2023-2023学年上海市上海中学高一下期中考试数学试题

2024-2024学年上海市上海中学高一下期中考试数学试题2024-2024学年上海市上海中学高一下期中考试数学试题

一、单选题

1．若则在

A．第一象限B．其次象限C．第三象限D．第四象限

D

依据三角函数值在各个象限的正负，推断出角的终边所在的象限.

由于，故角为第一、第四象限角.由于，故角为其次、第四象限角.所以角为第四象限角.故选D.

本小题主要考查三角函数值在各个象限的正负值，依据正切值和余弦值同时满意的象限得出正确选项.

2．函数的部分图像如图,则可以取的一组值是

A．B．

C．D．

C

试题分析：∵，∴，，又由得.

3．在△ABC中,分别为三个内角A、B、C的对边,若则△ABC的外形是A．等腰三角形B．直角三角形

C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形

D

利用正弦定理化简得：，再利用二倍角公式整理得：

，解三角方程即可得解。

由正弦定理化简得：,

整理得：，所以

又，所以或.

所以或.

故选：D

本题主要考查了正弦定理及三角恒等变换，还考查了正弦的二倍角公式及三角函数的性质，属于中档题。

二、填空题

4．函数的最小正周期是_________.

直接由周期公式得解。

函数的最小正周期是：

故填：

本题主要考查了的周期公式，属于基础题。

5．已知点P在角的终边上,则_______.

0

求出到原点的距离，利用三角函数定义得解。

设到原点的距离，则

所以，，

所以

本题主要考查了三角函数定义，考查计算力量，属于基础题。

6．已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角α的弧度数为__________．

由题意或，则圆心角是，应填答案。

7．在△ABC中,若则△ABC为_______(填“锐角”或直角”或“钝角”)三角形.钝角

整理得，利用可得，问题得解。

由于，所以，

又,所以，所以

所以为钝角，故填：钝角

本题主要考查了三角恒等变换及转化思想，属于基础题。

8．若则______.

直接由三角函数的诱导公式得解。

由于，

又所以

本题主要考查了三角函数的诱导公式，考查观看力量及计算力量，属于基础题。

9．若则化简_______.

0

由正弦、余弦的二倍角公式升幂去根号，问题得解。

由题可得：，，

由于所以，所以

所以

本题主要考查了二倍角的正弦、余弦公式，考查了三角函数的性质及计算力量，属于中档题。

10．已知则_______.

将整理成，问题得解。

由于

.

将代入上式可得：

本题主要考查了同角三角函数基本关系及正、余弦的二次齐次式变形，考查化简力量及计算力量，属于中档题。

11．方程的实数根的个数是______.

6

如下图，由于函数y＝lg|x|是偶函数，所以它的图象关于y轴对称．

12．若则的取值范围是________.

由整理可得：，由此可得，对消元可得：，令，把问题转化成函数

，值域问题，从而得解。

由得：

解得：.

=

令，，

，

当时，，

当时，.

所以的取值范围是.

本题主要考查了三角恒等变换及转化思想，考查了二次函数的性质及换元法，考查计算力量，属于中档题。

13．若则的取值范围是________.

对因式分解可得：，作出：

的图象，由图解不等式即可。

由可得：，

整理得：，

在同一坐标系中作出的图象如下：

当时，，，

不满意

当时，，，

满意.

当时，，，

不满意.

当时，，，满意.

当时，，，

不满意.

当时，，，

满意.

所以的取值范围是

本题主要考查了因式分解及转化力量，考查三角函数的基本性质，还考查了分类思想，属于中档题。

14．已知，，且在区间上有最小值，无最大值，则______．

试题分析：由题意是函数的最小值点，所以

，即，又，所以，所以．三角函数的周期，对称性．

函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的对称性：利用y＝sinx的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求得x，利用y＝sinx的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)得其对称轴．

15．已知是定义在R上的奇函数，且时，单调递增，已知设

集合集合

则________.

由已知可得：时，，时，，将转化成

或，即可将转化成：，

即可转化成：成立，令，整理得：

，再利用基本不等式即可得解。

由于是定义在R上的奇函数，时，单调递增,且

所以时，，时，，

所以可化为：或，

所以集合可化为：

集合，

所以

即：恒成立.

