有限元基础二

第2章弹性力学问题有限单元法的一般原理和表达格式2.1引言本章将通过弹性力学变分原理建立弹性力学问题的有限单元法的表达格式。以结点位移为基本未知量、并基于最小位能原理建立的有限单元称为位移元。位移元是有限单元法中最常用的单元2.2弹性力学平面问题的有限元格式常应变三角形位移有限元是最简单、最原始的单元有限元求解的第一步是划分网格，将求解域离散为有限个三角形单元的集合2.2.1单元位移模式及插值函数的构造有限单元法与里兹法的区别：里兹法的试探函数定义在整个求解域上有限元法的试探函数定义在每个单元上，就全域来说是以每个单元上的试探函数来分片逼近待求场函数。单元结点位移列阵3结点三角形单元的结点编码以逆时针方向为正向每个结点有2个位移分量每个单元有6个结点位移i(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)vivmvjuiumuj1.单元的位移模式及和广义坐标3结点三角形单元的位移模式选取一次多项式(2.2.1)即单元内各点的位移是坐标x,y的线性函数。其中

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6是待定参数，称为广义坐标。这6个广义坐标可由单元的6个结点位移来表示。在上式第一式中代入结点i的坐标(xi,yi)，应得到结点i在x方向的位移ui同理可得(2.2.2)解此方程可得到广义坐标由结点位移表示的表达式(2.2.4)其中D为方程(2.2.2)的系数行列式A是三角形单元的面积(2.2.3)(2.2.6)上式中(i,j,m)表示下标可顺序轮换同理，利用3个结点的y方向位移，可求得：(2.2.5)将所小得的贸广义旺坐标

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6代回党位移破模式些(眉2.侵2.捡1)旅式2.娇位顾移插标值函饺数整理阿得则以纲结点京位移傅表示纽奉的位哀移函繁数为(邻2.饼2.逮7将)其中(杏2.故2.与8羽)称为污单元敌的插值丧函数或形函暖数，它稻是坐蝴标练x,仰y的一爽次函峡数。ai,bi,ci,口…,cm等是春常数劝，决行定于磁单元建的三显个结靠点坐柳标。单元拐面积墙A可楚通过屋系数屿表示份为：(牧2.脉2.殖9剧)位移业函数回的矩乓阵形牺式简化樱得：(汇2.逗2.贱10贸)其中N称为插值明函数仔矩阵或形函歇数矩电阵插值梅函数户的性朴质导1在结脖点上恋插值希函数剖的值帆满足(裳2.汗2.悔11棍)即有Ni(xi,yi)鬼=辅1，Ni(xj,yj)鞭=枝0，Ni(xm,ym)秤=隙0。因为戏：u(xi,yi)碰=Ni(xi,yi)ui+Nj(xi,yi)uj+Nm(xi,yi)um=ui插值泼函数湾的性呆质盲2在单模元中恐任一挽点，蓬各插蚁值函玻数之屯和应齐等于待1加，即(豪2.郑2.扯12坊)因为兆若x方向捉有刚梯体位齐移u0，则孕单元构上各授点位爆移均佛为u0，于垮是有瞎：u=Niui+Njuj+Nmum=烟(Ni+Nj+Nm)u0=u0这必呜然要当求Ni+Nj+Nm=骨1。旧若插解值函王数不句满足研此要眼求，洋就不患能反礼映单近元的指刚体祝位移底，用呀于求咐解必愧然得弹不到轿正确继的结倒果。3.撕应往变矩疼阵与璃应力谁矩阵确定荒了单感元位还移模肆式后健利用膨几何旨方程待就可炒求得橡单元解的应稼变B称为飞应变裹矩阵俩，L是微锻分算影子B的各悄分块毅子矩遭阵是因为所以(行2.拒2.法16凶)于是矩3剖结撑点三交角形语单元里的应微变矩腾阵为式中bi,bj,bm,ci,cj,cm是单垦元形忙状的熔参数焦。当愚单元蹦结点窄坐标雹确定但后它欣们都封是常香量，吹因此B是常荐量阵干。当准单元桃结点娇位移ae求得脸后，滑由B求得符的应晶变都珠是常吉量。斯因此凯3哨结次点三垂角形呆单元禁是常应贼变单照元。应力饺矩阵单元瓶应力怖可以跑由物姑理方宁程求壤得：通常跑不单危独计铸算应留力矩居阵，排而是耻直接己用DB计算税应力2.赏2.捷2青利盒用最京小位策能原耐理建殿立急有限球元方诵程平面第问题泪的总博位能宾泛函虚为：其中t是二下维体浩厚度掠；f是作特用在注平面罢内的意体积毅力；T是作亦用在疫边界洪上的春表面封力。对于准离散仙模型嗽，系哥统总遮位能毒是各桑单元搬位能牺之和笔，将

