热工实验方法＿第二节＿正交实验设

正交试验由来正交试验单因素试验的方差分析多因素试验的方差分析无相互作用正交实例有相互作用正交实例1热科学与能源工程系－热工实验方法了中国型正交试验设计法。热科学与能源工程系－热工实验方法正交试验设计正交试验设计法是研究与处理多因素实验的一种科学方法。利用规格化的表格—正交表,科学地挑选试验条件,合理安排实验。30年代，由于农业试验的需要，费歇(R.

A.Fisher)在试验设计和统计分析方面做出了一系列先驱工作，从此试验设计成为统计科学的一个分支。该方法由日本的田口玄一于1949年创立。正交试验设计方法是从全面试验中挑出部分有代表的点进行试验,这些代表点具有“均匀”和“整齐”的特点。正交试验设计是部分因子设计(fraction

factorialdesigns)的主要方法,具有很高的效率。正交试验设计法最早由日本质量管量专家田口玄一提出,称为国际标准型正交试验法。认为：“一个工程技术人员若不掌握正交试验设计法,只能算半个工程师”。我国工业企业特别是化工、纺织、医药、电子、机械行业,正交试验设计法的应用也取得相当的成就,中国数学家张里千教授发明1.1正交试验由来2试验设计案例3热科学与能源工程系－热工实验方法为提高某化工产品的转化率，选择了三个有关因素进行条件试验，反应温度(A)，反应时间(B)，用碱量(C)，并确定了它们的试验范围：A：80-90℃B：90-150分钟

C：5-7％试验目的是搞清楚因子A、B、C对转化率有什么影响，哪些是主要的，哪些是次要的，

从而确定最适生产条件，即温度、时间及用碱

量各为多少才能使转化率高。试制定试验方案。1.1正交试验由来这里，对因子A，在试验范围内选了三个水平；因子B和C也都取三个水平：A：Al＝80℃，A2＝85℃，A3=90℃B：Bl＝90分，B2＝120分，B3=150分C：Cl＝5％，C2＝6%，C3＝7%当然，在正交试验设计中，因子可以是定量的，也可以是定性的。而定量因子各水平间的距离可以相等，也可以不相等。这个三因子三水平的条件试验，通常有两种进行试验方法：4热科学与能源工程系－热工实验方法试验解决方案分析1.1正交试验由来(1)取所有组合取三因子所有水平之间的组合，即A1B1C1，A1B1C2，A1B2C1，……，A3B3C3，共有33=27次试验。用图表示就是图1

立方体的27个节点。这种试验法叫做全面试验法。解决方案(1)5热科学与能源工程系－热工实验方法1.1正交试验由来指参与实验的全部因素与全部位级相互之间的全部组合次数，即全部的实验次数。例：有3个因素(A,B,C),

每个因素有两个位级(A1

A2，6热科学与能源工程系－热工实验方法2

2B1

B2

，C1

C2)，则完全因素位级组合数为：=C

1

C

1C

1=2³=8次2全面试验对各因子与指标间的关系剖析得比较清楚。但试验次数太多。特别是当因子数目多，每个因子的水平数目也多时。试验量大得惊人。如选六个因子，每个因子取五个水平时，如欲做全面试验，则需56＝15625次试验，这实际上是不可能实现的。如果应用正交实验法，只做25次试验就行了。而且在某种意义上讲，这25次试验代表了15625次试验。1.1正交试验由来(2)单因素转换法变化一个因素而固定其他因素，如首先固定B、C于Bl、Cl，使A变化之：↗A1B1C1

