三角形的证明

第一章复习1精选ppt上册第一章复习┃知识归纳┃知识归纳┃1．等腰三角形的性质性质(1)：等腰三角形的两个底角

.性质(2)：等腰三角形顶角的

、底边上的

、底边上的高互相重合．2．等腰三角形的判定(1)定义：有两条边

的三角形是等腰三角形．(2)等角对等边：有两个角

的三角形是等腰三角形．相等平分线中线相等相等2精选ppt第一章复习┃知识归纳3．用反证法证明的一般步骤(1)假设命题的结论不成立；(2)从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；(3)由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．4．等边三角形的判定(1)有一个角等于60°的

三角形是等边三角形；等腰3精选ppt上册第一章复习┃知识归类(2)三边相等的三角形叫做等边三角形；(3)三个角相等的三角形是等边三角形；(4)有两个角等于60°的三角形是等边三角形．5．直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的

.6．勾股定理及其逆定理勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的

.一半平方4精选ppt上册第一章复习┃知识归类逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是

三角形．7．线段的垂直平分线的性质定理及判定定理性质定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离

.判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的

上．[点拨]线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相等的所有点的集合．直角相等垂直平分线5精选ppt上册第一章复习┃知识归类8．三线共点三角形三条边的垂直平分线相交于

，并且这一点到三角形三个顶点的距离

.9．角平分线的性质定理及判定定理性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离

.判定定理：在一个角的内部，且到角的两边

相等的点，在这个角的平分线上．相等相等距离一点6精选ppt上册第一章复习┃知识归类[注意]角的平分线是在角的内部的一条射线，所以它的逆定理必须加上“在角的内部”这个条件．10．三角形三条角平分线的性质三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离

.相等7精选ppt►考点一线段垂直平分线的性质的应用上册第一章复习┃考点攻略┃考点攻略┃例1如图S1－1，在△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A＝30°，∠ACB＝80°，则∠BCE＝________.50°8精选ppt上册第一章复习┃考点攻略[解析]根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，所以EA＝EC，∠A＝∠ACE＝30°，又∠ACB＝80°，故∠BCE＝80°—30°＝50°.9精选ppt上册第一章复习┃考点攻略10精选ppt上册第一章复习┃考点攻略►考点二全等三角形的证明例2

如图S1－2，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明．①AB＝DE，②AC＝DF，③∠ABC＝∠DEF，④BE＝CF.11精选ppt上册第一章复习┃考点攻略解：答案不惟一，命题一：在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一直线上，AB＝DE，AC

＝DF，BE＝CF.求证：∠ABC＝∠DEF.命题二：在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一直线上，AB＝DE，∠ABC＝∠DEF，BE＝CF.求证：AC＝DF.下面证明命题一：已知：如题图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一直线上，AB＝DE，AC

＝DF，BE＝CF.求证：∠ABC＝∠DEF.12精选ppt上册第一章复习┃考点攻略证明：在△ABC和△DEF中，∵BE＝CF，∴BC＝EF.又∵AB＝DE，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF(SSS)．∴∠ABC＝∠DEF.13精选ppt上册第一章复习┃考点攻略14精选ppt上册第一章复习┃考点攻略►考点三勾股定理的应用

