教育学相关与回归分析全

不要过于教条地对待研究的结果，尤其当数据的质量受到怀疑时。

——DamodarN.Gujarati统计名言第八章相关与回归分析8.1

相关分析8.2一元线性回归分析8.3多元线性回归分析8.4非线性回归分析

学习目标相关关系的分析参数的最小二乘估计回归直线的拟合优度回归方程的显著性检验利用回归方程进行预测用Excel

和SPSS进行回归子代与父代一样吗？Galton被誉为现代回归和相关技术的创始人。1875年，Galton利用豌豆实验来确定尺寸的遗传规律。他挑选了7组不同尺寸的豌豆，并说服他在英国不同地区的朋友每一组种植10粒种子，最后把原始的豌豆种子(父代)与新长的豌豆种子(子代)进行尺寸比较。当结果被绘制出来之后，他发现并非每一个子代都与父代一样，不同的是，尺寸小的豌豆会得到更大的子代，而尺寸大的豌豆却得到较小的子代。Galton把这一现象叫做“返祖”(趋向于祖先的某种平均类型)，后来又称之为“向平均回归”。一个总体中在某一时期具有某一极端特征(低于或高于总体均值)的个体在未来的某一时期将减弱它的极端性(或者是单个个体或者是整个子代)，这一趋势现在被称作“回归效应”。人们发现它的应用很广，而不仅限于从一代到下一代豌豆大小问题子代与父代一样吗？正如Galton进一步发现的那样，平均来说，非常矮小的父辈倾向于有偏高的子代；而非常高大的父辈则倾向于有偏矮的子代。在第一次考试中成绩最差的那些学生在第二次考试中倾向于有更好的成绩(比较接近所有学生的平均成绩)，而第一次考试中成绩最好的那些学生在第二次考试中则倾向于有较差的成绩(同样比较接近所有学生的平均成绩)。同样，平均来说，第一年利润最低的公司第二年不会最差，而第一年利润最高的公司第二年则不会是最好的如果把父代和子代看作两个变量，找出这两个变量的关系，并根据这种关系建立适当的数学模型，就可以根据父代的数值预测子代的取值，这就是经典的回归方法要解决的问题。学完本章的内容你会对回归问题有更深入的理解

8.1变量间的关系

8.1.1变量间是什么样的关系？

8.1.2用散点图描述相关关系

8.1.3用相关系数度量关系强度第8章相关与回归分析怎样分析变量间的关系？建立回归模型时，首先需要弄清楚变量之间的关系。分析变量之间的关系需要解决下面的问题变量之间是否存在关系？如果存在，它们之间是什么样的关系？变量之间的关系强度如何？样本所反映的变量之间的关系能否代表总体变量之间的关系？8.1.1变量间是什么样的关系？8.1变量间的关系

xy函数关系是一一对应的确定关系设有两个变量x和y，变量y随变量x一起变化，并完全依赖于x

，当变量x取某个数值时，

y依确定的关系取相应的值，则称y是x的函数，记为y=f(x)，其中x称为自变量，y称为因变量各观测点落在一条线上

函数关系(几个例子)

函数关系的例子某种商品的销售额y与销售量x之间的关系可表示为

y=px

(p为单价)圆的面积S与半径之间的关系可表示为S=

R2

企业的原材料消耗额y与产量x1

、单位产量消耗x2

、原材料价格x3之间的关系可表示为

y=x1x2x3

相关关系

(几个例子)子女的身高与其父母身高的关系从遗传学角度看，父母身高较高时，其子女的身高一般也比较高。但实际情况并不完全是这样，因为子女的身高并不完全是由父母身高一个因素所决定的，还有其他许多因素的影响一个人的收入水平同他受教育程度的关系收入水平相同的人，他们受教育的程度也可能不同，而受教育程度相同的人，他们的收入水平也往往不同。因为收入水平虽然与受教育程度有关系，但它并不是决定收入的惟一因素，还有职业、工作年限等诸多因素的影响农作物的单位面积产量与降雨量之间的关系在一定条件下，降雨量越多，单位面积产量就越高。但产量并不是由降雨量一个因素决定的，还有施肥量、温度、管理水平等其他许多因素的影响相关关系

