)中,有两个自变量x,y,但若固定其中一个自变量,比如,令y

=y0,而让x

变第1页/共65页.化则z成为一元函数x,y0),z=f(我们可用讨论一元函数的方法来讨论它的导数,称为偏导数.一、偏导数的定义设z

=f

(X)=f

(x,y)在X0

=(x0,y0)的某邻域U(X0)内有定义.固定y

=y0,在x0给

x

以增量

x

.

相应函数增量记作称为z在点0X处关于x的偏增量.定义第2页/共65页则称这个极限值为z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数.即此时也称f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数存在.否则称f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数不存在.第3页/共65页类似,若固定x

=x0,而让y

变,z

=f

(x0,y)成为

y

的一元函数.则称它为z=f(x,y)在(x0,y0)处对y的偏导数.即第4页/共65页若z

=f

(x,y)在区域D

内每一点(x,y)处时x的偏导数都存在,

即

(x,

y)

D,存在.此时,它是x,y的二元函数.称为z

对x

的偏导函数.简称偏导数.类似定义z对y的偏导函数.第5页/共65页1.由偏导数定义知,所谓f

(x,y)对x

的偏导数,就是将y

看作常数,将f

(x,y)看作一元函数来定义的.第6页/共65页注因此,在实际计算时,求f"x(x,y)时,只须将y看作常数,用一元函数求导公式求即可.求f"y(x,y)时,只须将x看作常数,用一元函数求导公式求即可.x

0

0第7页/共65页x在点(x0,y0)的值.算xf"x(0,y0)可用3种方法.2.f

"

(x

,

yx0f"y,y)0(

)就是f"(x,)x(yf"y,y)f"y(x0,y0)(1)用定义算.(2)先算f"x(x,y),再算f"x(x0,y0)f"y(x,y),f"y(x0,y0).0再算f"x

(x,y0)再算f"x

(x0,y0)(3)先算f

(x,y

)(,fx0,y),,,)yf"y(x0f"y(x0,y0).例1.解::或f(x,2)=x2+6x+4,第8页/共65页f"x(x,2)=2x+6,故f"x(1,2)=2+6=8.例2.解::第9页/共65页例3.解::偏导数的概念可推广到三元以上函数中去.比如,设u=f(x,y,z).它的求法,就是将y,z均看作常数来求即可.第10页/共65页例4.解::第11页/共65页由一元函数的导数的几何意义,可以得到偏第12页/共65页设f(,xy)z=在点0X,)0y0x(=导数的几何意义.处的偏导存在,记f(x0,y0)=.z0点0,y(0,z0M)0x则二、偏导数的几何意义f"(x,y)就是以平面=yy与曲面z=f(x,y)相截,得到截线.00x

0

1第13页/共65页1上点M0(x0,y0,z0)处切线对x轴的斜率.而f"(x

,y

)就是以就是以平面x

=x

与曲面y

0

0

022上点zxM0)0,0y,0(z

=

f

(x,

y)

相截,

得到截线

.处切线对y轴的斜率.故只须搞清一元函数f(x,y0)的几何意义.就可得到f"x(x0,y0)的几何意义.以平面y=y0与曲面z=f(x,y)相截,得截线1:z=f(x,y)第14页/共65页y=y0也就是z=f(x,y0).且M0(x0,y0,z0)在1上.即z=f(x,y0)表示平面y=y0与曲面z=f(x,y)的交线1.f(x,y0)z=上点0M处的切线对x的斜率.第15页/共65页如图yxzoz

=

f

(x,

y)X0M0即f"x(x0,y0)表示0y=y与)x,y=f(z的交线在0M处的切线对x的斜率.T11:z

=

f

(x,

y0)1y0第16页/共65页yxzoz

=

f

(x,

y)M0X022:z

=

f

(x0

,

y)类似得)0y,0x(y"f的几何意义.如图即x0,y0)f"y(表示0x=x与z=f(x,y)的交线在M0处的切线对y的斜率.x0T2第17页/共65页在一元函数中,可导必连续,但对多元函数不适用.即,对多元函数f

(X)而言,即使它在X0的对各个自变量的偏导数都存在,也不能保证f(X)在X0

连续.第18页/共65页三、偏导与连续的关系例5.设证明z=f(x,y)在(0,0)的两个偏导都存在,但它在(0,0)不连续.第19页/共65页证::前边已证z=f(x,y)在(0,0)的极限不存在,因此它在(0,0)不连续.0=0=第20页/共65页故z