15精选ppt上册第一章复习┃考点攻略16精选ppt上册第一章复习┃考点攻略[解析]这个有趣的问题是勾股定理的典型应用，此问题看上去是一个曲面上的路线问题，但实际上能通过圆柱的侧面展开而转化为平面上的路线问题，值得注意的是，在剪开圆柱侧面时，要从A开始并垂直于AB剪开，这样展开的侧面才是个矩形，才能得到直角，再利用勾股定理解决此问题．17精选ppt上册第一章复习┃考点攻略解：将圆柱的侧面展开，如图S1－4，圆柱的底面周长为2πr＝2×π×＝4，取其一半：×4＝2，圆柱的高为2，根据勾股定理，得AC2＝22＋22＝8，所以AC＝2.18精选ppt上册第一章复习┃考点攻略19精选ppt上册第一章复习┃考点攻略►考点四等腰三角形的判别例4已知：在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．(1)如图S1－4，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形；(2)若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．20精选ppt上册第一章复习┃考点攻略[解析]要证明△DEF为等腰三角形，需要证DE＝DF.连接AD，利用全等可得这一结论．至于在延长线上，可利用同样的方法．图S1－521精选ppt上册第一章复习┃考点攻略解：(1)证明：连接AD，如图S1－6： ∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC的中点，∴AD⊥BC，BD＝AD，∴∠B＝∠DAC＝45°，又BE＝AF，∴△BDE≌△ADF(SAS)，∴ED＝FD，∠BDE＝∠ADF，∴∠EDF＝∠EDA＋∠ADF＝∠EDA＋∠BDE＝∠BDA＝90°，∴△DEF为等腰直角三角形．22精选ppt上册第一章复习┃考点攻略(2)若E，F分别是AB，CA延长线上的点，如图S1－7所示：连接AD，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC的中点，∴AD＝BD，AD⊥BC，∴∠DAC＝∠ABD＝45°，∴∠DAF＝∠DBE＝135°.又AF＝BE，∴△DAF≌△DBE(SAS)，图S1－723精选ppt上册第一章复习┃考点攻略∴FD＝ED，∠FDA＝∠EDB，∴∠EDF＝∠EDB＋∠FDB＝∠FDA＋∠FDB＝∠ADB＝90°，∴△DEF仍为等腰直角三角形．24精选ppt上册第一章复习┃考点攻略25精选ppt上册第一章复习┃考点攻略►考点五角平分线与“截长补短”例5如图S1－8，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE＝∠CDE，∠DCE＝∠ECB.求证：CD＝AD＋BC.图S1－826精选ppt上册第一章复习┃考点攻略[解析]结论是CD＝AD＋BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF＝CB，只要再证DF＝DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的．27精选ppt上册第一章复习┃考点攻略图S1－9证明：在CD上截取CF＝BC，如图S1－9，在△FCE与△BCE中，∴△FCE≌△BCE(SAS)，∴∠2＝∠1.∵AD∥BC，∴∠ADC＋∠BCD＝180°.又∠ADE＝∠CDE，28精选ppt上册第一章复习┃考点攻略∴∠DCE＋∠CDE＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∠1＋∠4＝90°，∴∠3＝∠4.在△FDE与△ADE中，∴△FDE≌△ADE(ASA)，∴DF＝DA.∵CD＝DF＋CF，∴CD＝AD＋BC.29精选ppt上册第一章复习┃考点攻略30精选ppt1．以下命题中，是真命题的是(

)A．两条直线只有相交和平行两种位置关系B．同位角相等C．两边和一角对应相等的两个三角形全等D．等腰三角形底边中点到两腰的距离相等D上册第一章复习┃习题讲析31精选ppt2．下列说法中，正确的是(

)A．等腰三角形边上的中线也是高B．等腰三角形的内角平分线的交点到三个顶点的距离相等C．等边三角形每条角平分线都平分对边D．直角三角形一边上的中线等于这边的一半C上册第一章复习┃习题讲析32精选ppt3．在直角三角形中，一条直角边长为a，另一条边长为2a，那么它的三个内角之比为(

)A．1∶2∶3B．2∶2∶1C．1∶1∶2D．以上都不对D上册第一章复习┃习题讲析33精选ppt4．如图S1－9，△ABC中，∠ACB＝90°，BA的垂直平分线交CB边于D，若AB＝10，AC＝5，则图中等于60°的角的个数为(

)A．2B．3C．4D．5D图S1－10上册第一章复习┃习题讲析34精选ppt5．如图S1－11，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC于点E，若BE＝4，则AC＝________.2图S1－11上册第一章复习┃习题讲析35精选ppt6．若点P是△ABC内一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，且PD＝PE＝PF，则点P是△ABC的(

)A．三条高的交点B．三条中线的交点C．三条角平分线的交点D．三条中垂线的交点C上册第一章复习┃习题讲析36精选ppt

7．在平面内，到A，B，C三点距离相等的点有(

)A．只有一个B．有两个C．有三个或三个以上D．有一个或没有D上册第一章复习┃习题讲析37精选ppt8．小明家有一块△ABC的土地，如图S1－12所示，其三边长AB＝70米，BC＝90米，AC＝50米，现要把△ABC分成面积比为5∶7∶9的三部分，分别种植不同的农作物，请你设计一种方案．图S1－12上册第一章复习┃习题讲析38精选ppt解：如图S1－13所示，分别作∠ACB和∠ABC的平分线，相交于点D，连接AD，则S△ADC∶S△ADB∶S△BDC＝5∶7∶9.图S1－13上册第一章复习┃习题讲析39精选ppt9.如图S1－14，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE，BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.上册第一章复习┃习题讲析40精选ppt证明：(1)因为E是CD的中点，所以DE＝CE.因为AD∥BC，所以∠ADE＝∠FCE，∠DAE＝∠CFE.所以△ADE≌△FCE.所以FC＝AD.(2)因为△ADE≌