(correlation)一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定当变量

x取某个值时，变量y的取值对应着一个分布各观测点分布在直线周围

变量之间存在非严格确定的依存关系y

x

相关关系(几个例子)

相关关系的例子父亲身高y与子女身高x之间的关系收入水平y与受教育程度x之间的关系粮食亩产量y与施肥量x1

、降雨量x2

、温度x3之间的关系商品的消费量y与居民收入x之间的关系商品销售额y与广告费支出x之间的关系相关关系的分类按变量的多少分为:单相关、复相关和偏相关按相关程度分为:完全相关、不完全相关和不相关按相关形式分为：线性相关和非线性相关按相关方向分为:正相关和负相关按相关性质分为：真实相关和虚假相关8.1.2用相关表、相关图描述相关关系8.1变量间的关系相关表和相关图相关表是一种反映变量之间相关关系的统计表。将某一变量按其取值的大小排列，然后再将与其相关的另一变量的对应值平行排列，便可得到简单的相关表。如前表8.1所示相关图又称散点图。它是以直角坐标系的横轴代表变量x，纵轴代表变量Y，将两个变量间相对应的变量值用坐标点的形式描绘出来，用来反映两变量之间的相关关系的图形。缺点：二者是研究相关关系的直观工具，它们只能对现象之间存在的相关关系的方向、形式、密切程度作大致判断，不能说明具体相关关系的密切程度。因此需要计算相关系数。8.1.2用散点图描述相关关系8.1变量间的关系

完全负线性相关完全正线性相关

散点图

(scatterdiagram)

不相关

负线性相关

正线性相关

非线性相关

完全负线性相关（散点图举例）从下图可以看出，居民的消费支出和可支配收入之间呈现正线性相关关系

8.1.3用相关系数度量关系强度8.1变量间的关系2）相关系数(correlationcoefficient)对变量之间关系密切程度的度量对两个变量之间线性相关程度的度量称为简单相关系数反映一个因变量与两个及两个以上变量之间相关程度的统计分析指标称为复相关系数。偏相关系数是指在多元相关分析中考虑其他变量但假定其保持不变的情况下计算出来的反映两个变量之间相关程度的统计分析方法。若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为

若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，记为

r相关系数的计算公式（记住）

样本相关系数的计算公式或化简为相关系数的性质性质1：r

的取值范围是[-1,1]|r|=1，为完全相关r=1，为完全正相关r=-1，为完全负正相关r=0，不存在线性相关关系（并不说明不存在关系）-1

r<0，为负相关0<r

1，为正相关|r|越趋于1表示关系越强；|r|越趋于0表示关系越弱相关系数的性质性质2：r具有对称性。即x与y之间的相关系数和y与x之间的相关系数相等，即rxy=ryx性质3：r数值大小与x和y原点及尺度无关，即改变x和y的数据原点及计量尺度，并不改变r数值大小性质4：仅仅是x与y之间线性关系的一个度量，它不能用于描述非线性关系。这意为着，r=0只表示两个变量之间不存在线性相关关系，并不说明变量之间没有任何关系性质5：r虽然是两个变量之间线性关系的一个度量，却不一定意味着x与y一定有因果关系取值及其意义-1.0+1.00-0.5+0.5完全负相关无线性相关完全正相关负相关程度增加r正相关程度增加相关系数的经验解释|r|

0.8时，可视为两个变量之间高度相关0.5

|r|<0.8时，可视为中度相关0.3

|r|<0.5时，视为低度相关|r|<0.3时，说明两个变量之间的相关程度极弱，可视为不相关上述解释必须建立在对相关系数的显著性进行检验的基础之上3.相关关系的显著性检验1）r

的抽样分布r是依据样本数据计算的，根据一个样本的相关系数能否说明总体的相关性呢？这需对样本相关系数的显著性进行检验。样本相关系数的理论分布函数是很复杂的。r的抽样分布随总体相关系数和样本容量的大小而变化。在进行这项检验时，通常假设x与y是正态变量，如果总体相关系数

