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三角函数的对称性问题

具体分析以后的部分例题分析我可能会以手写的方式给大家呈现过程，这样做有两个好处：一方面可以拉近与读者之间的距离，因为高中的学弟学妹们平时做数学题的常态就是笔加草稿纸，我作为分享者也应该保持和你们一样的状态；另一方面这样可以节省我的时间，进而可以准备更多优质内容。

总结【题目分析】

本题的求解过程中，AB选项是定参数φ，首先将图像关于y轴对称翻译成数学语言，在根据正弦函数值相等自变量间的关系得出参数φ的表达式，最后结合限制条件确定参数值。

C选项是讨论三角函数的轴对称性和中心对称性，核心思想：形如y=Asin(wx+φ)，对称轴在极值点处取得，对称中心在零点处取得。

D选项讨论的是存在性问题，本质上是分析在闭区间上两个函数的值域，只有值域一致才能保证D选项说法正确。

三角函数图像的对称问题三角函数图象的对称性是三角函数的一个基本特征，其对称轴方程和对称中心坐标同三角函数其他性质一样，呈现出一定的规律性。

通过观察正弦函数、余弦函数和正切函数的图象可得如下结论。

的图象是轴对称图形，有无数条对称轴，对称轴方程为（），它们分别过图象的最高点和最低点，同时又是中心对称图形，有无数个对称中心，其对称中心坐标为（，0）（），它们是图象与x轴的交点。

对于的图象，只要将的图象向左平移个单位，就可相应地得到对称轴方程和对称中心坐标（）。

对于，它的图象是中心对称图形，有无数个对称中心，其对称中心坐标为（）。

一般地，函数（，）既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴方程为（），且它们分别过图象的最高点和最低点（简称峰点和谷点），对称中心坐标为（），它们是图象与x轴的交点。函数（，）既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴方程为（），且它们分别过图象的最值点，对称中心坐标为（），它们是图象与x轴的交点。

例1

函数的图象的一条对称轴方程是（

）

解析：（验证法）把代入得，取得最值，应选A。（直接法）由，得，当时，得，应选A。

例2

函数的图象关于原点成中心对称图形，则等于（

）A.

B.

，

C.

，

D.

，

解析：由题意知，，此时，应选B。

例3

函数的图象，向右平移（）个单位，得到的图象恰好关于对称，则的最小正值为A.

B.

C.

D.

解析：的图象向右平移个单位得的图象，且关于对称，则，，取，得，应选A。

例4

函数的图象关于对称，求a的值。

解法1：（由所确定）∴当时，，得，，又，所以。解法2：由的图象关于直线对称，所以，即，得。

例5

函数（，）是R上的偶函数，其图象关于点M（，0）对称，且在上是单调函数，求和的值。

解析：由是偶函数，得，即，所以。因，所以，由，得。由于的图象关于点M（，0）对称，所以，当时，，即。∴，得。①∵在上是单调函数，∴，得。②由①②知或。

例6

把函数的图象向左平移m（）个单位，所得的函数的图象关于直线对称。（1）求m的最小值；（2）证明当时，经过函数图象上任意两点的直线斜率恒为负值。解析：（1）由已知得，向左平移m个单位后得函数，由图象关于直线对称，知时必取得最大值或最小值。∴或，即或，整理得·，即，得，这时。

（2）为了证明函数的图象上