二次根式常考题型

#二次根式§1.1二次根式的概念〔1〕二次根式的定义：像CNG，而这样表示的算术平方根，且根号内含字母的代数式叫做二次根式。为了方便，我们把一个数的算术平方根〔如一丫2〕也叫做二次根式。……即一个非负数的算术平方根。〔注意：二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方式〔数〕大于或等于零〔非负〕。题型：类型之一：二次根式的定义.判断，以下各式中哪些是二次根式?访；#；xT^yHSUS；Jx2+y2；户；R；a〔〔a<0=；.以下各式是二次根式吗？区_,j <233♦一2 aa2+1Ub(b<0)Jb2_4acTOC\o"1-5"\h\z、 、 、 、 、 .x，4中，是二次根式的有3,在式子3/4?,x2+y2,Ja—1,J-2xQ<0)Jx2-2x+1x，4中，是二次根式的有〔 〕A.2个B.3个 C.4个 D.5个总结：判断一个式子是二次根式要满足：①二次根式都含有二次根号\「”；②在二次根式中，被开方数a必须满足a>0，当a<0时，根式无意义;③在二次根式中，a可以是数也可以是一个代数式；④二次根式4a(a>0)是a的算术平方根，所以、a>0。类型之二：确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围1,求以下二次根式中字母a的取值范围：①；②""-2a'③、'1，(a-3)2；④"口：⑤，'23-4x；⑥，F=⑦/x|+1.当以下各题的字母取何值时，以下各式为二次根式：⑴aa2⑴aa2+b2(2)<-3%⑶(4).当x取什么实数时，以下各式有意义?⑵%；(2x-11；

(4)JQ-1)6-x)；(4)JQ-1)6-x)；42x-1⑸x-5§12二次根式的性质.(a^)2=aa>0)解二次根式问题的根本途径一一通过平方，去掉根号有理化a(a>0).苏=lal= < 揭示了与绝对值的内在一致性—a(aV0〕7ab=Ga•bb(a>0,b>0)4、,a=3a(a>0,6>0),给出了二次根式乘除法运算的法那么5.假设a>b>0,那么4a>bb>0,反之亦然，这是比拟二次根式大小的根底运用二次根式性质解题应注意：〔1〕每一性质成立的条件，即等式中字母的取值范围；〔2〕要学会性质的“正用〃和“逆用〃，既能够从等式的左边变形到等式的右边，也能够从等式的右边变形到等式的左边。题型类型之一.求以下二次根式的值：〔1〕、;‘(3—兀)2； 〔2〕v'x2—2x+1,其中x=—、3..计算：〔1〕<25； 〔2〕.«(-1.5)2；--—— 二—― 3〔3〕((a-3)2〔a<3〕； 〔4〕、：(2x—3)2fx<-〕乙5 万5 万(3)—；(4)—；9 7(1)121x225；(2)42x7；.化简：.先化简，再求出下面算式的近似值(精确到0.01〕(1)(-18)•(-24](2)-1—；(3)，0.001x0.5。49.〔1〕<2a-4+13+b|+c2+4c=-4，求(a卜的值.b

(2)假设a<0,那么|a|+aa2+%a3=4、a、b、c在数轴上的位置如以下图所示，那么式a-b)2--式b+c)2= 1 1 1 1 >cb0a-二 1" ?5、假设a<0,那么i■(a--)2+4=a6、假设,a2b=-a、/b，那么a,b7、化简：〔1〕Jx4-2x3+x2(0<x<1) (2)<a2-16a+64+J—a[1<1一aa<8〕总结：化简的步骤：①先进行观察，寻找平方因数、带分数、处理符号等；②确定运算的顺序，并应用性质进行变形；③作出化简后的结果；④再回忆题目中的要求〔精确度等〕或适当调整解答的顺序,寻找更为合理的解答方法。对二次根式化简结果的要求：①根号中不能含有除1以外的平方因数〔能开得尽方的因式要尽量开出来〕；②根号内的结果应该是自然数，即不能含有分母或小数；③分母中不能含有根号。§1.3二次根式的运算aa,bb=abb（a三0,b三0）va鼻（心0，20）类型之一1.计算：〔1〕获义国；〔21.计算：〔1〕获义国；〔2〕i3x27；〔3〕<5.2x107.XX109〔2〕一呼〔2〕一呼2v20〔3〕x+13「x+22a2b2c4〔5〕1.J