=f

(x,y)在(0,0)的两个偏导都存在,但它在(0,0)不连续.下证=,yx)z(f在(0,0)的两个偏导都存在.从几何上看,f"x

(x0,y0)存在.只保证了一元函数f

(x,y0)在x0

连续也.即y

=y0

与z

=f

(x,第21页/共65页10

0

0

0y)的截线 在

M

=

(x

,

y

,

z

)是连续的.同理,f"y

(x0,y0)存在.只保证了x

=x0

与z20=

f

(x,

y)的截线 在

M

连续.但都不能保证曲面z=f(x,y)在M0连续.换句话说,当X

从任何方向,沿任何曲线趋于X0时,f

(X)的极限都是f

(X0).显然,上边两个条件都不能保证它成立.第22页/共65页例..易知,f

(x,y)在(0,0)的两个偏导都存在,且为但它在(0,0)不连续.0.如图yxzo第23页/共65页§1－4第24页/共65页多元函数的微分改变量较麻烦,希望找计算它的近似公式.第25页/共65页该近似公式个应满足1)(好算.)2(有起码的精度.在实际中,常需计算当两个自变量都改变时,二元函数z

=f

(X)=f

(x,y)的改变一般说来,算这0

0

0

0量

f

(x

+

x,

y

+

y)

–

f

(x

,

y

).一、全微分的概念类似一元函数的微分概念,引进记号和定义.第26页/共65页记z=f(x0+x,y0+y)–f(x0,y0).=f(X+X)–f(X0).其中X0=(x0,y0).X=(x,y)称为z=f(X)=f(x,y)在点X0=(x0,y0)的全增量.设z

=f

(X)=f

(x,y)在U(x0)内有定义.(x0+若

z

=

f

(x,

y)在点(x0,

y0)

的全增量

z

=

fx,

y0

+

y)

–

f

(x0,

y0)能表成z=ax+by+0(||X||)其中a,b是只与0x0,y有关,而与x,y无关的常数.定义第27页/共65页称ax+by为z=f(x,y)在点0y,0x()处的全微分.则称,yx(f=z)在点0x(,y0)可微.第28页/共65页1.按定义,z=f(x,y)在点0,y0)(x可微注第29页/共65页2.若z在点X0=(x0,y0)可微即z–(ax+by)=0(||X||)第30页/共65页3.若z

=f

(x,y)在区域D

内处处可微.则第31页/共65页称

z

=

f

(x,

y)在

D

内可微.

z

在(x,

y)

D

处的全微分记作dz.即dz=a(x,y)x+b(x,y)y它实际上是一个以x,y,x,y为自变量的四元函数.对照一元函数的微分,z=f(x),若z=ax+0第32页/共65页(x)则dz=a)=xf"(x·x.自然会提出以下问题.(1)若z=f(x,y)在点(x,y)可微,微分式dz=ax+by中系数ba,如何求,是否与z的偏导有关?00(2)在一元函数中,可微与可导是等价的.在二元函数中,可微与存在两个偏导是否也等价?(3)在一元函数中,可微连续,对二元函数是否也对?设z

=f

(x,y)在点(x0,y0)可微,要证z

在(x0,y0)连续.则z=f(x0+x,y0+y)–f(x0,y0)令x0,y0,由最后一式知,z0.第33页/共65页结论:对二元函数

z

=f

(x,第34页/共65页y),z

在(x0,

y0)可微(不是存在两个偏导)

z

在(x0,

y0)连续.若z

=f

(x,y)在点X

=(x,y)处可微,则z=f

(x,y)在点(x,y)处两个偏导证:因z

在(x,y)处可微,由定义,z

的全增量.此式对任何充分小的,xy都成立.且z在,x(y)处的全微分为定理1第35页/共65页特别,当y=0时,有同除以x(0),并令x0.得=a第36页/共65页定理1回答了问题1,并指出二元函数z

=f

(x,y)可微存在两个偏导,第37页/共65页反之不对.右端式子也可写出.可能不是全微分.从而z不能写成定义中的形式,故不可微.第38页/共65页例11..证明z在(0,0)处的两个偏导存在,但z在(0,0)不可微.证::由偏导定义=0=0第39页/共65页而故z在(0,0)不可微.第40页/共65页若z