=0,则样本相关系数r服从t分布2）检验的步骤1. 检验两个变量之间是否存在线性相关关系等价于对回归系数b1的检验采用R.A.Fisher提出的

t检验检验的步骤为提出假设：H0：

；H1：

0

计算检验的统计量：

确定显著性水平

，并作出决策若

t

>t

，拒绝H0

若

t

<t

，不能拒绝H0

8.2一元线性回归的估计和检验

8.2.1一元线性回归模型

8.2.2参数的最小二乘估计

8.2.3回归直线的拟合优度

8.2.4显著性检验第8章一元线性回归分析8.2.1一元线性回归分析8.2一元线性回归的估计和检验什么是回归分析？

(regressionanalysis)回归分析是指根据相关关系的具体形态，选择合适的数学模型（回归方程），近似地描述变量间的平均变化关系的一种统计分析方法。回归分析实际上是相关现象间不确定、不规则的数量关系的一般化、规律化。回归分析采用的方法是配合直线或曲线来反映现象之间的一般数量关系。这条直线或曲线叫回归直线或回归曲线，它们的方程称为回归直线方程或回归曲线方程。

回归的古典和现代意义1.回归的古典意义：高尔顿遗传学的回归概念父母身高与子女身高的关系:

无论高个子或低个子的子女都有向人的平均身高回归的趋势2.回归的现代意义：一个因变量对若干解释变量依存关系的研究回归的目的（实质）：

由固定的自变量去估计因变量的平均值相关分析与回归分析的联系简单说：(1)相关分析是回归分析的基础和前提。如果缺少相关分析，没有从定性上说明现象间是否存在相关关系及相关关系的密切程度，就无法进行回归分析。

(2)回归分析是相关分析的深入和继续。仅仅说明现象间具有密切的相关关系是不够的，只有进行回归分析，拟合回归方程，才可能进行深入分析和回归预测，相关分析才有实际应用价值。回归分析与相关分析的区别相关分析中，变量x

变量y处于平等的地位；回归分析中，变量y称为因变量，处在被解释的地位，x称为自变量，用于预测因变量的变化相关分析中所涉及的变量x和y都是随机变量；回归分析中，因变量y是随机变量，自变量x

可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量x对变量y的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制

二、回归分析的种类（一）按回归分析中自变量的个数不同

1.简单回归/一元回归:在回归关系中包含两个变量，一个是具有确定性的自变量；另一个称因变量,是随机变量。

2.多元回归:在回归关系中包含三个或以上的变量，一个是因变量,是随机变量；其他变量是具有确定性的自变量。（二）按回归线的形状

1.直线回归:变量间变化的规律近似于线性关系，从散点图看，表示变量关系的点接近于一条直线。

2.非直线回归:变量间变化的规律不是线性关系，从散点图看，表示变量关系的点接近于一条曲线。一元线性回归涉及一个自变量的回归因变量y与自变量x之间为线性关系被预测或被解释的变量称为因变量(dependentvariable)，用y表示用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为自变量(independentvariable)，用x表示因变量与自变量之间的关系用一个线性方程来表示一元线性回归模型

(linearregressionmodel)描述因变量y如何依赖于自变量x和误差项

的方程称为回归模型一元线性回归模型可表示为

y=b0+b1x+ey是x的线性函数(部分)加上误差项线性部分反映了由于x的变化而引起的y的变化误差项

是随机变量反映了除x和y之间的线性关系之外的随机因素对y的影响是不能由x和y之间的线性关系所解释的变异性

0和

1称为模型的参数一元线性回归模型

(基本假定)

