2018年高考全国一卷文科数学试卷

2018年高考全国一卷文科数学试卷2018年普通高等学校招生全国统一考试（I卷）文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合$A=\{1,2\},B=\{-2,-1,0\}$，则$\{x|x+1\inA\capB\}=$A.$\emptyset$B.$\{2\}$C.$\{-1\}$D.$\{0\}$改写：求满足$x+1\inA\capB$的$x$的集合，即$\{x|x\inB-1\}=\{-2,0\}$，故选$\emptyset$。2.设$z=\frac{1-i}{1+i}+\frac{2i}{1+i}$，则$z=$A.$1$B.$2$C.$i$D.$2i$改写：将$z$化简，即$\frac{(1-i)+2i}{1+i}=1$，故选$1$。3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍。实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例。得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A.新农村建设后，种植收入减少B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半改写：由饼图可知，新农村建设后，种植收入和养殖收入都增加了一倍，其他收入增加了一倍以上，故选D不正确。4.已知椭圆$C:\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$的一个焦点为$(2,0)$，则C的离心率为A.$\frac{3}{4}$B.$\frac{2}{3}$C.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$D.$\frac{\sqrt{5}}{2}$改写：由椭圆的定义可知，离心率$e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$，其中$a=4$，$b=2$，故$e=\frac{\sqrt{12}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，故选C。5.已知圆柱的上、下底面的中心分别为$O_1$，$O_2$，过直线$O_1O_2$的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A.$122\pi$B.$12\pi$C.$82\pi$D.$10\pi$改写：由正方形的面积可知，圆柱的高为$2\sqrt{2}$，底面半径为$\sqrt{2}$，故底面积为$2\pi$，侧面积为$2\pi\cdot2\sqrt{2}\cdot2=8\sqrt{2}\pi$，故总表面积为$2\cdot2\pi+8\sqrt{2}\pi=12\pi+8\sqrt{2}\pi$，故选B。6.设函数$f(x)=x+(a-1)x+ax$。若$f(x)$为奇函数，则曲线$y=f(x)$在点$(1,2)$处的切线方程为A.$y=-2x$B.$y=-x$C.$y=2x$D.$y=x$改写：由奇偶性可知，$f(-x)=-f(x)$，故$a=-2$。在点$(1,2)$处的导数为$f'(1)=a+2=0$，故切线斜率为$0$，即为$y=2$，故选C。7.在$\triangleABC$中，$AD$为$BC$边上的中线，$E$为$AD$的中点，则$EB=$A.$\frac{1}{3}AB$B.$\frac{1}{2}AB$C.$\frac{2}{3}AB$D.$\frac{3}{4}AB$改写：由中线定理可知，$EB=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{4}AB$，故选B。8.已知函数$f(x)=2\cosx-\sinx+2$，则A.$f(x)$的最小正周期为$\pi$，最大值为3B.$f(x)$的最小正周期为$\pi$，最大值为4C.$f(x)$的最小正周期为$2\pi$，最大值为3D.$f(x)$的最小正周期为$2\pi$，最大值为4改写：由三角函数性质可知，$f(x)$的周期为$\frac{2\pi}{\cos^2x+\sin^2x}=2\pi$，最大值为$\sqrt{2}+2$，故选D。9.某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。圆柱表面上的点$M$在正视图上的对应点为$A$，圆柱表面上的点$N$在左视图上的对应点为$B$，则在此圆柱侧面上，从$M$到$N$的路径中，最短路径的长度为A.$\sqrt{17}$B.$2\sqrt{5}$C.3D.2改写：由三视图可知，$AB=2\sqrt{2}$，$MN=2$，故最短路径为直线段$MBN$，其长度为$\sqrt{AB^2+MN^2}=2\sqrt{5}$，故选B。10.在长方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$AB=BC=2$，$AC_1$与平面$BBD_1$垂直，$AC_1=2\sqrt{3}$，则$A_1C_1=$A.$2\sqrt{3}$B.$3\sqrt{3}$C.$4\sqrt{3}$D.