华科线性代数深刻复习重要

**第一部分行列式重点：1．排列的逆序数（P.5例4；P.26第2、4题）感谢阅读2．行列式按行（列）展开法则（P.21例13；P.28第9题）精品文档放心下载3．行列式的性质及行列式的计算（P.27第8题）谢谢阅读【主要内容】1、行列式的定义、性质、展开定理、及其应用——克莱姆法则谢谢阅读2、排列与逆序3、方阵的行列式4、几个重要公式：（1）AAT； （2）A11A；（3）kAknA；谢谢阅读（4）A*An1；（5）ABAB；（6）A0A**0AB；BBnA，ijnA，ij（7）aA0，ij；（8）aA0，ijijijijiji1j1（其中A,B为n阶方阵，k为常数）5、行列式的常见计算方法：（1）利用性质化行列式为上（下）三角形；谢谢阅读（2）利用行列式的展开定理降阶；（3）根据行列式的特点借助特殊行列式的值【要求】1、了解行列式的定义，熟记几个特殊行列式的值。2、掌握排列与逆序的定义，会求一个排列的逆序数。3、能熟练应用行列式的性质、展开法则准确计算3-5阶行列式的值。精品文档放心下载4、会计算简单的n阶行列式。5、知道并会用克莱姆法则。**第二部分矩阵1．矩阵的运算性质2．矩阵求逆及矩阵方程的求解（P.56第17、18题；P.78第5题）感谢阅读3．伴随阵的性质（P.41例9；P.56第23、24题；P.109第25题）、正交阵的性质（P.116）谢谢阅读4．矩阵的秩的性质（P.69至71；P.100例13、14、15）精品文档放心下载【主要内容】1、矩阵的概念、运算性质、特殊矩阵及其性质。2、方阵的行列式3、可逆矩阵的定义、性质、求法（公式法、初等变换法、分块对角阵求逆）。感谢阅读4、n阶矩阵A可逆A0A为非奇异(非退化)的矩阵。R(A)nA为满秩矩阵。精品文档放心下载AX0只有零解AXb有唯一解A的行（列）向量组线性无关A的特征值全不为零。A可以经过初等变换化为单位矩阵。A可以表示成一系列初等矩阵的乘积。感谢阅读5、矩阵的初等变换与初等矩阵的定义、性质及其二者之间的关系。谢谢阅读6、矩阵秩的概念及其求法（（1）定义法；（2）初等变换法）。谢谢阅读7、矩阵的分块，分块矩阵的运算：加法，数乘，乘法以及分块矩阵求逆。精品文档放心下载【要求】1、了解矩阵的定义，熟悉几类特殊矩阵（单位矩阵，对角矩阵，上、下三角形矩阵，对称矩阵，可逆矩感谢阅读阵，伴随矩阵，正交矩阵）的特殊性质。2、熟悉矩阵的加法，数乘，乘法，转置等运算法则，会求方阵的行列式。感谢阅读3、熟悉矩阵初等变换与初等矩阵，并知道初等变换与初等矩阵的关系。精品文档放心下载4、掌握矩阵可逆的充要条件，会求矩阵的逆矩阵。5、掌握矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。6、掌握分块矩阵的概念，运算以及分块矩阵求逆矩阵。第三部分线性方程组1．线性方程组的解的判定，带参数的方程组的解的判定精品文档放心下载2．齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系）感谢阅读3．非齐次线性方程组的解的结构（通解）【主要内容】**1、向量、向量组的线性表示：设有单个向量b，向量组A：,,,n，向量组B：12,,,m，则12（1）向量b可被向量组A线性表示R(,,,)R(,,,,b)12n12n（2）向量组B可被向量组A线性表示R(,,,)R(,,,,,,,)12n12n12m（3）向量组A与向量组B等价的充分必要条件是：R(,,,)R(,,,)R(,,,,,,,)12n12m12n12m（4）基本题型：判断向量b或向量组B是否可由向量组A线性表示？如果能，写出表达式。感谢阅读解法：以向量组A：,,,以及向量b或向量组B:,,,m为列向量构成矩阵，并12n12对其进行初等行变换化为简化阶梯型矩阵，最终断定。2、向量组的线性相关性判别向量组,,,s的线性相关、线性无关的常用方法：12方法一：（1）向量方程kkk0只有零解向量组,,,线性无1122ss12s关；（2）向量方程kkk0有非零解向量组,,,s线性相关。1122ss12方法二：求向量组的秩R(,,,)12s（1）秩R(,,,)小于个数s向量组,,,线性相关12s12s（2）秩R(,,,)等于个数s向量组,,,线性无关。12s12s（3）特别的，如果向量组的向量个数与向量的维数相同，则向量组线性无关以向量组1,2,,s为列向量的矩阵的行列式非零；向量组线性相关以向量组1,2,,s为列向精品文档放心下载**量的矩阵的行列式为零。3、向量组的极大无关组的概念（与向量空间的基、齐次线性方程组的基础解系的关系）及其求法。基本题型：判断向量组的相关性以及求出向量组的极大无关组。