因变量y与自变量x之间具有线性关系在重复抽样中，自变量x的取值是固定的，即假定x是非随机的误差项

满足正态性。

是一个服从正态分布的随机变量，且期望值为0，即

~N(0,

2)。对于一个给定的x值，y的期望值为E(y)=

0+

1x方差齐性。对于所有的x值，

的方差是一个特定的值，

的方差也都等于

2

，都相同。同样，一个特定的x值，y的方差也都等于

2独立性。独立性意味着对于一个特定的x值，它所对应的ε与其他x值所对应的ε不相关；对于一个特定的x值，它所对应的y值与其他x所对应的y值也不相关估计的回归方程

(estimatedregressionequation)总体回归参数和

是未知的，必须利用样本数据去估计用样本统计量和代替回归方程中的未知参数和，就得到了估计的回归方程一元线性回归中估计的回归方程（经验回归方程）为其中：是估计的回归直线在y

轴上的截距，是直线的斜率，它表示对于一个给定的x

的值，是y

的估计值，也表示x

每变动一个单位时，y的平均变动值

8.2.2参数的最小二乘估计8.2一元线性回归的估计和检验参数的最小二乘估计

德国科学家KarlGauss(1777—1855)提出用最小化图中垂直方向的误差平方和来估计参数

使因变量的观察值与估计值之间的误差平方和达到最小来求得和的方法。即用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的关系与实际数据的误差比其他任何直线都小KarlGauss的最小化图xy(xn,yn)(x1,y1)

(x2,y2)(xi,yi)ei=yi-yi＾参数的最小二乘估计

(

和的计算公式)

根据最小二乘法，可得求解和的公式如下参数的最小二乘估计8.2.3回归直线的拟合优度8.2一元线性回归的估计和检验变差因变量

y的取值是不同的，y取值的这种波动称为变差。变差来源于两个方面：由于自变量x的取值不同造成的除x以外的其他因素(如x对y的非线性影响、测量误差等)的影响对一个具体的观测值来说，变差的大小可以通过该实际观测值与其均值之差来表示误差分解图xyy

误差平方和的分解

(误差平方和的关系)

SST=SSR+SSE总平方和(SST){回归平方和(SSR)残差平方和(SSE){{误差平方和的分解

(三个平方和的意义)总平方和(SST—totalsumofsquares)反映因变量的n个观察值与其均值的总误差回归平方和(SSR—sumofsquaresofregression)反映自变量x的变化对因变量y取值变化的影响，或者说，是由于x与y之间的线性关系引起的y的取值变化，也称为可解释的平方和残差平方和(SSE—sumofsquaresoferror)反映除x以外的其他因素对y取值的影响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和样本决定系数R2

(coefficientofdetermination)回归平方和占总误差平方和的比例反映回归直线的拟合程度取值范围在[0,1]之间

R2

1，说明回归方程拟合的越好；R20，说明回归方程拟合的越差决定系数平方根等于相关系数

估计标准误差

实际观察值与回归估计值误差平方和的均方根反映实际观察值在回归直线周围的分散状况对误差项

的标准差

的估计，是在排除了x对y的线性影响后，y随机波动大小的一个估计量反映用估计的回归方程预测y时预测误差的大小

计算公式为回归标准差越小，表明实际观测值与所拟合的样本回归线的离差程度越小，即回归线具有较强的代表性。8.2.4显著性检验8.2一元线性回归的估计和检验回归方程的显著性检验检验自变量与因变量之间的线性关系是否显著将回归均方(MSR)同残差均方(MSE)加以比较，应用F检验来分析二者之间的差别是否显著回归均方：回归平方和SSR除以相应的自由度(自变量的个数k)残差均方：残差平方和SSE除以相应的自由度(n-k-1)回归方程的显著性检验

(检验的步骤)

提出假设H0：

1=0线性关系不显著2.计算检验统计量F确定显著性水平

，并根据分子自由度1和分母自由度n-2求统计量的P值作出决策：若P<，拒绝H0。表明两个变量之间的线性关系显著作出决策：若F>F

,拒绝H0线性关系显著回归系数的检验和推断在一元线性回归中，等价于线性关系的显著性检验采用t检验检验x与y之间是否具有线性关系，或者说，检验自变量x对因变量y的影响是否显著理论基础是回归系数

