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一阶线性非齐次微分方程一、线性方程方程dy+P(ɪ)y=Q(χ)dx 1叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。如果Q(X)三0，则方程称为齐次的；如果Q(x)不恒等于零，则方程称为非齐次的。a)首先，我们讨论1式所对应的齐次方程dy+P(χ)y=0dx的通解问题。分离变量得两边积分得或2y==-P(X)dxylny=-JP(X)dX+lncy=c.e-JP(X)dx其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。将1的通解中的常数C换成的未知函数U(X),即作变换两边乘以得P(X).y=uP(X)e-JP(X)dXy==ufe-JP(X)dx-uP(X)e-JP(X)dx两边求导得dX代入方程1得U'eTP(x)dx=Q(X) U'=Q(X)eJP(X)dx，于是得到非齐次线性方程1的通解将它写成两项之和不难发现：第一项是对应的齐次线性方程2的通解；第二项是非齐次线性方程1的一个特解。由此得到一阶线性非齐次方程的通解之结构。【例1】求方程的通解。3y=e」-X^iddx∙[c+J(x+1)2eʃ-XTidxdx]解：由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。二、贝努利方程方程叫做贝努利方程。当n=0时，它是一阶线性非齐次微分方程当n=1时，它是一阶线性齐次微分方程当n牛0,1时，它是一阶非线性的微分方程，通过变量代换可化归为一阶线性微分方程。具体解法如下：1—n—Γ7 r7令）一Z，方程化为关于Z的一阶线性非齐次微分方程dyy—+_=a(lnχ)y【例2】求贝努利dχχ2的通解。1dy1•一十—=a∙

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