初一数学图形与面积竞赛教程含例题练习及答案

初一数学图形与面积竞赛教程含例题练习及答案初一数学竞赛讲座：图形与面积一、直线图形的面积在小学数学中，我们学习了几种简单图形的面积计算方法。但是，在数学竞赛中，面积问题不仅具有直观性，而且变换精巧，妙趣横生，对开发智力和发展能力非常有益。图形的面积是图形所占平面部分的大小的度量。它有两个性质：1.两个可以完全重合的图形的面积相等；2.图形被分成若干部分时，各部分面积之和等于图形的面积。对于图形面积的计算，我们应当熟记一些主要的面积公式，例如正方形面积=边长×边长；矩形面积=长×宽；平行四边形面积=底×高；三角形面积=底×高÷2；梯形面积=（上底+下底）×高÷2。此外，以下事实也非常有用，它对提高解题速度非常有益：1.等腰三角形底边上的高线平分三角形面积；2.三角形一边上的中线平分这个三角形的面积；3.平行四边形的对角线平分它的面积；4.等底等高的两个三角形面积相等。解决图形面积的主要方法有：1.观察图形，分析图形，找出图形中所包含的基本图形；2.对某些图形，在保持其面积不变的条件下改变其形状或位置（叫做等积变形）；3.作出适当的辅助线，铺路搭桥，沟通联系；4.把图形进行割补（叫做割补法）。例1：你会用几种不同的方法把一个三角形的面积平均分成4等份吗？解：最容易想到的是将△ABC的底边4等分，如左下图构成4个小三角形，面积都为原来的三角形面积的1/4。另外，先将三角形△ABC的面积2等分（如右上图），即取BC的中点D，连接AD，则S△ABD=S△ADC，然后再将这两个小三角形分别2等分，分得的4个小三角形各自的面积为原来大三角形面积的1/4。还有许多方法，如下面的三种。请你再想出几种不同的方法。例2：右图中每个小方格面积都是1cm2，那么六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？分析：解决这类问题常用割补法，把图形分成几个简单的容易求出面积的图形，分别求出面积。也可以求出六边形外空白处的面积，从总面积中减去空白处的面积，就是六边形的面积。解法1：把六边形分成6块：△ABC，△AGF，△PEF，△EKD，△CDH和正方形GHKP。用S表示三角形面积，如用S△ABC表示△ABC的面积。则六边形ABCDEF的面积为：S△ABC+S△AGF+S△PEF+S△EKD+S△CDH+S正方形GHKP=3S+2。因为S=1，所以六边形ABCDEF的面积为：3+2=5(cm2)。在Rt△AEF中，已知∠AFE=45°，因此∠FAE=45°，从而可以得到EF=AE=12（cm）。根据题意，可以利用“补形法”求解S四边形ABCD的面积。通过计算S△ADF和S△BCF的面积，可以得到S四边形ABCD的面积为84（cm）。在数学竞赛中，利用“补形法”求解图形面积的问题很常见。例如，对于正六边形ABCDEF，可以将其分成6个面积为1cm²的正三角形，并将另外三个面积为1cm²的正三角形分别拼在边BC，DE，AF外面，得到一个面积为9cm²的大正三角形。因此，三角形MNP的面积为2.25（cm²）。在计算圆的周长和面积时，可以利用公式进行计算。其中，圆的周长为2πr或πd，圆的面积为πr²。对于中心角为n°的弧和扇形，其长度和面积分别为nπr/180和nπr²/360。对于给定的三个半圆，其阴影部分的周长可以通过将它们拼成一个完整的圆来计算得出。因为两个小半圆的直径之和等于大半圆的直径，所以它们的周长之和也等于大半圆的半圆周。某开发区的大标语牌上，要画出如下图所示的三种标点符号：句号、逗号、问号。已知大圆半径为R，小圆半径为r，且R=2r。若均匀用料，则哪一个标点符号的油漆用得多？哪一个标点符号的油漆用得少？分析：在均匀用料的情况下，油漆用量多少问题可转化为阴影部分的面积大小问题。现在涉及到的基本图形是圆，弄清阴影部分如何由大小圆分割、组合而成，是解该题的关键点和突破口。解：因为句号的面积为S句号=S大圆-S小圆=πR²-πr²=π(2r)²-πr²=3πr²说明：我们需要注意日常生活中的“非常规”问题，这些问题需要我们细心观察、积极思考，考虑转化为“常规”数学问题的可能性和途径。像上例那样，认真分析图形的特征和课本图形的基本关系，进一步探讨能否由基本图形分割而成、组合而成。2.圆与组合图形在日常生活中，除了经常遇到直线型（如矩形、正方形、三角形、梯形等）以及曲线型（如圆、扇形等）的面积外，还经常遇到不同形状图形叠加而成的组合图形的面积问题。组合图形的面积计算，可以根据几何图形的特征，通过分割、割补、平移、翻折、对称、旋转等方法，化复杂为简单，变组合图形为基本图形的加减组合。