→A2↘A3(好结果)如得出结果A3最好，则固定A于A3，C还是Cl，使B变化之：↗B1A3C1→B2(好结果)↘B3得出结果以B2为最好，则固定B于B2，A于A3，使C变化之：↗C1A3B2→C2(好结果)↘C3试验结果以C2最好。于是就认为最好的工艺条件是A3B2C2。7热科学与能源工程系－热工实验方法解决方案(2)1.1正交试验由来这种方法一般也有一定的效果，但缺点很多。首先这种方法的选点代表性很差，如按上述方法进行试验，试验点完全分布在一个角上，而在一个很大的范围内没有选点。因此这种试验方法不全面，所选的工艺条件A3B2C2不一定是27个组合中最好的。其次，用这种方法比较条件好坏时，是把单个的试验数据拿来，进行数值上的简单比较，而试验数据中必然要包含着误差成分，所以单个数据的简单比较不能剔除误差的干扰，必然造成结论的不稳定。8热科学与能源工程系－热工实验方法1.1正交试验由来(3)正交试验法试验工作者在长期的工作中总结出一套办法，创造出所谓的正交表。按照正交表来安排试验，既能使试验点分布得很均匀，又能减少试验次数。如上例，对应于A有Al、A2、A3三个平面，对应于B、C也各有三个平

面，共九个平面。则这九个平面上的试验点都应当一样多，即对每个因

子的每个水平都要同等看待。具体来说，每个平面上都有三行、三列，

要求在每行、每列上的点一样多。这样，作出如图2所示的设计，试验点用⊙表示。我们看到，在9个平面中每个平面上都恰好有三个点而每个平面的每行每列都有一个点，而且只有一个点，总共九个点。这样的试验

方案，试验点的分布很均匀，试验次数也不多。解决方案(3)9热科学与能源工程系－热工实验方法1.1正交试验由来试验指标：根据试验目的而选定的用来衡量试验效果的量值(指标)。它是一个随机变量。为了方便起见，常用x表示。1.2正交试验基本概念望大值望小值望目值定量指标单指标颜色的深浅

多指标定性指标味道

对定性指标可以用加权的的方法量化为不同等级。10热科学与能源工程系－热工实验方法因素（因子）：将试验中要加以考察而改变状态的因素称为因子，如在工业生产中，影响产品质量的因子有原材料、工艺条件、工人技术水平等，常用A,B,C等大些英文字母表示。(1)定量的因素

(2)可控因素

(3)定性的因素(4)不可控因素11热科学与能源工程系－热工实验方法1.2正交试验基本概念1.2正交试验12热科学与能源工程系－热工实验方法基本概念水平：因子在试验中所取得状态称为水平，如果一个因子在试验中取k个不同状态，就称该因子有k个不同水平。因子A的k个水平常用

A1,A2,…Ak表示。正交试验设计：来选择最佳的或满意的试验条件，即通过安排若干个条件进行试验，并利用正交表的特点进行数据分析的一种常用的试验设计的方法。正交表特点中每种数字对均出现一次。13热科学与能源工程系－热工实验方法（1）每一列中，不同的字码出现的次数相等。如表中，字码“1“和

“2”各出现两次；（2）任意两列中，将同一行的两个字码看成有序数字对时，则必然构成完全有序数字对：（1，1）、（1，2）、（2，1）、（2，2），其试验号列号L4（23）12311112122321242211.2正交试验1.2正交试验14热科学与能源工程系－热工实验方法正交表概念为了叙述方便，用L代表正交表，常用的有L8(27)，L9(34)，L16(45)，L8(4×24)，L12(211)，等等。此符号各数字的意义如下：L8(27)7为此表列的数目（最多可安排的因子数）2为因子的水平数8为此表行的数目（试验次数）L18(2×37)有7列是3水平的有1列是2水平的L18(2×37)的数字告诉我们，用它来安排试验，做18个试验最多可以考察一个2水平因子和7个3水平因子。正交的类型：若记一般的正交表为Ln(qp),则：（1）正交表的行数n，列数p,水平数q间有如下关系n=qk,k=2,3,4,…,p=(n-1)/(q-1)如二水平正交表L

