函数基本性质题型及解题技巧

函数基本性质题型及解题技巧一、函数解析式的求法：1.配凑法：将关系式配凑成括号内的形式。例如，已知$f(x+)=\frac{x^2}{2}$，求解析式$f(x)$。解：因为$f(x+)=\frac{x^2}{2}=(x+)^2-2$，所以$f(x)=x^2-2$，$x\in(-\infty,-2]\cup[2,\infty)$。2.换元法：令括号内的部分等于$t$，然后解出$x$，带入得到关于$t$的解析式，最后再换回$x$。例如，已知$f(x+1)=x+2x$，求$f(x)$的解析式。解：令$t=x+1$，则$x=(t-1)^2$，$(t\geq1)$，因此$f(t)=(t-1)^2+2(t-1)=t^2-1$。所以$f(x)=x^2-1$，$(x\geq1)$。3.待定系数法：根据已知函数类型，设相应的函数解析式，然后根据已知条件算出相应系数。例如，已知$f(x)$是二次函数，且$f(0)=2$，$f(x+1)-f(x)=x-1$，求$f(x)$。解：设$f(x)=ax^2+bx+c$，由$f(0)=2$得$c=2$，由$f(x+1)-f(x)=x-1$，得恒等式$2ax+a+b=x-1$，解得$a=\frac{1}{2}$，$b=-\frac{1}{2}$。因此，所求函数的解析式为$f(x)=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x+2$。4.消元法（方程组法）：若函数方程中同时出现$f(x)$与$f(-x)$，则一般用$x$代之或用$-x$代之，构造另一个方程，然后联立解方程组得到$f(x)$。例如，已知$3f(x)+2f(-x)=x+3$，求$f(x)$。解：因为$3f(x)+2f(-x)=x+3$，令$x=-x$得$3f(-x)+2f(x)=-x+3$，消去$f(-x)$得$f(x)=\frac{x}{5}+\frac{3}{5}$。二、绝对值图像的画法：5.对于函数$y=ax^2+b|x|+c$，找出$x=0$的点和两个对称轴上的点，然后将它们连起来。当$a>0$时，图像开口向上；当$a<0$时，图像开口向下，形状如“屁股”。6.对于函数$y=|ax^2+bx+c|$，先画出二次函数的图像，然后将$x$轴下方的函数图像对折上去。三、对勾函数性质：7.对于对勾函数$y=x+k$（$k>0$），有以下性质：1）单调增区间为$(-\infty,-k)$和$(k,\infty)$，单调减区间为$(-k,k)$。2）当$x>0$时，有最小值，最小值为$2k$；当$x<0$时，有最大值，最大值为$-2k$。四、分段函数的单调性问题：首先保证每一段是单调函数，得到两个不等式。然后通过比较左边的最大值（最小值）和右边的最小值（最大值），得到另一个不等式。最后解决不等式组。例如，对于函数f(x)=ax，其中x>1，已知f(x)是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为a≥4-2/a，且a>1。解得4≤a<8。对于抽象函数的单调性证明，主要有两种类型：一是“f(x+y)=f(x)+f(y)”型，二是“f(xy)=f(x)+f(y)”型。对于f(x+y)型的函数，可以构造f(x2)=f[x1+(x2-x1)]，再利用题设条件将它用f(x1)与f(x2-x1)表示出来。然后利用题设条件确定f(x2-x1)的范围，从而确定f(x2)与f(x1)的大小关系。对于f(xy)型的函数，则只需构造f(x2)=f(x1·x2)即可。例如，已知f(x)的定义域为(0,∞)，且当x>1时f(x)>0。若对于任意两个正数x和y都有f(xy)=f(x)+f(y)，则可以判断f(x)在(0,∞)上单调递增。单调性性质：增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减；增=增；减=减；1<增<减；1>减>增；增-增=减；-减=增。对于复合函数的单调性，可以先列出函数由哪两个函数复合而成，然后求出每一区间两个函数对应的单调性。最后同增异减写出对应区间。例如，对于函数y=x^2+x-6，可以看作有y=u与u=x^2+x-6解令u=x^2+x-6，y=u的复合函数。由u=x^2+x-6≥0，得x≤-3或x≥2。因此，u=x^2+x-6在(-∞,-3]上是减函数，在[2,∞)上是增函数，而y=u在(0,∞)上是增函数。1.