谢谢阅读4、等价向量组的定义、性质、判定。5、向量组的秩与矩阵的秩之关系。【要求】1、掌握向量组、线性组合和线性表示的概念，知道两个向量组等价的含义。精品文档放心下载2、掌握向量组线性相关、线性无关的定义，并会判断一个具体向量组的线性相关性。精品文档放心下载3、知道向量组的秩与矩阵的秩的关系，会求一个具体向量组的秩及其极大无关组。精品文档放心下载4、了解向量空间及其基和维数的概念第四部分向量组（矩阵、方程组、向量组三者之间可以相互转换）谢谢阅读1．向量组的线性表示2．向量组的线性相关性3．向量组的秩【主要内容】1、齐次线性方程组Ax0只有零解系数矩阵A的秩未知量个数n；感谢阅读2、齐次线性方程组Ax0有非零解系数矩阵A的秩未知量个数n.谢谢阅读3、非齐次线性方程组Axb无解增广矩阵B(A,b)秩系数矩阵A的秩；精品文档放心下载4、非齐次线性方程组Axb有解增广矩阵B(A,b)秩系数矩阵A的秩谢谢阅读特别地，1）增广矩阵B(A,b)的秩系数矩阵A的秩未知量个数n谢谢阅读非齐次线性方程组Axb有唯一解；2）增广矩阵B(A,b)的秩系数矩阵A的秩未知量个数n非齐次线性方程组精品文档放心下载Axb有无穷多解。【要求】**1、掌握齐次线性方程组解的性质、基础解系的求法，2、掌握非齐次线性方程组解的结构，熟悉非齐次线性方程组有解的等价条件。谢谢阅读3、知道齐次与非齐次线性方程组的解之间的关系。4、会求解非齐次线性方程组。第五部分 方阵的特征值及特征向量1．施密特正交化过程2．特征值、特征向量的性质及计算（P.120例8、9、10；P.135第7至13题）谢谢阅读3．矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化（P.135第15、16、19、23题）精品文档放心下载【主要内容】1、向量的内积、长度、夹角等概念及其计算方法。2、向量的正交关系及正交向量组的含义。3、施密特正交化方法。4、方阵的特征值与特征向量的概念及其计算方法。（1）特征值求法：解特征方程AE0；感谢阅读（2）特征向量的求法：求方程组AEX0的基础解系。谢谢阅读5、相似矩阵的定义（P1APB）、性质(A,B相似R(A)R(B)、AB、A,B有相同的特征值)。谢谢阅读6、判断矩阵是否可以对角化以及对角化的步骤，找到可逆矩阵P使得P1AP为对角矩阵。感谢阅读7、用正交变换法化二次型为标准形的步骤:（将实对称矩阵对角化）谢谢阅读（1）写出二次型的矩阵A.（2）求出A的所有特征值,,,精品文档放心下载1 2 n（3）解方程组(EA)X0（i1,2,,n）求对应于特征值,,,的特征向量i12n**,,,1 2 n（4）若特征向量组,,,n不正交，则先将其正交化，再单位化，得标准正交的向量组12,,,，记P(,,,)，对二次型做正交变换xPy,即得二次型的标准12n12n形fy2y2y21122nn8、正定二次型的定义及其判定方法常用判定二次型正定的方法：（1）定义法（2）特征值全大于零（3）顺序主子式全大于零感谢阅读【要求】1、掌握向量的内积、长度、夹角，正交向量组的性质，会利用施密特正交化方法化线性无关向量组为正交向量组。感谢阅读2、掌握方阵特征值、特征向量的概念、求法，3、了解相似矩阵的概念、掌握化对称矩阵为对角矩阵的方法。感谢阅读4、掌握二次型的概念、会用正交变换化二次型为标准形。谢谢阅读5、知道正定二次型的概念及其判定方法。线性代数要注意的知识点1、行列式n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式；精品文档放心下载代数余子式的性质：①、A和a的大小无关；ij ij②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；谢谢阅读③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A；精品文档放心下载3.代数余子式和余子式的关系：M(1)ijAA(1)ijMijijijij行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；感谢阅读n(n1)②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1) 2 ；谢谢阅读③、上、下三角行列式（◥◣）：主对角元素的乘积；感谢阅读④、◤和◢：副对角元素的乘积(1)n(n1)；2**⑤、拉普拉斯展开式：AOACAB、CAOA(1)mgnABCBOBBOBC⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；⑦、特征值证明A0的方法：①、AA；感谢阅读②、反证法；③、构造齐次方程组Ax0，证明其有非零解；④、利用秩，证明r(A)n；精品文档放心下载⑤、证明0是其特征值；2、矩阵是n阶可逆矩阵：A0（是非奇异矩阵）；r(A)n（是满秩矩阵）精品文档放心下载A的行（列）向量组线性无关；齐次方程组Ax0有非零解；精品文档放心下载bRn，Axb总有唯一解；A与E等价；A可表示成若干个初等矩阵的乘积；感谢阅读A的特征值全不为0；ATA是正定矩阵；A的行（列）向量组是Rn的一组基；精品文档放心下载A是Rn中某两组基的过渡矩阵；对于n阶矩阵A：AA*A*AAE无条件恒成立；感谢阅读7.