4

(2

3

),L

8

(2

7

),L

16

(2

15

),L

32

(2

31

)等，三水平正交表L

9

(3

4

),L等，这一类正交表不仅可以考察各因子对试验指标的影响，还可以考察因子之间的交互作用影响。（2）另一类正交表的行数，列数，水平数之间不满足上述的两个关系，往往只能考察各因子的影响，不能用这些正交表来考察因子间的交互作用。如15热科学与能源工程系－热工实验方法12二水平正交表

L

(211),

L

(219)

等，三水平正交表

L20

18平正交表L18(2×37),L36(23×313)等。1.2正交试验正交表概念1.2正交试验16热科学与能源工程系－热工实验方法由此分别得出结论：温度越高转化率越好，以90℃为最好，但可以进一步探索温度更好的情况。反应时间以120分转化率最高。用碱量以6％转化率最高。所以最适水平是A3B2C2。17热科学与能源工程系－热工实验方法1.2正交试验正交设计的步骤及结果分析18热科学与能源工程系－热工实验方法试验设计步骤：①

挑选因素、水平，画水平表②

选正交表看水平、因素数试验次数（以少为好）③

对号入座，列出试验方案结果分析：①

极差分析②

画趋势图分析1.2正交试验1.3单因素试验的方差分析19热科学与能源工程系－热工实验方法试验结果是由某因素各水平不同引起的，还是由试验误差引起的？答：方差分析正是将因素水平变化所引起的试验结果间的差异与误差波动所引起的

试验结果间的差异区分开的一种数学方法。1.3单因素试验的方差分析某一因素水平试验次数合计平均值1234A11y11=68y12=64y13=77y14=59268y1=67A22y21=42y22=59y23=36y24=55192y2=48A33y31=53y32=62y33=63y34=62240y3=60A44y41=50y42=53y43=41y44=40184y4=46A55y51=70y52=43y53=47y54=68228y5=57A66y61=67y62=63y63=56y64=70256y6=6420热科学与能源工程系－热工实验方法1.3单因素试验的方差分析某一因素水平试验次数合计1234A11y11-y1=1y12-y1=-3y12-y1=10y12-y1=-80A22y21-y2=-611-1270A33y31-y3=-72320A4447-5-60A5513-14-10110A663-1-860误差的偏差平方和21热科学与能源工程系－热工实验方法(a)试验的误差分析1.3单因素试验的方差分析某一因素水平试验次数合计1234A11y11-y1=1y12-y1=-3y12-y1=10y12-y1=-80A22y21-y2=-611-1270A33y31-y3=-72320A4447-5-60A5513-14-10110A663-1-860数据个数多的偏差平方和就可以大，为消除数据个数的影响，可采用误差的平均偏差平方和V误。V误=S误/f误＝1412/18＝78.44（定量估计）(a)试验的误差分析22热科学与能源工程系－热工实验方法1.3单因素试验的方差分析某一因素水平试验次数1234A11y1－y=10y1－y=10y1－y=10y1－y=10A22y2－y=-9y2－y=-9y2－y=-9y2－y=-9A33y3－y=3y3－y=3y3－y=3y3－y=3A44y4－y=-11y4－y=-11y4－y=-11y4－y=-11A55y5－y=0y5－y=0y5－y=0y5－y=0A66y6－y=7y6－y=7y6－y=7y6－y=7(b)因素水平变化的分析23热科学与能源工程系－热工实验方法1.3单因素试验的方差分析(b)因素水平变化的分析24热科学与能源工程系－热工实验方法1.3单因素试验的方差分析某一因素水平试验次数1234A11y11－y=11y12－y=7y13－y=20y14－y=2A22y21－y=-15y22－y=2y23－y=-21y24－y=-2A33y31－y=-4y32－y=5y33－y=6y34－y=5A44y41－y=-7y42－y=-4y43－y=-16y44－y=-17A55y51－y=13y52－y=-14y53－y=-10y54－y=11A66y61－y=10y62－y=6y63－y=-1y6－y=13(c)总的偏差平方和及总自由度25热科学与能源工程系－热工实验方法1.3单因素试验的方差分析(c)总的偏差平方和及总自由度Fα(fA,f误)F0.1(5,18)=2.20F0.05(5,18)=2.77F0.01(5,18)=4.25当FA>F

