2022年中考总复习专题测模拟试题及答案

2022年中考总复习专题测试题及答案：一元二次方程

一元二次方程

一、中考知识导航二、中考课标要求三、中考知识梳理1.灵活运用四种解法解一元二次方程一元二次方程的一般形式:a2x+bx+c=0(a≠0)四种解法:直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法,公式法:x=(b2-4ac≥0)注意:掌握一元二次方程求根公式的推导;主要数学方法有:配方法,换元法,“消元”与“降次”.2.根的判别式及应用(△=b2-4ac)(1)判定一元二次方程根的情况.△>0有两个不相等的实数根;△=0有两个相等的实数根;△<0没有实数根;△≥0有实数根.(2)确定字母的值或取值范围.应用根的判别式,其前提为二次系数不为0;考查时,经常和根与系数的关系、函数知识相联系、判别根的情况常用配方法.3.根与系数的关系(韦达定理)的应用韦达定理:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2，则x1+x2=-,x1·x2=.(1)已知一根求另一根及未知系数；(2)求与方程的根有关的代数式的值;(3)已知两根求作方程;(4)已知两数的和与积,求这两个数;(5)确定根的符号:(x1,x2是方程两根).有两正根有两负根有一正根一负根有一正根一零根有一负根一零根x1=x2=0应用韦达定理时,要确保一元二次方程有根,即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时,一般把求作方程的二次项系数设为1,即以x1、x2为根的一元二次方程为x2-(x1+x2)x+x1x2=0;求字母系数的值时,需使二次项系数a≠0,同时满足△≥0;求代数式的值,常用整体思想,把所求代数式变形成为含有两根之和x1+x2,两根之积x1x2的代数式的形式,整体代入.4.一元二次方程的应用解应用题的关键是把握题意,找准等量关系,列出方程.最后还要注意求出的未知数的值,是否符合实际意义.四、中考题型例析1.了解方程判定方程根的情况

例1

(2022·武汉)一元二次方程4x2+3x-2=0的根的情况是().A.有两个相等的实数根;B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根;D.没有实数根解析:因为△=32-4×4×(-2)>0,所以该方程有两个不相等的实数根.答案:B.2.由方程根的情况求字母系数的取值范围例2

(2022·重庆)若关于x的一元二次方程x2+x-3m=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是()><>-<-分析:因为该方程有两个不相等的实数根,所以应满足△>0.解:由题意,得△=12-4×1×(-3m解得m>-.答案:C.3.解一元二次方程例3

(2022·四川)解方程:x2+3x=10.分析:根据方程的特点,可用公式法求解.解:原方程就是x2+3x-10=0,这里a=1,b=3,c=-10.b2-4ac=32-4×1×(-10)=49.∴x=.∴x1=2,x2=-5.点评:要根据方程的特点灵活选用方法解方程.4.根据与系数的关系,求与方程的根有关的代数式的值.

例4

(2022·河北)若x1,x2是一元二次方程2x2-3x+1=0的两个根,则x12+x22的值是(

)A.B.C.分析:本题解法不唯一,可先解方程求出两根,然后代入x12+x22,求得其值.但一般不解方程,只要将所求代数式转化成含有x1+x2和x1x2的代数式,再整体代入.解:由根与系数关系可得x1+x2=,x1·x2=,x12+x22=(x1+x2)2-2x1·x2=()2-2×=.答案:A.点评:公式之间的恒等变换要熟练掌握.5.一元二次方程的应用例5

(2022·陕西)在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图.如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程是()+130x-1400=0+65-350=0400=0350=0解析:在矩形挂图的四周镶一条宽为xcm的金边,那么挂图的长为(80+2x)cm,宽为(50+2x)cm,由题意,可得(80+2x)(50+2x)=5400.答案:B.基础达标验收卷一、选择题1.(2022·武汉)一元二次方程x2-4=0的根为().=2=-2C.x1=2,x2=-2=42.(2022.长沙)下列一元二次方程中,有实数根是().+1=0+3=0；+x-1=0+4=03.(2022·河南)如果关于x的方程x2+mx+1=0的两个根的差为1,那么m等于().A.±2B.±C.±D.±4.(2022·安徽)方程x2-3x+1=0根的情况是().A.有两个不相等的实数根;B.有两个相等的实数根C.没有实数根;D.只有一个实数根5.(2022·云南)用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0,则方程可变形为().A.(x-4)2=9B.(x+4)2=9;C.(x-8)2=16D.(x+8)2=576.(2022·黄冈)下列说法中正确的是()[可多选]

A.方程x2+2x-7=0的两实数根之和为2;