=f

(X)=f

(x,y)的两个偏导数f"x第41页/共65页(x,y),f"y

(x,y)在X0

=(x0,y0)的某邻域U(x0)内存在,且它们都在X0

=(x0,y0)连续,则z

=f

(x,y)在(x0,y0)可微.定理2因f"x

(x,y),f"y

(x,y)在U(x0)内存在.第42页/共65页证::由偏导数的定义,以及一元函数可导与连续的关系知.对于固定的y,以x为自变量的一元在该邻域所对应的x的区间上连续,可导.函数z

=f

(x,y)以y为自变量的一第43页/共65页元函数z

=f

(x,y)在该邻域所对应的y

的区间上连续,可导.从而它们都满足拉格朗日中值定理条件(在相应区间上).对于固定的,xz=f(x0+x,y0+y)–f(x0,y0)第44页/共65页=[f(x0+x,y0+y)–f(x+0y,0xy(f[]y0+0,+))y–x0,y0)]f(在上式第一括号中,将+y0y固定.则它是以x为自变量的一元函数0y,x(f+)y在x0,x0+[x]上的改变量.因

f

(x,

y0+

y)在x]上满足拉格朗日中值定理条件,

从[x0,

x0+而,取+0x(+0y,xy))0X(Uf(x0+x,y0+y)–f(x0,y0+y)第45页/共65页=f"x(x0+1x,y0+y]

x,其中0<1<1同理f(x0,y0+y)–f(x0,y0)=f"y(x0,y0+2y]y,0<2<1故z=f"x(x0+1x,y0+y]x+f"x(x0,y0+2y]y因f"x

(x,y),f"y

(x,y)都在(x0,y0)连续.由极限与无穷小量的关系,第46页/共65页其中10(,x,0y0时)有x+0f"x(1+x,y0x=f"+)0y,0x(y)1有,(y"f+0y,0x2y)=f"(x0,y0)+y2其中20,(x0,y0时)因此,z=f0(y,0xx")(yxx)0y,0f"+(+y1x+2)y第47页/共65页由于+z=f"x(x010+xy,y]x(x0,y0+x+f"2y]y+0x(x"f1+0y,x)=f"(x0,y0)+xy1易见|1|+|2|0,(x0,y0时)由全微分的定义知z=f(x,y),在x0,y0)(可微.即第48页/共65页在点X处雅可比向量(矩阵).也记作(z).第49页/共65页若z

=f

(X)在区域D

内有一阶连续偏导.

则记

f

(X)

C1(D)和一元函数微分一样,自变量x,y

的微分就等于它们的改变量,

即dx

=

x

,

dy

=

y

.且记dX

=

(dx

,

dy)最后一式表数量积.4.全微分的概念可推广到三元以上的函数中去.且,若u=f(x,y,z)可微,则因此,全微分公式可写为第50页/共65页2例2.求z=xcosxy的全微分.解:故dz=(2xcosxyx2ysinxy)dxx3sinxydy第51页/共65页例3.求z

=exy

在点(2,1)处的全微分.解:故dz

=yexydx

+xexydy第52页/共65页例4.求u

=xyz

的全微分.解:故du

=yzxyz–1

dx

+zxyz

lnxdy+yxyzlnxdy=

xyz–1

(yzdx

+

xzlnxdy

+

xylnxdy)第53页/共65页则(X)(1)d(fdf(g)X(X))=dg(X)f(X))=kdf(X),k(2)d(k为常数.(X)g(X))=g(X)df(X)+f(X)dg(X)d(f(3)(4)其中g(X),0.第54页/共65页定理3设多元函数f(X),g(X)在点X可微,设z

=f

(X)=f

(x,y)在X0

=(x0,y0)的某邻域U(X0)内存在偏导数f"x

和f"y

,则对任意的X

=

(x,

y)1,

1),X2

=

(U(X0),至少存在两点X1

=(2,

2)

U(X0),使得证::回忆一元函数拉格朗日中值定理.二、微分中值定理第55页/共65页定理44由于f"x

和f"y

在U(X0)内存在.而对于固定的y,f

(x,y)是以x

为自变量的一元函数在,对应的x的区间上连续,可导.满足拉格朗日中值定理条件有.同理,第56页/共65页其中,1介于x0,x之间,2介于y0,y之间.(X0)UX=(x,

y)(x0,

y)X1X2X0

=

(x0,

y0)记,y=1=2,0x有第57页/共65页一般,若n元函数z

=f

(X)在点X0的某邻域U(X0

)内存在对各变量的偏导,则对任意的X

=(x1,x2,…,xn)∈U(X0),存在n

个点第58页/共65页设

z=

f

(X)=

f

(x,

y)

在闭区域D

R2上连续,在开区域D

内存在连续偏导数f"