6「七〔5〕1.J

6「七〔6〕a-b弋a+bb於—〔7〕2、：18・丁5、：2〔8〕类型之二1、化简:ai；（a+b）2当a>0b>0时，结果为,当a<0,b<0时，结果为2、V3的倒数是 ，相反数是 .3、3xx+1的有理化因式是 。4、如果5xX=7,，那么x=。5、化简：2x'-2= 。x6、假设a>0,那么a的算术平方根的倒数是—7、假设&是无理数，那么其倒数是 8、,2-x的值为或。(2-x)29、V16的平方根的倒数为.10、选择题：〔1〕.当a>0,b<0时，以下各式中，正确的选项是〔〕.①bb~_b②咨二a③、，/a2b-2ab2+b3=(a-b)、:-b④.上=L-

((a”-a bb2b bb2bA.①和④B.③ C.④ D.⑤〔2〕.将±1分母有理化正确的选项是〔〕.'x+2A.二立！tx+2C.J(x+1)(x+2)x+2B.v；(x+1)(x+2)D.V(x+1)(x-2)〔3〕.化简Ji+y5AO］的结果是〔l.Vx2A.-1++x2yxC.—J1+x2yx2〔4〕.等式工三成立的条件为〔〕.'；b --b1.7b.-v,1+yxID.x、；1+x2yA.a三0,b三0B.a三0,b>0 C.aW0,bW0〔5〕.假设区=-上成立，那么有〔〕.xx4 x2D.aW0,b<0A.yW0,xW0B.yW0,x为任意实数C.y<0,xWOD.y三0,xW011、化去根号内的分母〔字母表示正数〕.1•尸X31•尸X34.二〔X>y>0]'；X一y2.’辿‘l3a- ■3n5.,- 98m3.6a；邑22a6.:x+1 〔X>3〕x5(x一3)总结：乘除法运算一般步骤〔1〕运用法那么，化归为根号内的运算；〔2〕完成根号内的相乘、除〔约分〕运算；〔3〕化简二次根式。总结解决此类问题的一般步骤：①应用性质，化归为根号内的实数运算；②完成根号内的乘除运算〔一般要化得简单〕；③化简二次根式。类型之三(1)%：27-3M义、d(2)(\■--3<3)•<6；(3)C48—"27)+<31.计算： 、’83.以下计算哪些正确，哪些不正确？并适当地说明理由:abb①△+<2=m②aa—%：b=7a-b,③a+y1b二abb一t~/ 1、；— —<3a——v'2a=a(——7a=0④ay/a+byja=(a+b)7a.⑤3 2二次根式的四那么混合运算中：①能化简的先化简；②当化简后被开方数相同时可象合并同类项那样合并；③在二次根式的运算中要注意运用乘法公式和乘法法那么，使运算简便。类型之四(1)已知X=。3求代数式(X—2>—(X—2)(X+2)+2\/3的值(2)已知a=.<3+、:2b=v3—42,求a2—ab+b2的值.,、 aaaaab,,,,〔3〕a=22,b=v3,求7+一的值.ba〔4〕设a、b、c是实数，假设a+b+c=24a+1+4\b+1+6c——2—14,求a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)的值。此题型主要是先化简后求值的方式进行。§1.4综合应用类型之一

1.实数〃满足|2008-〃+'11”—2009—a,求a—200821.实数〃满足|2008-〃.假设是实数，且y<岳二1+&-2X+2，化简一->.y-2.在△ABC中，a、b、c是三角形的三边，化简、；(。—b+c)2—21c—a—bl.： x2+8x+16+x2—12x+36—10，化简：\：1(2x+8%+12x—12.5假设七’2—x+(y+3)―0,求xy2的值.6.假设y―Vx—2009+v2009—x+2010，求x—y的值.类型之二.如图，池塘边有两点A、8,点C是与BA方向成直角的AC方向上的一点，现测得CB=60m=60m,AC=20{5m。请你求出A、B两点间的距离。.如下图，有一边长为8米的正方形大厅，它的