B.方程2x2-3x-5=0的两实数根之积为-

C.方程x2-2x-7=0的两实数根的平方和为18;D.方程x2+3x-5=0的两实数根的倒数和为二、填空题1.(2022·天津)已知关于x的方程x2-3x+m=0的一个根是另一个根的2倍,则m的值为_______.2.(2022.沈阳)方程x2-2x-3=0的根是________.3.(2022,青海)方程x2+ax-1=0有_______个实数根.4.(2022.青海)以2+和2-为根的一元二次方程是_________.5.(2022.重庆)已知x1、x2是关于x的方程(a-1)x2+x+a2-1=0的两个实数根,且x1+x2=,则x1·x2=_________.三、解答题1.(2022.上海)关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式的值为1,求m的值及该方程的根.2.(2022.重庆)已知关于x的一元二次方程x2+(2m-3)x+m2=0的两个不相等的实数根为α、β满足=1,求m的值.3.(2022.南昌)已知关于x的方程x2-2(m+1)x+m2=0.(1)当m取什么值时,原方程没有实数根.(2)对m选取一个合适的非零整数,使原方程有两个实数根,并求这两个实数根的平方和.能力提高练习一、学科内综合题1.(2022.沈阳)阅读下列解题过程:题目:已知方程x2+3x+1=0的两个根为α、β,求的值.解:∵△=32-4×1×1=5=0,∴α≠β.①由一元二次方程的根与系数的关系,得α+β=-3,αβ=1.②∴==-3③阅读后回答问题:上面的解题过程是否正确?若不正确,指出错在哪一步,并写出正确的解题过程.二、跨学科应用题2.队伍长skm.通讯员从排尾赶到排头后又立即返回排尾,这时队伍恰好前进了skm,假设这一过程中,队伍和通讯员的速度不变,求通讯员所走的路程.三、开放探索题3.(2022.四川)已知关于x的方程x2-2(m+1)x+m2-2m-3=0……①的两个不相等实数根中有一个根为0,是否存在实数k,使关于x的方程x2-(k-m)x-k-m2+5m-2=0……②的两个实数根x1,x2之差的绝对值为1?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由四、实际应用题4.(2022.广东)某商场今年2月份的营业额为400万元,3月份的营业额比2月份增加10%,5月份的营业额达到万元,求3月份到5月份营业额的平均月增长率.答案:基础达标验收卷一、

、C、D二、

=3,x2=-1

+1=0

三、1.解:由题意,得m≠0,而且△=[-(3m-1)]2-4m(2m-1)=9m2-6m+1-8m2+4m=m2-2m∴m2-2m=0.∴m1=0(舍去),m2=2.将m=2代入原方程得2x2-5x+3=0.解得方程的根为x1=,x2=1.2.解:由△>0得(2m-3)2-4m2>0.解得m<.∵=1,即=1,∴α+β=αβ.又α+β=-(2m-3),αβ=m2.代入上式得3-2m=m2,解之m1=-3,m2=1.∵m=1>故舍去,∴m=-3.3.解:(1)△=[-2(m+1)]2-4m2=4(m2+2m+1)-4m2=4(2m+1)<0,∴m<-.当m<-时,原方程没有实数根.(2)取m=1时,原方程为x2-4x+1=0设此方程的两实数根为x1,x2.则x1+x2=4,x1·x2=1.∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1·x2=42-2×1=14.[m取其他符合要求的值也可.]能力提高练习1.解:不正确,第(3)步错.正确的解题过程是:∵△=32-4×1×1=5>0,∴α≠β.由一元二次方程的根与系数的关系得α+β=-3<0,α·β=1>0,∴α<0,β<0,∴=--=-·=32.解:设队伍的速度为xkm/h,而通讯员的速度为ykm/h,则通讯员从排尾赶到排头的速度是(y-x)km/h,从排头赶到排尾的速度是(y+x)km/h,他来回各走了skm,同时队伍走了skm.由题意,得(+)·x=s.解得y1=(1+)x,y2=(1-)x(舍去)∴通讯员走的路程为(1+)·x·=(1+)s(km).答:通讯员走了(1+)skm.3.解:∵方程①有两个不相等的实数根,∴△=[-2(m+1)]2-4(m2-2m-3)=16m+16>0.解得m>-1.又∵方程①有一个根为0,∴m2-2m-3=0,即(m-3)(m+1)=0.解得m=3,m=-1.又∵m>-1,∴m1=-1应舍去.∴m=3当m=3时,方程②变形为x2-(k-3)x-k+4=0.∵x1,x2是方程②的两个实数根,∴x1+x2=k-3,x1·x2=-k+4.若│x1-x2│=1,即k2-2k-8=0,(k-4)(k+2)=0.∴k1=-2,k2=4.∵当k=-2时,△=[-(k-3)]2-4(-k+4)=k2-2k-7=(-2)2-2×(-2)-7=1>0,此时,方程②为x2+5x+6=0,