小学奥数必学几何五大模型及例题解析

小学奥数必学几何五大模型及例题解析一、等积变换模型——很重要，小学常考等积变换模型包括以下几种情况：⑴等底等高的两个三角形面积相等；⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；⑶两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。如下图右图：S1:S2=a:b⑷夹在一组平行线之间的等积变形，如下图：S△ACD=S△BCD；反之，如果S△ACD=S△BCD，则可知直线AB平行于CD。⑸正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑹三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；经典例题：解析：连接CE，如图。AE=3AB，所以S△AEC=3S△ABC=3。所以S△BCE=2。又因为BD=2BC，所以S△BDE=2S△BCE=4。点评：此题就是三角形等积变换模型的直接应用。二、鸟头定理（共角定理）模型鸟头定理模型包括以下几种情况：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点（如图1）或D在BA的延长线上，E在AC上（如图2），则S△ABC:S△ADE=(AB×AC):(AD×AE)。图1：图2：此模型的结论可以用将来初中学到的正弦定理进行证明！因为S△ABC=AB×ACsinA，S△ADE=AD×AEsinA，所以：S△ABC:S△ADE=(AB×ACsinA)：(AD×AEsinA)=(AB×AC)：(AD×AE)经典例题：S△ADF:S△ABC=(AD×AF):(AB×AC)=(2BD×AF):(3BD×4AF)=1:6S△BDE:S△ABC=(BD×BE):(AB×BC)=(BD×BE):(3BD×2BE)=1:6S△CEF:S△ABC=(CE×CF):(CB×CA)=(CE×3AF):(2CE×4AF)=3:81-1/6-1/6-3/8=7/24S△ABC=7÷7/24=24（平方厘米）。点评：本题直接用到鸟头模型，先分别求出三个角上的三个三角形占S△ABC的比例，再求出S△DEF占S△ABC的比例，就能直接求出S△ABC的面积。三、蝴蝶定理模型蝴蝶定理模型包括以下情况：任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）：①S1:S2=S4:S3或者①S1×S3=S2×S4小学生奥数必学的几何五大模型，理解并掌握这些模型，做几何题就会游刃有余啦！燕尾定理是解决三角形面积问题的一个重要定理。它的基本思想是将三角形分割为若干个小三角形，然后通过小三角形之间的面积比例关系来求解整个三角形的面积。燕尾定理模型包括以下几种：①燕尾定理模型一：三角形内部的相似三角形②燕尾定理模型二：三角形内部的梯形③燕尾定理模型三：三角形内部的平行四边形其中，最常用的是燕尾定理模型一，即利用三角形内部的相似三角形来求解三角形的面积。经典例题：解析：根据燕尾定理模型一，可以得到以下比例关系：S△ABG:S△AGC=BE:ECS△BGE:S△EGC=BE:EC所以S△ABG:S△BGE:S△AGC:S△EGC=BE:BE:EC:EC=1:1:2:2因为S△BGA=S△ABG+S△BGE，S△BGC=S△AGC+S△EGC所以S△BGA:S△BGC=S△ABG+S△BGE:S△AGC+S△EGC=3:4最后，根据S△BGA:S△BGC=S△AGF:S△AGC，可以求得S△AGF=6点评：此题结合了燕尾定理模型一和相似三角形的性质，需要灵活运用。燕尾模型可以由三角形的等积变换模型推导而来，即高相等的三角形面积比等于底的比。具体证明如下：对于图中的△AGB和△GEB，根据面积比的定义，有S△AGB:S△GEB=AG:GES，同时，根据三角形面积公式，有S△AGC:S△GEC=AG:GE。因此，可以得到S△AGB:S△AGC=S△GEB:S△GEC=BE:EC（利用更比性质）。下面以一个经典例题来解析燕尾模型。题目为：如图所示，ABCD为矩形，点E在BC上，且CE:AE=3:2，连接AF、CF、DE，交AF于G，CF于H，求S四边形DFEC的面积。解析：首先连接FC，设S△ABD=x，则S△ABF:S△BCF=CE:AE=3:2，因此S△ABF=2x，进而得到S△AFC=4x。由于△AFC与△GFC和△HFC等高，因此它们的面积比等于底边比，即S△AGC:S△AFC=S△BGC:S△BFC=S△HFC:S△HGC=AG:FC=1:3。又因为S四边形DFEC=S△AFC+S△BGC+S△HFC+S△GEC，而S△GEC可以用燕尾模型求得，即S△GEC:S△