有理数初中数学课件

初中数学课件之有理数©

目录01、具有相反意义的量02、数轴、相反数和绝对值03、有理数大小的比较04、有理数的加法和减法05、有理数的乘法和除法06、有理数的乘方07、有理数的混合运算01具有相反意义的量◆正负数◆有理数

◆经典例题正数与负数具有相反意义的一对量中：0正数负数既不是正数也不是负数非负数比0小的数叫负数★负数前面常有一个符号“-”，负号不可省略。比0大的数叫正数★正数前面常有一个符号“+”，通常省略不写。非正数有理数★

一般的：

自然数用字母“N”表示；整数用字母“Z”表示；有理数用字母“Q”表示。正整数负整数零整数自然数有理数正整数负整数分数正数负数零循环小数化为分数方法1：纯循环小数化分数,分母由若干个9组成,9的个数是一个循环节中循环部分的数字的个数;分子是一个循环节组成的数,如：0.212121…=。方法2：混循环小数化分数:分母由9和0组成,9的个数是一个循环节中循环部分的数字的个数,0的个数是原数中不循环部分的数字的个数;分子是不循环部分与一个循环节组成的数减去不循环部分组成的数,如：0.3121212…==。经典例题例题1、某方便面厂生产的100g袋装方便面外包装上印有(100±5)g的字样.(1)请问:“±5g”表示什么意义?(2)若某同学购买一袋这样的方便面,称了一下发现只有97g,问该厂家在重量上有无欺诈行为?说明理由.解：(1)“+5g”表示比100g多5g,“-5g”表示比100g少5g。(2)无欺诈行为.理由:(100±5)g的意思是该厂生产的方便面重量在95g到105g之间是合格的,该同学买的方便面是97g,属于合格范围.故该厂家在重量上不存在欺诈行为。经典例题例题2：将下面一组数填入相应的框内:-0.6,-8,0.313131…,-809,-2，89.9,0,+4。你能说出图中重叠部分表示什么数吗?解：图(1)重叠部分是正整数；图(2)重叠部分是负分数。02数轴、相反数和绝对值◆定义

◆性质

◆经典例题数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线，叫做数轴。012-1-2正方向原点单位长度★

数轴的正方向一般向右，但也可以除向左。★

画数轴时一般要先画横线和正方向，其次画零，再根据题意画单位长度。★单位长度则是指取适当的长度作为单位长度，比如可以取2m作为单位长度“1”，那么4m就表示2个单位长度。长度单位则是指米，厘米，毫米等表示长度的单位。直线相反数如果两个数只有符号不同，那么其中一个数叫做另一个数的相反数。0a-a分居原点两侧与原点的距离相等★

相反数特性：若a.b互为相反数，则a+b=0，反之若a+b=0，则a、b互为相反数。★

零的相反数是0。相反数是成对出现，不能单独出现。★求一个数的相反数只需这个数前面加上一个负号就可以了，若原数带有符号（不论正负），则应先添括号。绝对值绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，用“||”来表示。正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值还是0。★

非负数（正数和0）的绝对值是它本身，非正数（负数）的绝对值是它的相反数。★

实数a的绝对值永远是非负数，即a≥0。互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|=|-a|。★特殊的零的绝对值既是它的本身又是它的相反数，写作|0|=0。★绝对值实际上和四则运算“加、减、乘、除”一样，也是一种运算，绝对值运算的本质就是要把带有绝对值符号的数化为不带绝对值符号的数(即去绝对值)．经典例题例题3、下面推理正确的是()。A．若|m|＝|n|，则m＝nB．若|m|＝n，则m＝nC．若|m|＝－n，则m＝nD．若m＝n，则|m|＝|n|解：A中若|m|＝|n|，则m＝±n；B中若|m|＝n(n一定是非负数)，则m＝±n，例如|±2|＝2，此时m＝±2，n＝2，显然m＝±n；C中若|m|＝－n，则m＝n或m＝－n，例如|±3|＝－(－3)(n一定是非正数)，此时m＝±3，n＝－3，所以m＝±n.所以答案：D。经典例题例题4、超市、书店、玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，超市在书店西边20米处，玩具店位于书店东边50米处．小明从书店出来沿街向东走了50米，接着又向东走了－80米，此时小明的位置在何处？在数轴上标出超市、书店、玩具店的位置以及小明最后的位置。解：书店处于超市和玩具店之间，且书店与玩具店之间的距离是50米，书店与超市之间的距离是20米，这样可以画出数轴，即可表示出小明最后的位置；解决点的移动问题，可画出数轴，在数轴上表示点的移动，关键是确定原点，最后的点相对于原点来说，若在原点的右侧，表示的是正数，若在原点的左侧，则表示的是负数。根据题意可以画出如图所示的数轴，小明位于超市西边10米处：经典例题例题5、一天上午，出租车司机小王在东西走向的中山路上营运，如果规定向东为正，向西为负，出租车的行车里程如下(单位：千米)：＋15，－3，＋12，－11，－13，＋3，－12，－18，请问小王将最后一位乘客送到目的地时，共行驶了多少千米？解：本题是绝对值意义在实际问题中的具体应用，有理数中的“＋”和“－”在本题中表示的是方向，而它们的绝对值是小王在营运中所行驶的路程，因此求共行驶的路程应是每次行车里程绝对值之和：|＋15|＋|－3|＋|＋12|＋|－11|＋|－13|＋|＋3|＋|－12|＋|－18|＝15＋3＋12＋11＋13＋3＋12＋18＝87(千米)．答：小王将最后一位乘客送到目的地时共行驶了87千米。03◆法则

