初三旋转模型之正方形45°半角模型的13个结论

#正方形半角模型13个结论特点：①共顶点常见角：45。—90°②两个角存在一般系60。—120。通过旋转变化构造全等三角形，实现边的转化如图，已知正方形ABCD，点E、F分别在BC、CD上，且ZEAF=45。。图1结论1：BE+DF=EF；（证明方法旋转全等和轴对称全等）AD图1证明：延长EB至G,使BG=DF。先证明AADF=AABG（SAS），旋转全等推导出AG=AF,ZGAE=ZEAF=45°,在证明AGAE=AFAE（SAS）,轴对称全等即可证明BE+DF=EF。结论2：EA平分ZBEF,FA平分ZDFE；证明：由结论1可知：AGAE=AFAE,所以ZGEA=ZFEA,可证EA平分ZBEF。同理可证：FA平分ZDFE。结论3：S+S=S；△ABE△ADF△AEF证明：由结论1可知：AGAE=AFAE,AADF=AABG所以S+S=S。△ABE△ADF△AEF结论4：C=2AB；△CEF证明：由结论1可知：BE+DF=EF,因为C=CE+CF+EF,△CEF所以C=CE+CF+BE+DF=CD+CB=2AB△CEF

结论5：AH=AB（见图2）；证明：由结论1可知：AGAE=AFAE,所以S=S,AGAEAFAE因为GE=EF,所以AB=AH。结论6：BM2+DN2=MN2（见图3、4）；AD证明：如图4,作AQ丄AN,AQ=AN，连接QB、QM。AD先证明AADN=AABQ（SAS）,推导出ZABQ=ZADN=45。，QB=DN在证明AQAM=ANAM（SAS），推到出QM=MN，在Rt中:BM2+QB2=QM2，即BM2+DN2=MN2。△QBM结论7：ABMEsAAMNsADFNsADMAsABANsAAFE；证明：通过倒角证明两个角相等，推导出相似。因为ZMBE=ZNAM=45。,ZAMN=ZBME,图3所以ABMEsAAMN。同理，其他结论都可以进行证明。

图3结论8：EF=41MN,BE+DF=41MN,CE=41DN,CF=V2bM（见图5）；证明：连接AC,因为AEAC+Z结论8：EF=41MN,BE+DF=41MN,CE=41DN,CF=V2bM（见图5）；证明：连接AC,因为AEAC+ZCAF=45。,上DAN+ZCAF=45。,所以ZEAC=ZDAN,因为ZACE=ZADN=45。，所以AAECsAAND,所以AECEAC』ANDNAD，图5因为AAMNsAAFE,所以AEANMn=2,同理可证AABMsAACF,所以CF=<2BM。结论9：AB2=BN・DM（见图3）；证明：因为ADMAsABAN,/DABN所以=_图3DMAB因为AB=AD,所以AB2=BNDM。图3结论10：A、N、E、B四点共圆；A、M、F、D四点共圆；C、F、N、M、E四点共圆;NF证明:口所以CE图7AD'B「ECB所以弦NF证明:口所以CE图7AD'B「ECB所以弦AB所图圆周角相等，证ABMEsAAM4NF所以A、N、E、B四点共圆,同理可证A、M、F、D四点共圆;又因为A、N、E、B四点共圆，ZABE=90。,所以AE为圆的直径,所以ZANE=90。,所以ZFNE=ZFCE=90。,所以C、F、N、M、E四点共圆。结论11：结论11：AANE、AAMF为等腰直角三角形;证明：因为A、N、E、B四点共圆，ZABE=90。,所以AE为圆的直径，所以ZANE=90。,因为ZEAN=45。,所以AANE为等腰直角三角形；同理可证AAMF为等腰直角三角形。

结论12：CE・CF=2BE・DF