即：恒成立，即：

记，令，则,且，代入得：

，当且仅当时，等号成立。

所以，

所以，

所以

本题主要考查了奇函数的应用及函数单调性的应用，还考查了交集运算及参变分别法解决恒成立问题，还考查了换元法、转化思想及利用基本不等式求最值，属于难题。16．如图所示，在平面直角坐标系中，动点P、Q从点A(1,,0)动身在单位圆上运动,点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，则P、Q两点在第2024次相遇时,点P的坐标是

A．(0,0)B．(0,1)C．(-1,0)D．(0,-1)

由两点相遇2024次，可求出两点的总路程，由两点的速度即可求出两点相遇2024次时所用的时间，进而可求出点所转的弧度，即可确定点位置.

由于点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，两点相遇1次的路程是单位圆的周长即，所以两点相遇一次用了1秒，因此当两点相遇2024次时，共用了2024秒，

所以此时点所转过的弧度为，

由终边相同的角的概念可知，与终边相同，所以此时点位于y轴上，故点P的坐标为.

答案为

本题主要考查任意角，由终边相同的角的概念确定点位置，即可求解，属于基础题型.

三、解答题

17．已知求的值。

将变成，利用两角和的正切公式绽开，将代入即可得解。

本题主要考查了构造思想及两角和的正切公式，考查计算力量，属于中档题。

18．在△ABC中，分别为三个内角A、B、C的对边，且

(1)求角A；

(2)若且求△ABC的面积。

（1）；（2）.

（1）整理得：，再由余弦定理可得

，问题得解。

（2）由正弦定理得：，，，再代入即可得解。

（1）由题意，得，

∴；

（2）由正弦定理，得，

,

∴.

本题主要考查了正、余弦定理及三角形面积公式，考查了转化思想及化简力量，属于基础题。

19．已知函数

(1)求的最小正周期及单调递增区间；

(2)若求的值.

（1）；（2）.

（1）化简得：，利用周期公式即可求得周期为，再利用复合函数及三角函数的性质即可求得的单调递增区间.（2）由（1）可得，即可求得，问题得解。

（1）

∴的最小正周期为，

由，可得，

∴的单调递增区间为；

（2），

∴.

本题主要考查了两角和的余弦公式及周期计算，还考查了三角函数的性质及复合函数的单调性规律，还考查了三角函数求值，属于中档题。

20．某植物园预备建一个五边形区域的盆栽馆，三角形ABE为盆裁展现区，沿AB、AE修建欣赏长廊，四边形BCDE是盆栽养护区，若BCD=∠CDE=120°，∠BAE=60°，DE=3BC=3CD=米。

(1)求两区域边界BE的长度；

(2)若区域ABE为锐角三角形，求欣赏长廊总长度AB+AE的取值范围。

（1）6米；（2）欣赏长廊总长度的取值范围是（米）.

（1）在中应用余弦定理求得米，利用已知即可求得，解三角形即可.

（2）设，由正弦定理即可表示出，化简得：

，结合即可求得.

（1）在中，应用余弦定理，得米，∵且，

∴，，

从而米，

（2）设，则，由为锐角三角形，得

在中，应用正弦定理，得，

∴

，

∵，∴，

∴，

即欣赏长廊总长度的取值范围是（米）.

本题主要考查了正、余弦定理的应用及两角和的正弦公式，还考查了三角函数的性质及计算力量，属于中档题。

21．已知函数其图像的一个对称中心是将的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像。

(1)求函数的解析式；

(2)若对任意当时，都有求实数的最大值；

(3)若对任意实数在上与直线的交点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围。

（1）；（2）；（3）.

（1）由图像的一个对称中心是列方程即可求得，即可求得，利用平移规律得，问题得解。

（2）由题可得在上单调递增，求得的增区间为

，利用即可求得，问题得解。

（3）的最小正周期为，由题可得：的区间长度满意，解不等式即可。

（1）由题意，得，

解得，

又，∴，