例9下图中，ABCD是边长为a的正方形，分别以AB，BC，CD，DA为直径画半圆。求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积。解：图中阴影部分是由四个半圆的重叠部分构成的，这四个半圆的直径围成一个正方形。显然，这四个半圆的面积之和大于正方形的面积，两者的差就是阴影部分的面积。因此，我们就得到以下的算式：说明：此例除了用上面的解法外，还可以采用列方程解应用题的方法来解。例10如左下图所示，平行四边形的长边是6cm，短边是3cm，高是2.6cm，求图中阴影部分的面积。分析：本题的图形比较复杂，我们可以先计算阴影部分的一半（见右上图）。我们的目标是把图形分解成若干基本图形的组合或叠合。本题中的基本图形就是大、小两种扇形，以及平行四边形。仔细观察后得出结论：右上图中的阴影部分等于6说明：求一个不规则图形的面积，要设法找出它与规则图形面积的关系，化不规则为规则。1.分析与解：首先求出正方形的边长，即√50=5√2（cm）。由题可知长边是短边的2.5倍，设短边为x，则长边为2.5x。根据勾股定理可列出方程x²+（2.5x）²=（5√2）²，解得x=2√2（cm）。因此三角形ABC的面积为1/2×2√2×5√2=10（cm²）。2.分析与解：首先连接BF、CG，得到四个小三角形和一个大三角形。根据长方形的性质，有BF=12cm，CG=18cm，EF=18cm。由三角形面积公式可得小三角形面积为1/2×12×18=108（cm²），大三角形面积为1/2×24×36=432（cm²）。因此阴影部分面积为432-4×108=180（cm²）。3.分析与解：将“6”字分成若干个小矩形和小三角形，计算它们的面积，再将阴影部分的面积加起来。可得阴影部分面积为16/28=4/7。4.分析与解：连接AC、BD，得到两个三角形和一个梯形。由题可知AP=2PF，CQ=2BQ，因此AP=2AC/3，CQ=2BD/3。设CE=x，PE=y，则EQ=2x，QC=2x+y，PC=2x+2y，PD=2y。根据梯形面积公式可得梯形面积为1/2×(AC+BD)×CE=27（cm²）。由三角形面积公式可得三角形APE和CPD的面积分别为2x²/3和2y²/3。因此阴影四边形CEPQ的面积为27-2x²/3-2y²/3。5.分析与解：设小正六角星形的边长为x，则大正六角星形的边长为2x。由题可知小正六角星形面积为16（cm²），因此小正六角星形的边长为2（cm）。由正六角星形面积公式可得大正六角星形面积为6×(2√3)²=24√3（cm²）。6.分析与解：设长方形的长为x，宽为y，则2x+2y=56。根据题意可得CE=3y/4，EP=x-CE，PQ=y/4，CQ=x-PQ。由梯形面积公式可得梯形面积为1/2×(CE+CQ)×PQ=9/8xy。由周长公式可得x+y=28，因此y=28-x。代入梯形面积公式中可得梯形面积为9/8x(28-x)。由题可知梯形面积为54，因此解方程9/8x(28-x)=54可得x≈17.66，y≈10.34。代入梯形面积公式中可得阴影四边形CEPQ的面积为9/8×17.66×10.34≈156.6（cm²）。1.根据图1和图2，可以得知小长方形的面积比例分别为A:B:C=1:2:4和A':B':C'=1:3:9。同时，根据题目中的条件，可以列出一个方程：(D'的宽-D的宽)/(D'的长-D的长)=1/3。解方程可得D'的长为3D，D'的宽为D。因此，大长方形的面积为(4A'+4B'+4C'+D'*D)/2=22A=22cm²。2.设小正方形的边长为x，则大正方形的边长为x+2，因为大正方形的面积比小正方形的面积多44cm²。根据面积公式，得到(x+2)²-x²=44，解得x=6，因此小正方形的边长为6cm，大正方形的边长为8cm。3.将长方形ABCD分为两个三角形和一个梯形，如图所示。根据题目中的条件，可以列出一个方程：(AD+BC)/2=5，解得AD+BC=10。根据勾股定理，得到BD²=AD²+AB²=BC²+CD²，代入AD+BC=10，化简得到BD=2√5。因此，长方形ABCD的面积为2√5×5=10√5≈22.4cm²。4.将正六边形ABCDEF等分为54个小正三角形，如图所示。根据平行四边形对角线平分平行四边形面积，可以计算出三个小三角形的面积分别为3、9和11。因此，阴影四边形CEPQ的面积为54-3-9-11=31。5.将阴影部分小正六角星形分解为12个与三角形OPN全等的小三角形，如图所示。因为三角形OPN的面积为1/2，所以正三角形OPM的面积为3/2。由于大正六角星形由12个与正