α时，我们就有(1-α)的把握说因素A对指标有显著性影响；

FA=3.67>F0.05(5,18)=2.77,我们说有(1-0.05)=95%的把握说因素A对试验结果有显著影响。26热科学与能源工程系－热工实验方法f2f1123456101.491.601.601.591.591.58111.471.581.581.571.561.55121.461.561.561.551.541.53131.451.551.551.531.521.51141.441.531.531.521.511.50151.431.521.521.511.491.48161.421.511.511.501.481.47171.421.511.501.491.471.46181.411.501.491.481.461.45191.411.491.491.471.461.44201.401.491.481.471.451.44P(F>Fα)=

αF0.25(f1,f2)=

F0.25(5,18)=1.46α=0.251.3单因素试验的方差分析27热科学与能源工程系－热工实验方法1.4多因素试验的方差分析28热科学与能源工程系－热工实验方法多因素试验结果间的差异也由两部分组成:(1)试验误差

(2)各因素水平与单因素试验相同之处：通过方差分析将误差引起的差异与试验条件引起的结果差异区分开。与单因素试验不同之处：把影响试验结果的主要因素和次要因素区分开。1.4多因素试验的方差分析热科学与能源工程系－热工实验方法例题寻求合理的钢材热处理条件。(1)试验目的：提高钢材的强度；

(2)考察指标：

(kg/mm2)；(3)确定因素和水平：因素A(处理温度，℃)B(淬火温度，℃)C(回火时间，min)一水平84041040二水平85043060三水平86045080(4)选择正交表：

L9(34)；291.4多因素试验的方差分析试验号因素A

(1)空(2)B

(3)C

(4)试验结果ya

(Kg/mm2)(ya-185)11(840)11(410)1(40)190(5)21(840)22(430)2(60)200(15)31(840)33(450)3(80)175(-10)42(850)12(430)3(80)165(-20)52(850)23(450)1(40)183(-2)62(850)31(410)2(60)212(27)73(860)13(450)2(60)196(11)83(860)21(410)3(80)178(-7)93(860)32(430)1(40)187(2)T110-4255T256-353T3619-1-37T121001662525T22253692809T323636111369(T1

+

T1

+

T1

)/32

2

253.67137.67211.67140130热科学与能源工程系－热工实验方法1.4多因素试验的方差分析试验号 因素A

(1)空(2)B

(3)C

(4)试验结果ya

(kg/mm2)(ya-185)11(840)11(410)1(40)190(5)21(840)22(430)2(60)200(15)31(840)33(450)3(80)175(-10)42(850)12(430)3(80)165(-20)52(850)23(450)1(40)183(-2)62(850)31(410)2(60)212(27)73(860)13(450)2(60)196(11)83(860)21(410)3(80)178(-7)93(860)32(430)1(40)187(2)T110-425531T256-353T3619-1-37SA=14/3S空=266/3SB=488/3SC=4056/3VA=7/3V空=133/3VB=244/3VC=2028/3热科学与能源工程系－热工实验方法1.4多因素试验的方差分析试验号 因素A

(1)空(2)B

(3)C

(4)试验结果ya

(Kg/mm2)(ya-185)11(840)11(410)1(40)190(5)21(840)22(430)2(60)200(15)31(840)33(450)3(80)175(-10)42(850)12(430)3(80)165(-20)52(850)23(450)1(40)183(-2)62(850)31(410)2(60)212(27)73(860)13(450)2(60)196(11)83(860)21(410)3(80)178(-7)93(860)32(430)1(40)187(2)T110-425532T256-353T3619-1-37SA=14/3S误=266/3SB=488/3SC=4056/3VA=7/3V误=133/3VB=244/3VC=2028/3热科学与能源工程系－热工实验方法1.4多因素试验的方差分析SA=14/3S误=266/3SB=488/3SC=4056/3VA=7/3V误=133/3VB=244/3VC=2028/3由计算结果可知，