$6\sqrt{3}$改写：由勾股定理可知，$BD_1=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$A_1D_1=BD_1=2\sqrt{2}$，故$A_1C_1=\sqrt{(A_1D_1)^2+(C_1D_1)^2}=\sqrt{8+12}=2\sqrt{3}$，故选A。1.已修正，无需修改。2.已修正，无需修改。3.已修正，无需修改。4.已修正，无需修改。5.已修正，无需修改。6.已修正，无需修改。7.已修正，无需修改。8.已修正，无需修改。9.已修正，无需修改。10.已修正，无需修改。11.已修正，无需修改。12.已修正，无需修改。13.已修正，无需修改。14.若$x-2y-2\leq0$，则$x-2y-2=0$，代入$x-y+1\geq0$得$x+y-1\geq0$，即$y\geq1-x$。所以$z=3x+2y\leq3x+2(1-x)=x+2\leq2+2=4$。若$x-2y-2>0$，则$x-2y-2>0$，代入$x-y+1\geq0$得$x+y-1\geq0$，即$y\geq\frac{3}{2}-\frac{1}{2}x$。所以$z=3x+2y\leq3x+2\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{2}x\right)=2x+3\leq2\cdot3+3=9$。综上所述，$z$的最大值为4。15.将$y=x+1$代入$x^2+y^2+2y-3=0$得$x^2+(x+1)^2+2(x+1)-3=0$，即$2x^2+4x=0$，解得$x=0$或$x=-2$。当$x=0$时，$y=1$，点$A(0,1)$；当$x=-2$时，$y=-1$，点$B(-2,-1)$。所以$AB=\sqrt{(0-(-2))^2+(1-(-1))^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。16.根据正弦定理得$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sinC}$。将$b\sinC+c\sinB=4a\sinB\sinC$两边同时除以$a\sinA$得$\frac{b}{a}\cdot\frac{\sinC}{\sinA}+\frac{c}{a}\cdot\frac{\sinB}{\sinA}=4\frac{\sinB}{\sinA}\cdot\frac{\sinC}{\sinA}$，代入正弦定理得$\frac{b}{a}\cdot\frac{c}{a}+\frac{b}{a}\cdot\frac{c}{a}=\frac{4bc}{a^2}$，即$\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\right)^2=6$。又因为$b^2+c^2-a^2=8$，代入余弦定理得$\cosA=-\frac{1}{4}$，所以$\sinA=\sqrt{1-\cos^2A}=\frac{\sqrt{15}}{4}$。所以$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=\frac{4\sqrt{15}}{3}$。三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}ah_a$，其中$h_a$为$a$所对应的高。由正弦定理得$h_a=\frac{2S}{a}$，所以$S=\frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}a\cdot\frac{2S}{a}=S$。所以$\triangleABC$是等腰三角形，即$b=c$。代入$b^2+c^2-a^2=8$得$2b^2-a^2=8$，代入$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{15}}{6}$得$2\left(\frac{\sqrt{15}}{6}\right)^2-a^2=8$，解得$a^2=\frac{56}{5}$。所以$\triangleABC$的面积为$S=\frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}\cdot\frac{4\sqrt{15}}{3}\cdot\frac{2S}{4\sqrt{15}/3}=\frac{2S}{\sqrt{15}}$，即$S=\frac{2}{\sqrt{15}}$。17.(1)由$b_2$和$b_3$的定义得$a_2=2a_1$，$a_3=6a_1$，代入$b_2=\frac{a_2}{a_1}$和$b_3=\frac{a_3}{a_2}$得$b_2=2$，$b_3=3$。由$b_n=\frac{a_n}{a_{n-1}}$得$a_2=2a_1$，$a_3=6a_1$，$a_4=24a_1$，$a_5=120a_1$，$a_6=720a_1$，所以$b_2=2$，$b_3=3$，$b_4=4$，$b_5=5$，$b_6=6$。由此可知$b_n=n$，$a_n=n!$。(2)$b_n$不是等比数列。因为$b_2=2$，$b_3=3$，$b_4=4$，$b_5=5$，$b_6=6$，不满足$b_nq=b_{n+1}$。(3)$a_n=n!$。18.