数列题型总结

题型1已知数列前几项求通项公式1．数列的通项．2．数列的通项．3．数列的通项．4.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：5.观察下面数列的特点，写出每个数列的一个通项公式： 6．写出下面数列的一个通项公式：。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（1）（2）（3）（4）（5）相关的高考试题有：（2004年全国卷）已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项分析：由已知，．由生成两式相减得：，即为商型的，用累乘法可得…（2006年广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球总数，则；…（答案用表示）.题型2由an与Sn的关系求通项公式==．一般已知条件中含an与Sn的关系的数列题均可考虑用上述公式．１．已知数列的前项和，则n．２．已知数列的前项和，则．3：（04年浙江）设数列{an}的前项的和Sn=（an-1）(n)．(Ⅰ)求a1；a2；(Ⅱ)求证数列{an}为等比数列．4.数列{an}的前n项和Sn=3·2n-3,求数列的通项公式.5：设数列{an}的前n项和为Sn=2n2+3n+2，求通项an的表达式，并指出此数列是否为等差数列.6：已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且nan+1=Sn+n(n+1)，求an．7.(2004全国卷)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=2an+(-1)n,n≥1．（Ⅰ）写出求数列{an}的前3项a1,a2,a3；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）证明：对任意的整数m>4，有.8..（2006年湖北卷）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m．点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力．9.（2006年安徽卷）数列的前项和为，已知．（Ⅰ）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．题型3已知数列递推公式求通项公式1．已知数列的首项，且，则3n-2．2．已知数列的首项，且，则．3．已知数列的，且，则1．4．已知数列的，且,则n．一、由等差，等比演化而来的“差型”，“商型”递推关系分析：①等差数列：生成：，，…，累加：=由此推广成差型递推关系：累加：=，于是只要可以求和就行．题组一：数列中，，求的通项公式．变式1：数列中，，求的通项公式．变式2：数列中，，求的通项公式．变式3：已知数列满足，，求．变式4：数列中，，求的通项公式．分析：②等比数列：生成：，，…，累乘：=由此推广成商型递推关系：累乘：题组二、已知数列的首项，且，则．变式1：已知数列的首项，且，则．变式2：数列中，，求的通项公式．变式3：数列是首项为1的正项数列，且，求的通项公式．若数列满足：．求证：①；②是偶数．例2、已知数列，且,其中k=1,2,3,…….（=1\*ROMANI）求；（II）求{an}的通项公式.二．由差型，商型类比出来的和型，积型：即例如：数列中相邻两项，是方程的两根，已知，求的值．分析： 由题意：+ ①生成：+ ②②—①：．所以该数列的所有的奇数项成等差，所有的偶数项也成等差．其基本思路是，生成，相减；与“差型”的生成，相加的思路刚好相呼应．到这里本题的解决就不在话下了．特别的，若+，则．即该数列的所有的奇数项均相等，所有的偶数项也相等．若 ①则 ②②÷①：．所以该数列的所有的奇数项成等比，所有的偶数项也成等比．其基本思路是，生成，相除；与“商型”的生成，相乘的思路刚好相呼应．特别地，若，则．即该数列的所有的奇数项均相等，所有的偶数项也相等．三．可以一次变形后转化为差型，商型的1．例如：设是常数，且，（）．证明：．分析：这道题目是证明型的，最简单的方法当然要数数学归纳法，现在我们考虑用推导的方法来处理的三种方法：方法（1）：构造公比为—2的等比数列，用待定系数法可知．方法（2）：构造差型数列，即两边同时除以得：，从而可以用累加的方法处理．方法（3）：直接用迭代的方法处理：．说明：①当时，上述三种方法都可以用；②当时，若用方法1，构造的等比数列应该是而用其他两种方法做则都比较难．③用迭代法关键是找出规律，除含外的其它式子，常常是一个等比数列的求和问题．2．型例如：已知，首项为，求．（2003年江苏卷22题改编）方法1：两端取常用对数，得，令，则，转化如上面类型的．特别的，a=1，则转化为一个等比数列．方法2：直接用迭代法：四．型的利用转化为型，或型即混合型的转化为纯粹型的．例如：已知数列的前n项和Sn满足(Ⅰ)写出数列的前3项(Ⅱ)求数列的通项公式．分析： -①由得 -②由得，，得 -③由得，，得-④用代得 -⑤①—⑤：即 --⑥ -⑦又如：数列的前n项和记为，已知证明：数列是等比数列方法1∵∴整理得所以故是以2为公比的等比数列.方法2：事实上，我们也可以转化为，为一个商型的递推关系，由=．当然，还有一些转化的方法和技巧，如基本的式的变换，象因式分解，取倒数等还是要求掌握的．生成与迭代是递推关系的最重要特征．递推关系一般说来，是对任意自然数或大于等于2的自然数总成立的一个等式，自然数n可以取1，2，3…n，n+1等等，这样就可以衍生出很多的等式．这就是所谓的生成性．对于生成出来的等式，我们往往选一些有用的进行处理．比如相加，相减，相乘，相除等，但用的最多的还是由后往前一次又一次的代入，直到已知项．这种方法就叫迭代．上面的很多例题都可以体现这一点．这种很朴素的思想，对于相关的其他数列问题也是非常有效的．例题练习1、（2004年全国卷）已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项2.已知数列中，是其前项和，并且，(Ⅰ)设数列，求证：数列是等比数列；(Ⅱ)设数列，求证：数列是等差数列；（Ⅲ）求数列的通项公式及前项和．3.（04年重庆）设a1=1,a2=,an+2=an+1-an(n=1,2,---),令bn=an+1-an(n=1,2---)．(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式；(Ⅱ)求数列{nan}的前n项的和．4.（04年全国）已知数列{an}中，a1=1，a2k=a2k-1+(-1)K,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3，…．（I）求a3,a5；（II）求{an}的通项公式．5.（2004年全国）已知数列，且a2k=a2k－1+(－1)k,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,…….（I）求a3,a5；（II）求{an}的通项公式．6.(2004年天津理)已知定义在R上的函数和数列满足下列条件：，，其中a为常数，k为非零常数．（I）令，证明数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）当时，求．7.(2006年重庆卷)