◆经典例题有理数大小的比较有理数比大小的规定★

两个负数，绝对值大的反而小。★

在以向右为正方向的数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。正数大于零，零大于负数。012-1-2右边正方向从负方向往正方向，越来越大有理数比大小技巧(1)在有理数中,任取两个数,有五种情况:①两个正数;②正数和零;③零和负数;④正数和负数;⑤两个负数.。(2)应对法则:①两个正数比较大小,绝对值大的数大;②正数大于零,零大于负数;③两个负数比较大小,先分别求出两个数的绝对值,并比较绝对值的大小,再根据“两个负数,绝对值大的反而小”进行比较.。经典例题例题6、已知|a|>|b|,比较a与b的大小分四种情况解：此题具有代表性，应根据绝对值及有理数比大小的相关知识，进行全面的考虑：(1)当a>0,b>0时,a>b；(2)当a>0,b<0时,a>b；(3)当a<0,b<0时,a<b；(4)当a<0,b>0时,a<b。经典例题|-0.6|,-0.6,-|4.2|。例题7、按由小到大的顺序,用“<”把下列各数连接起来:-4,-(-),因为-(-)=,|-0.6|=0.6,解：-|4.2|=-4.2,而|-4|=4,|-0.6|=0.6,|-4.2|=4.2,所以-4<-|4.2|<-0.6<|-0.6|<-(-).04◆法则

◆经典例题有理数的加法和减法有理数加法法则有理数加法运算总是涉及两个方面：一方面是确定结果的符号，另一方面是求结果的绝对值。

法则三：一个数同0相加，仍得这个数。互为相反数的两个数相加等于0。法则一：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

法则二：异号两数相加，绝对值相等时和为0，绝对值不等时，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。有理数加法的运算律（2）满足加法结合律:

（1）满足加法交换律：a+b=b+aa+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)有理数减法法则在运用减法法则时，注意两个符号的变化：一是运算符号，减号变成加号，二是性质符号，减数变成它的相反数。

法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

经典例题例题8、一跳蚤在一直线上从O点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，…，依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处离O点的距离是50个单位．解：设向右为正，向左为负．根据正负数的意义列出式子计算即可：设向右为正，向左为负．1+（﹣2）+3+（﹣4）+．+（﹣100）=[1+（﹣2）]+[3+（﹣4）]+．+[99+（﹣100）]=﹣50．∴落点处离O点的距离是50个单位。故答案为50。经典例题例题9、2013年国庆，闻名于世的福州三坊七巷，在9月30日的游客人数为0.9万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）。日期10月1日10月2日10月3日10月4日10月5日10月6日10月7日人数变化（万人）+3.1+1.78﹣0.58﹣0.8﹣1﹣1.6﹣1.15（1）10月3日的人数为

5.2

万人．（2）七天假期里，游客人数最多的是10月

2

日，达到

5.78

万人．游客人数最少的是10月

7

日，达到

0.65

万人．（3）请问黄山风景区在这八天内一共接待了多少游客？（结果精确到万位）（4）如果你也打算在下一个国庆节出游福州三坊七巷，对出行的日期有何建议？解：（1）3日的人数为：0.9+3.1+1.78﹣0.58=5.2万人；（2）4日的人数为：5.2﹣0.8=4.4万人，5日的人数为：4.4﹣1=3.4万人，6日的人数为：3.4﹣1.6=1.8万人，7日的人数为：1.8﹣1.15=0.65万人，所以七天假期里，游客人数最多的是10月2日，5.78万人．游客人数最少的是10月7日，0.65万人；