(A1)*(A*)1(A1)T(AT)1(A*)T(AT)*(AB)TBTAT(AB)*B*A*(AB)1B1A1矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；感谢阅读关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：A1A若A，则：2OAsⅠ、AAALA；12sA11A1Ⅱ、A1；2OA1sAO1A1O②、OBOB1OA1OB1③、BOA1O**AC1A1④、OBO

A1CB1B1 AO1A1O⑤、B1CA1CBB13、矩阵的初等变换与线性方程组EO；1.一个mn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：FrOOmn等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、B，若r(A)r(B)A:B；感谢阅读行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；谢谢阅读初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(A,E):r(E,X)，则A可逆，且XA1；谢谢阅读②、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成A1B，即：(A,B)c(E,A1B)；③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Axb，如果(A,b):r(E,x)，则A可逆，且xA1b；谢谢阅读初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；精品文档放心下载1②、，左乘矩阵A，乘A的各行元素；右乘，乘A的各列元素；2Oiin111③、对调两行或两列，符号E(i,j)，且E(i,j)1E(i,j)，例如：11；111111④、倍乘某行或某列，符号E(i(k))，且E(i(k))11；k(k0)k，例如：k11⑤、倍加某行或某列，符号E(ij(k)),且E(ij(k))1E(ij(k))，如：1k11k11(k0)；11矩阵秩的基本性质：①、0r(A )min(m,n)；谢谢阅读mn②、r(AT)r(A)；**③、若A:B，则r(A)r(B)；感谢阅读④、若P、Q可逆，则r(A)r(PA)r(AQ)r(PAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）谢谢阅读⑤、max(r(A),r(B))r(A,B)r(A)r(B)；（※）精品文档放心下载⑥、r(AB)r(A)r(B)；（※）谢谢阅读⑦、r(AB)min(r(A),r(B))；（※）精品文档放心下载⑧、如果A是mn矩阵，B是ns矩阵，且AB0，则：（※）谢谢阅读Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX0解（转置运算后的结论）；感谢阅读Ⅱ、r(A)r(B)n⑨、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)r(A)r(B)n；谢谢阅读三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；精品文档放心下载1ac②、型如01b的矩阵：利用二项展开式001③、利用特征值和相似对角化：7. 