的抽样分布

回归系数的检验和推断

提出假设H0:b1=0(没有线性关系)H1:b1

0(有线性关系)计算检验的统计量3.确定显著性水平

，计算出统计量的P值，并做出决策P<，拒绝H0，表明自变量是影响因变量的一个显著因素

t

>t

(n-2)，拒绝H0；

t

<t

(n-2)，不能拒绝H0回归系数的检验和推断

(b1和b0的置信区间)

b1在1-

置信水平下的置信区间为2.b0在1-

置信水平下的置信区间为三种检验的关系在一元线性回归分析中，回归系数显著性的t检验、回归方程显著性的F检验，相关系数显著性t检验，三者等价的，检验结果是完全一致的。对一元线性回归，只做其中的一种检验即可。

8.3利用回归方程进行预测

8.3.1平均值的置信区间

8.3.2个别值的预测区间第8章一元线性回归区间估计对于自变量

x的一个给定值x0，根据回归方程得到因变量y的一个估计区间区间估计有两种类型置信区间估计(confidenceintervalestimate)预测区间估计(predictionintervalestimate)8.3.1平均值的置信区间8.3利用回归方程进行预测平均值的置信区间利用估计的回归方程，对于自变量x的一个给定值x0

，求出因变量y

的平均值的估计区间，这一估计区间称为置信区间(confidenceinterval)

E(y0)

在1-

置信水平下的置信区间为式中：为估计标准误差个别值的预测区间利用估计的回归方程，对于自变量x的一个给定值x0

，求出因变量y

的一个个别值的估计区间，这一区间称为预测区间(predictioninterval)

y0在1-

置信水平下的预测区间为注意！残差

(residual)因变量的观测值与根据估计的回归方程求出的预测值之差，用e表示反映了用估计的回归方程去预测而引起的误差可用于确定有关误差项

的假定是否成立用于检测有影响的观测值残差图

(residualplot)表示残差的图形关于x的残差图关于y的残差图标准化残差图用于判断误差

的假定是否成立检测有影响的观测值残差图(形态及判别)

(a)满意模式

残差x

0

(b)非常数方差

残差x

0

(c)模型不合适

残差x

0

若所有的x值，的方差都相同，而且假设描述变量x和y之间的关系的回归模型是合理的，那么残差图中的所有点都应落在一条水平带中间。第三节多元线性回归PowerPoint统计学多元线性回归11.1

多元线性回归模型11.2

回归方程的拟合优度11.3显著性检验11.4

利用回归方程进行估计和预测11.5非线性回归学习目标1.回归模型、回归方程、估计的回归方程2.回归方程的拟合优度回归方程的显著性检验利用回归方程进行估计和预测非线性回归用Excel进行回归分析多元线性回归模型1.1多元回归模型与回归方程1.2估计的多元回归方程1.3参数的最小二乘估计多元回归模型与回归方程多元回归模型

(multipleregressionmodel)一个因变量与两个及两个以上自变量的回归描述因变量y如何依赖于自变量x1

，x2

，…，

xk

和误差项

的方程，称为多元回归模型涉及k个自变量的多元回归模型可表示为

b0

，b1，b2

，，bk是参数

是被称为误差项的随机变量

y是x1,，x2

，

，xk

的线性函数加上误差项

包含在y里面但不能被k个自变量的线性关系所解释的变异性多元线性回归模型

(基本假定)误差项ε是一个期望值为0的随机变量，即E(

)=0对于自变量x1，x2，…，xk的所有值，

的方差

2都相同误差项ε是一个服从正态分布的随机变量，即ε~N(0,

2)，且相互独立理论回归方程

(multipleregressionequation)描述因变量y的平均值或期望值如何依赖于自变量x1，x2

，…，xk的方程多元线性回归方程的形式为

E(y)=

0+

1x1

+

2x2

+…+

k

xkb1，b2，，bk称为偏回归系数

bi

表示假定其他变量不变，当xi

每变动一个单位时，y的平均变动值二元回归方程的直观解释二元线性回归模型(观察到的y)回归面

0

ix1yx2(x1,x2)}估计的多元回归方程估计的多元回归的方程

(estimatedmultipleregressionequation)用样本统计量估计回归方程中的参数

时得到的方程由最小二乘法求得一般形式为

是的估计值是y

的估计值参数的最小二乘估计参数的最小二乘法求解各回归参数的标准方程如下使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小来求得

