八年级数学《直角三角形》知识点

八年级数学《直角三角形》知识点1、直角三角形的两个锐角互余，即∠A+∠B=90°，其中∠C为直角。2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即BC=1/2AB，其中∠A=30°，∠C=90°。3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD=1/2AB，其中∠ACB=90°，D为AB的中点。4、勾股定理指出直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a²+b²=c²。5、射影定理指出在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项，即CD²=AD·BD，AC²=AD·AB，BC²=BD·AB。6、常用关系式为AB·CD=AC·BC。知识点二、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理指出如果三角形的三边长a，b，c，有关系a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。知识点三、解直角三角形1、解直角三角形是指在直角三角形中，除直角外，已知三个元素求出所有未知元素的过程。2、解直角三角形的理论依据为在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，其中：（1）三边之间的关系为a+b=c（勾股定理）；（2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90°；（3）边角之间的关系为a/sin∠A=b/sin∠B=c/sin∠C=2R（正弦定理），a²=b²+c²-2bc·cos∠A（余弦定理），其中R为三角形外接圆半径。1.直角三角形的斜边比一直角边长2cm，另一直角边长为6cm，则它的斜边长为（）A、4cmB、8cmC、10cmD、12cm。答案为C，因为根据勾股定理，斜边的平方等于两直角边长的平方和，设斜边长为x，则x^2=6^2+(2x)^2，化简得x=10cm。2.已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A、25B、14C、7D、7或25。答案为A，因为根据勾股定理，斜边的平方等于两直角边长的平方和，设第三边长为x，则x^2=3^2+4^2，化简得x=5。3.等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为()A、13B、8C、25D、64。答案为B，因为对于等腰三角形，底边上的高等于底边的一半乘以底边到顶点的距离，设底边到顶点的距离为h，则h^2=10^2-(12/2)^2，化简得h=8。4.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是()A、钝角三角形B、锐角三角形C、直角三角形D、等腰三角形。答案为B，因为扩大同一倍数后，三角形的形状不会改变，仍然是直角三角形，只是三条边长都变成原来的两倍，根据勾股定理可知，斜边的平方等于两直角边长的平方和，扩大两倍后，斜边的平方等于原来的4倍，而两直角边长的平方和只是原来的2倍，因此扩大两倍后的三角形是锐角三角形。5.等腰三角形腰长为13，底边长为10，则它底边上的高为（）A.12B.7C.5D.6。答案为D，同第三题，底边上的高等于底边的一半乘以底边到顶点的距离，设底边到顶点的距离为h，则h^2=13^2-(10/2)^2，化简得h=6。6.已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a-b)(a+b-c)=0，则它的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形。答案为D，因为(a-b)(a+b-c)=0可以拆分为a=b或a+b=c，分别对应等腰三角形和直角三角形。7.如图，MP⊥NP，MQ为△MNP的角平分线，MT=MP，连接TQ，则下列结论中不正确的是（）A、TQ=PQB、∠MQT=∠MQPC、∠QTN=90°D、∠NQT=∠MQT。答案为A，因为TQ不等于PQ，而是等于2MP，根据角平分线定理可知，∠MQT=∠MQP，∠QTN=90°，∠NQT=∠MQT。解答题1.已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=DC。求证：BE=DF。证明：由于AC平分∠BAD，所以∠BAC=∠CAD，又因为CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，所以∠ABE=∠ACF，∠ADF=∠ACE，又因为BC=DC，所以三角形BCE和DCF是全等的，因此BE=DF。2.已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，求四边形ABCD的面积。解：首先根据勾股定理，可知BD=5cm，再根据正弦定理，可知∠BDC=arcsin(3/5)，所以三角形BDC的面积为1/2×5×12×sin(arcsin(3/5))=18cm²，同理，三角形ABC的面积为1/2×3×4=6cm²，因此四边形ABCD的面积为6+18=24cm²。3.已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，D为AB中点，DE⊥AC于E，∠A=30°，求BC，CD和DE的长度。解：首先由∠A=30°可知∠ACD=60°，又因为D为AB中点，所