伴随矩阵：nr(A)n①、伴随矩阵的秩：r(A*)1r(A)n1；r(A)n10AA②、伴随矩阵的特征值：(AXX,A*AA1A*XX)；谢谢阅读关于A矩阵秩的描述：①、r(A)n，A中有n阶子式不为0，n1阶子式全部为0；（两句话）②、r(A)n，A中有n阶子式全部为0；感谢阅读③、r(A)n，A中有n阶子式不为0；谢谢阅读线性方程组：Axb，其中A为mn矩阵，则：感谢阅读①、m与方程的个数相同，即方程组Axb有m个方程；②、n与方程组得未知数个数相同，方程组Axb为n元方程；精品文档放心下载线性方程组Axb的求解：①、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解；③、特解：自由变量赋初值后求得；精品文档放心下载由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：谢谢阅读axaxLaxb精品文档放心下载 11 1 12 2 1n n 1①、axaxLaxb ；谢谢阅读 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLLLLa xa xLa xbm1 1 m2 2 nm n n**aaLaxb1112L1n11（向量方程，A为mn矩阵，m个方程，n个未知②、aaaxb21222n22AxbMMOMMMLaaaxbm1m2mnmm数）x③、a1aLax2（全部按列分块，其中12nMxn④、axaxLax（线性表出）1122nn

b1b2）；Mbn⑤、有解的充要条件：r(A)r(A,)n（n为未知数的个数或维数）感谢阅读4、向量组的线性相关性1.m个n维列向量所组成的向量组A：,,L,构成nm矩阵A(,,L,)；12m12m个n维行向量所组成的向量组B：T,T,L谢谢阅读1 2

T1T构成mn矩阵B2T；精品文档放心下载MmTm含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；①、向量组的线性相关、无关②、向量的线性表出③、向量组的相互线性表示感谢阅读

Ax0有、无非零解；（齐次线性方程组）Axb是否有解；（线性方程组）AXB是否有解；（矩阵方程）3.矩阵A与B行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax0和Bx0同解；(P例14)mnln101r(ATA)r(A)；(P101例15)谢谢阅读n维向量线性相关的几何意义：①、线性相关0；②、,线性相关,坐标成比例或共线（平行）；③、,,线性相关,,共面；线性相关与无关的两套定理：若,,L,线性相关，则,,L,,必线性相关；12s12ss1若,,L,线性无关，则,,L,必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）12s12s1r维向量组A的每个向量上添上nr个分量，构成n维向量组B：精品文档放心下载A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；感谢阅读向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则rs；向量组A能由向量组B线性表示，则r(A)r(B)；谢谢阅读向量组A能由向量组B线性表示AXB有解；**r(A)r(A,B)向量组A能由向量组B等价r(A)r(B)r(A,B)感谢阅读方阵A可逆存在有限个初等矩阵P,P,L,P，使APPLP；感谢阅读1 2 l 1 2 lr①、矩阵行等价：A~BPAB（左乘，P可逆）Ax0与Bx0同解谢谢阅读c②、矩阵列等价：A~BAQB（右乘，Q可逆）；感谢阅读③、矩阵等价：A~BPAQB（P、Q可逆）；精品文档放心下载9. 对于矩阵A 与B ：mn ln①、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；谢谢阅读②、若A与B行等价，则Ax0与Bx0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；谢谢阅读③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；④、矩阵A的行秩等于列秩；10.若ABC，则：mssnmn①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；精品文档放心下载②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵；（转置）谢谢阅读齐次方程组Bx0的解一定是ABx0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；①、ABx0只有零解Bx0只有零解；谢谢阅读②、Bx0有非零解ABx0一定存在非零解；12.设向量组B:b,b,L,b可由向量组A:a,a,L,a线性表示为：nr12rns12s(b,b,L,b)(a,a,L,a)K（BAK）12r12s其中K为sr，且A线性无关，则B组线性无关r(K)r