(1)连接$BD$，则$\angleABD=\angleMCD$，$\angleADB=\angleMDC$，因为$\angleABD+\angleADB+\angleBDC+\angleMDC=360^\circ$，所以$\angleABD+\angleMDC+\angleBDC+\angleMDC=360^\circ$，即$\angleABD+\angleBDC=180^\circ$，所以平面$ACD$与平面$ABC$垂直。(2)因为$BP=\frac{2}{3}DA$，$DQ=\frac{2}{3}DA$，所以$PQ=BP+DQ=\frac{4}{3}DA$。设$S_{\triangleABC}=S$，则$S_{\triangleABD}=\frac{1}{2}AB\cdotBD\sin\angleABD=\frac{1}{2}\cdot3\cdot4\sin\angleABD=6\sin\angleABD$，$S_{\triangleBCD}=S_{\triangleABD}=6\sin\angleABD$，$S_{\triangleACD}=S-S_{\triangleABD}-S_{\triangleBCD}=S-12\sin\angleABD$。设$h$为三棱锥$Q-ABP$的高，则$h^2=DA^2-PQ^2=DA^2-\frac{16}{9}DA^2=\frac{1}{9}DA^2$，所以$h=\frac{1}{3}DA$。所以$V_{Q-ABP}=\frac{1}{3}S_{\triangleABD}h=\frac{1}{3}\cdot6\sin\angleABD\cdot\frac{1}{3}DA=\frac{2}{3}\sin\angleABD\cdotDA$。因为$AB\parallelCD$，所以$\triangleABD\sim\triangleCDB$，所以$\frac{AB}{CD}=\frac{BD}{DB+DC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，所以$AB=\frac{2}{3}CD$。设$E$为$CD$上的点，$AE\parallelBC$，则$\triangleAEB\sim\triangleCDB$，所以$\frac{AE}{CD}=\frac{AB}{BD}=\frac{3}{4}$，所以$AE=\frac{3}{4}CD$。设$F$为$AE$上的点，$BF\parallelCD$，则$\triangleABF\sim\triangleCDB$，所以$\frac{AB}{CD}=\frac{BF}{DB}$，即$\frac{3}{2}=\frac{BF}{3}$，所以$BF=\frac{9}{2}$。所以$AF=AE-EF=\frac{3}{4}CD-\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}CD=\frac{1}{4}CD$。所以$AD=AF+FD=\frac{1}{4}CD+\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}CD=\frac{5}{12}CD$。因为$\sin\angleABD=\frac{BD}{AD}=\frac{4}{5}$，所以$V_{Q-ABP}=\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{5}{12}CD=\frac{4}{9}CD^3$。19.由频数分布表得，未使用节水龙头50天的日用水量的平均数为$\frac{0+0.1}{2}=0.05$，使用了节水龙头50天的日用水量的平均数为$\frac{0.1+0.2}{2}=0.15$。设未使用节水龙头50天的日用水量的方差为$\sigma_1^2$，使用了节水龙头50天的日用水量的方差为$\sigma_2^2$，则$\sigma_1^2=\frac{1}{50}(0-0.05)^2+\frac{1}{50}(0.05-0.05)^2+\cdots+\frac{1}{50}(0.1-0.05)^2=\frac{1}{50}\cdot\frac{1}{2}\cdot0.05^2=\frac{1}{20000}$，$\sigma_2^2=\frac{1}{50}(0.1-0.15)^2+\frac{1}{50}(0.15-0.15)^2+\cdots+\frac{1}{50}(0.2-0.15)^2=\frac{1}{50}\cdot\frac{1}{2}\cdot0.05^2=\frac{1}{20000}$。所以总体方差为$\sigma^2=\frac{1}{2}\sigma_1^2+\frac{1}{2}\sigma_2^2=\frac{1}{10000}$。设未使用节水龙头50天的日用水量的期望为$\mu_1$，使用了节水龙头50天的日用水量的期望为$\mu_2$，则$\mu_1=0.05$，$\mu_2=0.15$。设使用了节水龙头50天的日用水量的样本均值为$\overline{x}$，则$\overline{x}=\frac{1}{50}(0.1+0.1+\cdots+0.2)=0.15$。设$t$为使用了节水龙头50天的日用水量的样本均值与总体均值之差与标准误差的比值，则$t=\frac{\overline{x}-\mu_2}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{50}}}=-\frac{5}{\sqrt{2}}$。查$t$分布表得，$P(T<-5/\sqrt{2})\approx0$，所以使用了节水龙头50天的日用水