=Bae和u=Nae代入引入单元起结点茫转换董矩阵G，将公单元术结点恰位移促列阵输用结迎构结监点位故移列谣阵表族示ae=Ga(结2.迅2.点25灿)其中a=例[u1v1u2v2…uivi…unvn]T令称为单元船刚度胖矩阵称为单元领等效曲结点剂载荷次列阵代入艰离散酸形式包的能侦量泛啄函表吧达式断，得令收称为结构拼整体江刚度解矩阵称为结构侮等效锐结点毯载荷却列阵于是道能量榆泛函脏可写位作（2灿.2准.3货0）由最览小位列能原匙理，坐有（2扇.2轿.3岭1）得到点有限刑元求返解方奸程为Ka=P（2粱.2仙.3归2）2.玻2.盏3歼单元扎刚度孔矩阵对于由3结混点三剂角形欺单元汁，应侮变矩郊阵B是常寸量阵弹，因缸此有（2仍.2蒙.3片3）将弹洗性矩盼阵和应跌变矩年阵代入斤（2宣.2寇.3袄3）扎式后为，它签的任汤一分淋块矩裕阵为煤：（2方.2莲.3谣4）其中（2载.2贱.3钉5）由（鸡2.秆2.幕34缸）式严可知大：即单怕元刚程度阵挑是对再称矩淘阵单元幸刚度桶阵的桌物理雅意义对一房诚个单呼元应响用最岩小位案能原驼理建东立平慎衡方珍程：Keae=Pe+Fe展开剖为若令a1=版1，a2=a3=尺…想=a6=婆0则因此枣有：x方向K11+K31+K51=乱0y方向K21+K41+K61=享0单元破刚度较阵元薪素Kij的物宇理意浓义当单梢元的智第j个结视点位摘移为恰单位狗位移华而其傍他结蠢点位择移为牧零时笑，需味在单驱元第i个结行点位振移方抬向上未施加骆的结韵点力碑大小乖。对于侦单元殖刚度忌矩阵亮的每级一列陡（行散）元凳素应德有K1j+K3j+K5j＝Kj1+Kj3+Kj5=0K2j+K4j+K6j＝Kj2+Kj4+Kj6=0单元舒刚度其矩阵芝的特某性：对称剑性：Kij＝Kji奇异脉性：｜K｜＝偿0主元渣恒正：Kii＞炭0物理芝解释2.缝2.仙4钻单元恼等效携结点吵载荷硬列阵单元泰等效册结点装载荷（2代.2寻.2辽7d槐）（2楚.2港.2爪7b拴）（2弓.2号.2时7c翁）1.矩均暖质等诱厚单比元的予自重设单主元的爸单位李体积威重量葬为，牲则有其中骑每个肢结点惰的等消效结呜点载专荷为即自期重的突等效普结点床载荷繁是2.凑均每布侧姿压图示霜，均遍布侧川压q，作环用在ij边，q以压阶为正察。令ij边长羽为l，与x轴的陶夹角瞎为

，侧际压q在x和y方向响的分选量qx和qy为作用虾在单纹元边森界ij上的承面积帮力在单颤元边脱界上分建立佳局部弄坐标s，则迈沿ij边插繁值函盯数可秧写作代入炉单元季等效虏结点悦载荷刻计算泪式因此聪均布敲侧压翻时单耕元等箭效结者点载徒荷列围阵为3.x方向型均布固力单元打等效目结点休载荷4.x方向孤三角挡形分臂布载虹荷2.守2.太5跨结倡构刚荣度矩勇阵和怠结构叶结点胃载荷桶列阵尘的集杏成结构寻刚度勺矩阵逢是由帐单元翻刚度薄矩阵辞集成经的，盲集成黑是通逗过单猴元结常点转掀换矩沉阵G改实现殊的结点伪转换柿矩阵降的作交用：将单赏元刚挨度矩晕阵扩犯大到梨与结嘱构刚唐度矩抛阵同买阶，练以便蚀进行傲矩阵楚相加聪。将单无元刚革度矩俗阵中棵的各镇子块胁按照浊单元璃结点物的实筝际编禽码安烟放在达扩大孟的矩猛阵中西，其姓物理梢意义形是该极单元那对结凝构刚阿度矩头阵的独那些厕刚度懂系数呢有贡爬献。在实偏际编俯程计圾算的议过程亡中并乐不需山要采询用上检述的苏矩阵跃相乘左的过巨程。恩在单份元刚元度矩侧阵和熊单元受等效斗结点赌载荷神矩阵绩生成面以后途，只师需按壁照单辜元结剖点自德由度匀编码为，“钱对