（3）0.9+4+5.78+5.2+4.4+3.4+1.8+1.65≈23万人，黄山风景区八天内大约接待了23万游客；

（4）为了安全，尽量把出行时间推后。05◆法则

◆经典例题有理数的乘法和除法有理数的乘法法则法则一：两数相乘，同号为正，异号得负，并把绝对值相乘。

法则二：任何数同0相乘，积仍是0。

法则三：多个有理数相乘，当因数都不为0时，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正，当负因数有奇数个时，积为负，并把绝对值相乘，有一个因数为0时，积就为0。有理数乘法的运算律（2）满足乘法结合律:

（1）满足乘法交换律：a×b=b×a(a×b)×c=a×(b×c)（3）满足乘法分配律:

a×(b＋c)=a×b＋a×c倒数若两个有理数的乘积为1，那么我们称其中一个数是另一个数的倒数，也称它们互为倒数。－a1=×a1(其中：a≠0)★

0没有倒数。倒数是本身的数是1和-1，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。★

要求一个数的倒数，只需将其以1除，便可得到倒数。★倒数，一般在计算器中表示为1/x。有理数的除法法则法则一：（1）两数相除，同号为正，异号为负，并把绝对值相除。

（2）零除以任何一个不为零的数仍是零。法则二：除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数。

例题10、若a，b，c为有理数，且|a+1|+|b+2|+|c+3|=0，求(a-1)×(b+2)×(c-3)的值。经典例题解：可根据非负数相加等于零，则每个非负数都等于零的规律，来解题：

∵|a+1|+|b+2|+|c+3|=0，∴|a+1|=0，|b+2|=0，+|c+3|=0得：a=-1，b=-2，c=-3，∵a-1=-2，b+2=0，c-3=-6.∴(a-1)×(b+2)×(c-3)=0.经典例题例题11、计算：(1-)(1+)(1-)(1+)…(1-)(1+).解：这类型题目可根据相邻分数分子分母的特点，来进行运算：原式=××××…××=×=经典例题例题12、若a，b都是非零的有理数，则++的值是多少？解：解此类题目应对考虑所有可能性：当a>0，b>0时，原式=++＝1+1+1＝3；当a>0，b﹤0时，原式=--＝1-1-1＝-1；当a﹤0，b>0时，原式=-+-＝-1+1-1＝-1；当a﹤0，b﹤0时，原式=--+＝-1-1+1＝-1；

即原式的值为3或-1。经典例题例题13、通常，山的高度每升高100米，气温将下降0.6℃，现地面气温是-4℃.请你帮小明算算：(1)高度是2400米高的山上气温是多少℃？(2)气温是-22℃的山顶高度是多少米？解：此类题目应理解题意后，正确列式：(1)当h=2400时，t=-4-0.6×=-18.4(℃)；（2）当t=-22时，［(-4)-(-22)］÷0.6×100=3000(米)。答：高度是2400米高的山上气温是-18.4℃，

气温是-22℃的山顶高度是3000米。

06◆幂

◆科学计数法◆经典例题有理数的乘方幂一般的，a是有理数，n是正整数，则把a×a×a×…×a（n个a相乘），记为：an。我们把an读作a的n次方，也读作a的n次幂。an指数底数幂★

求n个相同因数的乘积的运算，叫做乘方。★

特别的，a2通常读作a的平方，a3通常读作a的立方。规定a1=a。★正数的任何正整数次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，；0的任何正整数次幂都是0。科学记数法把一个绝对值大于10的数表示成a10的形式（1≤a<10，n为整数），这种记数法叫做科学记数法。511000000=5.11×108★

当我们要标记或运算某个较大或较小且位数较多时，用科学记数法免去浪费很多空间和时间。★

用科学记数法表示数时，不改变数的符号，只是改变数的书写形式。★运用科学记数法a×10n的数字，它的精确度以a的最后一个数在原数中的数位为准。。经典例题例题14、计算：解：当指数较大时，无法直接进行计算，两底数、互为倒数，可结合乘方的意义和性质进行简便运算：经典例题例题15、据统计，我国2013年全年完成造林面积约6090000公顷，6090000用科学记数法可表示为（）。A、；B、；C、