2026年上海市高中自主招生考试数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2026上海自主招生数学全真模拟试卷一．填空题1．如图，在中，，，，为内角平分线，以为弦作一圆与相切，且与、分别交于点M、N，则________．2．如图，在中，，在斜边上分别截取，，，O是的外心，则O到三边距离之和是_______3．对于三个数a、b、c，用表示这三个数中最小的数，例如，，那么的最大值为______．4．如图，在矩形中，，，反比例函数的图像与、分别交于点E、F，且，与的面积之差等于，则此反比例函数的解析式为_________．5．设实数x不等于0和1和，则的取值范围是________．6．已知是非负实数，且，M是的最大值，则M的最小值为_________．7．从这20个整数中，每次取3个数，组成一个有序实数组，使b为a，c的比例中项，则不同的有序实数组共有________组．8．在矩形中，，从中点射出的光线到达边的点经反射到达边上的点，再经反射到达边上的点，最后经反射到达边上的点，若，则_________．二．解答题9．已知正方形的边长为，为正方形内一点，且，，求的长．10．用表示不超过x的最大整数（如)，设实数x不为整数，且，求x的值．11．已知m、n都是实数，且，求的值．12．如图所示，在中，边上依次有B、D、E、C，边上依次有A、G、F、C，满足，，交于点J，交于点I，交于点K，交于点H，且，求．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．6【分析】连接,延长交圆于点,过点作,,过点作,根据直径所对的圆周角为可知，进而根据相切的性质，即可同角的余角相等可知，根据同弧所对的圆周角相等可知，，即可证，根据等面积法可知的长度，进而证明，再根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：连接,延长交圆于点,过点作,,过点作,∵是圆的直径，∴，∴,∵与圆相切，∴，∴∴，∵∴∴∵平分∴∴∴∴∴∴∴∴∴,∵，，∴∵，∴,∵∴,∴,∴∴∴∴．2．9【分析】先证明点O是的内心，根据三角形的内心到三边距离相等，该距离为的内切圆半径，得出，即可解决问题．【详解】如图，连接、、、、，由知O在的垂直平分线上，又，则平分，同理平分，故O是的内心，到的三边距离均与的内切圆的半径相等，半径，故所求之和为9．【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、三角形的内心与内切圆等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．3．1【分析】分别作出的图象，由图象知的最大值．【详解】解：作出的图象，，如图，实线部分即的函数图象，，解得或当时，，所以的最大值为．4．【分析】根据题意设此反比例函数为，据此得到E和F的坐标；根据反比例函数的图象和性质可得，再计算出的面积，接下来计算，再结合其值为即可得到关于的等式，据此即可解答此题．【详解】解：∵在矩形中，，，∴，，，设此反比例函数为，则，，∴，，∴，，o，，∵，∴，∴，整理得，解得或，∵，即，∴∴反比例函数为．5．或【分析】将化简为，令，可得可取每一个非零实数，再将原式变形为，根据题意可得，即可求得的取值范围．【详解】解：，令，则，其判别式，可知可取每一个非零实数，，则，判别式，根据题意可得中，，即，可得或，所以的取值范围是或．6．【分析】由题意易得，，，然后三式相加得，进而问题可求解．【详解】解：依题意有，，，三式相加得，∵是非负实数，∴，当时，此时，故M的最小值为．7．22【分析】根据比例中项的概念，依此找出不同的有序实数组共有多少组．【详解】解：当时，不同的有序实数组有2组，当时，不同的有序实数组有2组，当时，不同的有序实数组有4组，当时，不同的有序实数组有6组，当时，不同的有序实数组有2组，当时，不同的有序实数组有2组，当时，不同的有序实数组有4组，一共22组．8．或【分析】考虑两种情况，即当点在点右侧时或当点在点左侧时，画出图形，可得，设，列方程即可解答．【详解】当点在点右侧时，如图，根据反射角等于入射角，可得，在矩形中，，，，为的中点，，设，则,，，即，，，，，，，解得，；当点在点左侧时，如图，同理可得，，，，解得，；综上，或．9．或【分析】作于点，于点，连接，证明四边形是矩形，设，，利用勾股定理可解得，，继续使用勾股定理即可求解的长．【详解】如图，作于点，于点，连接，∵四边形是正方形，∴，∴四边形是矩形，∴，设，，在和中，由勾股定理得，解得，代入得或；当时，，得；当时，，得，综上，的长为或．10．【分析】将原方程化为，再根据题意可得，即，根据，求得的值即可解答．【详解】解：，，x不是整数，，，，表示不超过x的最大整数，，当时，可得，为整数，且，在中没有符合题意的值；当时，可得；为整数，且，在中只有符合条件，，．11．或【分析】将进行因式分解，变形为，再分别求解即可．【详解】解：，，可得或，当时，；当时，，，，综上，的值为或．12．【分析】作平行线和，根据平行线分线段成比例定理列比例式得：，，从而得：，，由同高三