V

小于

VA

误

B

误，而

V

与

V

相差不大的偏差中，由因素水平变化的影响部分很小，它们的偏差实际上主要是由于误差干扰造成的，这在进行显著性检验之前就可判定。由于A、B两因素可取任一水平，因此SA和SB应与S误合并在一起，用以估计误差影响的大小，而且误差的自由度越大，进行显著性检验越灵敏。33热科学与能源工程系－热工实验方法1.4无相互作用正交实例34热科学与能源工程系－热工实验方法例题磁鼓电机是彩色录像机磁鼓组建的部件之一，按质量要求其输出力矩应大于210g.cm。某生产厂过去这项指标的合格率较低，从

而希望通过试验找出好的条件，以提高磁

鼓电机的输出力矩。1.4无相互作用正交实例35热科学与能源工程系－热工实验方法试验的步骤确试验目的。试验前，首先要明确试验目的，即通过试验想解决什么问题。是为了改进质量，还是为了提高产量，或是为了保护环境，等等。在本例中试验的目的是提高磁鼓的电机的输出力矩。明确试验指标。试验指标用来判断试验条件的好坏，在本例中直接用输出力矩作为考察指标，该指标越大表明试验条件越好。确定因子与水平。在试验前首先要分析影响指标的因子是什么，每个因子在试验中取那些水平。在本例中，经分析影响输出力矩的可能因子有三个，它们是A:

充磁量

B:

定位角度

C:

锭子线圈匝数1.4无相互作用正交实例36热科学与能源工程系－热工实验方法4.选用合适的正交表，进行表头设计，列出试验计划。首先根据在试验中所考察的因子水平数选择具有该水平数的一类正交表，再根据因子的个数具体选定一张表。在本例中所考察的因子是三水平的，因此选用三水平正交表，又由于现在只考察三个因子，所以选用L9(34)即可。1.4无相互作用正交实例在不考虑交互作用的场合下，可以把因子放在任意的列上，一个因子占一列。譬如在本例中将三个因子分别置于前三列，将它写成如下的表头设计形式：37热科学与能源工程系－热工实验方法1.4无相互作用正交实例38热科学与能源工程系－热工实验方法1.4无相互作用正交实例39热科学与能源工程系－热工实验方法5.将实验结果记录在对应的试验条件后面。例题中的的试验结果见下表：表达设计A(充磁量)B(定位角度)C(定子线圈匝数)Y输出力矩列号试验号123411(900)1(10)1(70)1160212(11)2(80)2215313(12)3(90)318042(1100)12316852

(1100×10-4T)2

(11π/180)rad3

(90圈)12366231219073(1300)1321578321320593121140T1555485555T2594656523T3502510573T1185161.7185T2198218.7174.3T3167.3170191R30.75716.71.4无相互作用正交实例直观分析：Y=236最大，好的试验条件A2B2C3理论（极差）分析：RB>RA>RC

， 因素重要性

B→A

→

C

最好的条件

A2B2C340热科学与能源工程系－热工实验方法6.数据分析表达设计A(充磁量)B(定位角度)C(定子线圈匝数)Y输出力矩列号试验号123411(900)1(10)1(70)1160212(11)2(80)2215313(12)3(90)318042(1100)123168522312366231219073(1300)1321578321320593121140T1555485555

yi=T=1651T2594656523

yi²=310519T3502510573ST=7652.2T1185161.7185T2198218.7174.3T3167.3170191R30.75716.7SSA=1421.6SB=5686.9SC=427.6S误＝S4=116.21.4无相互作用正交实例(3)数据的方差分析：41热科学与能源工程系－热工实验方法表达设计A(充磁量)B(定位角度)C(定子线圈匝数)Y输出力矩列号试验号123411(900)1(10)1(70)1160212(11)2(80)2215313(12)3(90)318042(1100)123168522312366231219073(1300)1321578321320593121140R30.75716.7SSA=1421.6SB=5686.9SC=427.6S误＝S4=116.242热科学与能源工程系－热工实验方法1.4无相互作用正交实例(3)数据的方差分析：SA=S1