函数单调性的证明方法对于函数$y=x^2+x-6$，其单调减区间为$(-\infty,-3]$，单调增区间为$[2,+\infty)$。下面介绍一种作差法证明函数单调性的步骤：1.取值。在定义域内取$x_1<x_2$。2.做差。$y_2-y_1=(x_2^2+x_2-6)-(x_1^2+x_1-6)=x_2^2-x_1^2+x_2-x_1$。3.变形。将$y_2-y_1$变形为每一个括号能判断出正负的形式，可采用提公因式、通分、合并同类项等方法。4.得出结论。如果$y_2-y_1$的符号和$x_2-x_1$的符号一致，则函数单调增；否则函数单调减。2.函数奇偶性的判断方法在判断函数奇偶性之前，需要保证定义域关于原点对称。对于一个函数，如果已知其奇偶性，则其定义域一定关于原点对称，对应区间两个端点值相加为零。对于奇函数，只要在$x=0$处有意义，也就是定义域里包含$0$，则$f(-x)=-f(x)$。对于$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$这种类型的函数，如果$f(x)$是偶函数，则奇次项系数为零；如果$f(x)$是奇函数，则偶次项系数为零。3.复合函数的奇偶性奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇×偶=奇，奇×奇=偶，偶×偶=偶。对于复合函数的奇偶性，如果其中一个分函数为偶函数，则整体为偶函数。例如，对于函数$f(x)=\frac{x+a}{x^2+bx+1}$，已知在$[-1,1]$上是奇函数，则可得到$a=0$，分母为偶函数，因此$b=0$，最终得到$f(x)=\frac{x}{x^2+1}$。4.求分段函数的解析式对于已知分段函数的奇偶性，给出一半的解析式，求另一半或整体的解析式，可以采用以下方法：如果已知大于的解析式，则设$x<0$，代入大于的解析式中求出$f(-x)$，然后根据奇偶性求出$f(x)$，最后写出整体的解析式。如果已知小于的解析式，则设$x>0$，代入小于的解析式中求出$f(x)$，然后根据奇偶性求出$f(-x)$，最后写出整体的解析式。例如，已知$f(x)$是定义在$\mathbb{R}$上的奇函数，当$x>0$时，$f(x)=x^2+3x-1$，则可得到$f(-x)=(-x)^2+3(-x)-1=-x^2-3x-1$，因此$f(x)=-f(-x)=x^2+3x-1$。19.对于题目中给出的H(x)和g(x)为奇函数的情况，我们可以使用构造奇函数的方法来解决问题。假设f(x)为一个函数，我们可以令F(x)=H(x)-c，其中c为任意常数，使得F(x)为奇函数。然后我们可以使用F(x)来构造af(x)+bg(x)+c的奇函数形式来解决问题。例如，对于已知f(x)=x^5+ax^3-bx-8且f(-2)=10，求f(2)的问题，我们可以令g(x)=f(x)+8，易证g(x)为奇函数。因此，我们可以使用g(x)来构造f(x)的奇函数形式，即af(x)+bg(x)+c，其中b=1，a=0，c=-8。然后我们可以使用g(2)=-g(-2)来求解f(2)。20.在周期性方面，若一个函数f(x)满足f(x+T)=f(x)的条件，则称T为f(x)的周期。若f(x)的周期为2T，则有f(x+T)=f(x-T)，f(x+T)=-f(x)，f(x+T)=f(-x)且f(x)为奇函数，f(x+T)=1/f(x)，f(x+T)=-1/f(x)。例如，对于一个定义在R上的奇函数f(x)，已知f(x-4)=-f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则可以得到f(-25)<f(80)<f(11)<f(26)，因此选项D为正确答案。21.若一个函数f(a-x)=f(a+x)，则称f(x)关于x=a对称。这意味着函数在x=a处的左右两侧具有相同的函数值。例如，如果f(x)=x^2，则f(a-x)=f(a+x)=a^2-x^2，因此f(x)关于x=a对称。22.若一个函数f(a+x)=f(b-x)，则称f(x)关于x=(a+b)/2对称。这意味着函数在x=(a+b)/2处的左右两侧具有相同的函数值。例如，如果f(x)=sin(x)，则f(a+x)=f(b-x)=sin(a+x)=sin(b-x)，因此f(x)关于x=(a+b)/2对称。23.若一个函数f(x+a)是偶函数，则称f(x)关于x=a对称。这意味着函数在