。即参数的最小二乘法

(例题分析)【例】一家大型商业银行在多个地区设有分行，为弄清楚不良贷款形成的原因，抽取了该银行所属的25家分行2002年的有关业务数据。试建立不良贷款y与贷款余额x1、累计应收贷款x2、贷款项目个数x3和固定资产投资额x4的线性回归方程，并解释各回归系数的含义

参数的最小二乘估计

(例题分析)F检验t检验偏回归系数回归方程的拟合优度2.1多重判定系数2.2估计标准误差样本决定系数样本复决定系数

(multiplecoefficientofdetermination)

回归平方和占总平方和的比例计算公式为因变量取值的变差中，能被估计的多元回归方程所解释的比例样本复相关系数为：R==调整后的决定系数

(adjustedmultiplecoefficientofdetermination)

用样本量n和自变量的个数k去修正R2得到计算公式为避免增加自变量而高估R2意义与R2类似数值小于R2

Excel输出结果的分析样本复相关系数

(multiplecorrelationcoefficient)

样本决定系数的平方根R反映因变量y与k个自变量之间的相关程度实际上R度量的是因变量的观测值与由多元回归方程得到的预测值之间的关系强度，即样本复相关系数R等于因变量的观测值与估计值之间的简单相关系数即

估计标准误差

对误差项

的标准差

的一个估计值衡量多元回归方程的拟合优度计算公式为

Excel输出结果的分析显著性检验3.1回归方程显著性的F检验3.2回归系数检验和推断回归方程显著性的F检验回归方程显著性的F检验检验因变量与所有自变量之间的线性关系是否显著也被称为总体的显著性检验检验方法是将回归均方(MSR)同残差均方(MSE)加以比较，应用F检验来分析二者之间的差别是否显著如果是显著的，因变量与自变量之间存在线性关系如果不显著，因变量与自变量之间不存在线性关系回归方程的显著性检验提出假设H0：

1

2

k=0线性关系不显著H1：

1，

2，

k至少有一个不等于02.计算检验统计量F确定显著性水平

和分子自由度k、分母自由度n-k-1找出临界值F

4.作出决策：若F>F

，拒绝H0

Excel输出结果的分析回归系数检验和推断回归系数的检验线性关系检验通过后，对各个回归系数有选择地进行一次或多次检验究竟要对哪几个回归系数进行检验，通常需要在建立模型之前作出决定对回归系数检验的个数进行限制，以避免犯过多的第Ⅰ类错误(弃真错误)对每一个自变量都要单独进行检验应用t检验统计量回归系数的检验

(步骤)提出假设H0：bi=0(自变量xi

与

因变量y没有线性关系)H1：bi

0(自变量xi

与

因变量y有线性关系)计算检验的统计量t3.确定显著性水平

，并进行决策

t>t

（n-k-1)，拒绝H0；t<t

（n-k-1)

，不拒绝H0

Excel输出结果的分析回归系数的推断

(置信区间)

回归系数在1-

置信水平下的置信区间为

回归系数的抽样标准差

Excel输出结果的分析利用回归方程进行估计和预测软件应用第四节非线性回归分析一、非线性函数形式的确定

在对实际的客观现象进行定量分析时，选择回归方程的具体形式应遵循以下原则：首先，方程形式应与有关实质性科学的基本理论相一致。例如，采用幂函数的形式，能够较好地表现生产函数；采用多项式方程能够较好地反映总成本与总产量之间的关系等等。其次，方程有较高的拟合程度。因为只有这样，才能说明回归方程可以较好地反映现实经济的运行情况。最后，方程的数学形式要尽可能简单。如果几种形式都能基本符合上述两项要求，则应该选择其中数学形式较简单的一种。一般来说，数学形式越简单，其可操作性就越强。非线性回归1.因变量y与x之间不是线性关系2.