SB=S2

SC=S3

Se=S4第4列为空白列仅反应误差造成的数据波动称为误差的偏差平方和。ST=S1+S2+

S3+

S4ST=S1+S2+

…+Sp1.4无相互作用正交实例43热科学与能源工程系－热工实验方法(4)

F分布若F因=V因/Ve>F1

因,

e

则认为在显著性水平

上因子是显著的。其中：V因—因子的均方和(偏差平方和与自由度的比)

因—因子的自由度(水平数(q)

1)Ve—误差的均方和

e—误差的自由度1.4无相互作用正交实例f2f1123456101.491.601.601.591.591.58111.471.581.581.571.561.55121.461.561.561.551.541.53131.451.551.551.531.521.51141.441.531.531.521.511.50151.431.521.521.511.491.48161.421.511.511.501.481.47171.421.511.501.491.471.46181.411.501.491.481.461.45191.411.491.491.471.461.44201.401.491.481.471.451.44P(F>Fα)=

αF0.25(f1,f2)=

F0.25(5,18)=1.46α=0.2544热科学与能源工程系－热工实验方法1.4无相互作用正交实例45热科学与能源工程系－热工实验方法(4)

F分布若F因=V因/Ve>F1

因,

e

则认为在显著性水平

上因子是显著的。其中：V因—因子的均方和(偏差平方和与自由度的比)

因—因子的自由度(水平数(q)

1)Ve—误差的均方和

e—误差的自由度来源平方和S自由度ƒ均方和VF比因子A因子B因子C误差e1421.65686.9427.6116.22222710.82843.4213.858.112.2348.943.68T7652.28F0.1

2,2

=9.0F0.05

2,2

=19.046热科学与能源工程系－热工实验方法注：ƒT=n

1 ƒA+ƒB+

ƒc+ƒe=ƒT由于FA大于F0.1

2,2

=9.0

F0.05

2,2

=19.0因此因子A与B分别在显著性水平0.10与0.05上是显著的，因子C不显著。1.4无相互作用正交实例结论：最佳条件的选择A2B2

因子C水平可任意选取因子的贡献率当试验指标不服从正态分布时，进行方差分析的依据就不够充分，此时可以用贡献率来衡量因子作用的大小。由于S因中除了因子的效应外，还包括误差，从而称S因/

因。为因子的纯偏差平方和，称因子的纯偏差平方和与自由度的比为因子的贡献率。47热科学与能源工程系－热工实验方法(5)结论因子与误差的差率因子C可以认为不重要。48热科学与能源工程系－热工实验方法来源平方和S自由度

纯偏差平方和贡献率(%)因子A1421.62710.817.06因子B5686.922843.472.80因子C427.62213.84.07误差e116.2258.16.07T7652.28结论：因子B最重要，由B引起的波动占72.80%其次是因子A因子C的贡献率还不及误差的贡献率大，所以热

科

学

与

能

源

工

程 系－热

工

实

验

方

法谢谢大家!49试题：对LiX-BSA和CaA-VSA空分制氧过程中氧回收率(Re)和产氧量量(Pr)的影响因素包括四大因素：吸附压力、脱附压力、循环时间和吸附柱长，为了减少试验次数，每个因素考虑三个水平。（产氧率越大越好，回收率越高越好。）50热科学与能源工程系－热工实验方法因素代号水平1水平2水平3吸附压力(kPa)PAD111.4141.8172.2脱附压力(kPa)PDP30.440.550.7循环时间(s)tCycle365064吸附柱长(cm)Lcolumn200300400序号吸附压力(kPa)循环时间(s)解吸压力(kPa)吸附柱长度(cm)CaA-VSALiX-VSA回收率(%)产氧量(Nm3/h/t)回收率(%)产氧率量(Nm