结构注册工程师无穷级数

无穷级数一、数项级数二、幂级数讨论敛散性求收敛范围，将函数展开为幂级数，求和。三、傅立叶级数求函数的傅立叶级数展开，讨论和函数的性质。一、判断数项级数敛散的方法1、利用已知结论：等比级数、P-级数及级数性质2、利用必要条件：主要判别发散3、求部分和数列的极限4、正项级数的审敛法1）比值审敛法（根值审敛法）2）比较审敛法（或极限形式）5、交错级数审敛法：莱布尼兹定理6、一般级数审敛法：先判断是否绝对收敛，如果绝对收敛则一定收敛；否则判断是否条件收敛1.数项级数及收敛定义：给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数，其中第n项叫做级数的一般项,级数的前n项和称为级数的部分和.次相加,简记为收敛,则称无穷级数并称S为级数的和。

等比级数(又称几何级数)(q称为公比).级数收敛,级数发散

.其和为P-级数2.无穷级数的基本性质

性质1.

若级数收敛于S,则各项乘以常数c所得级数也收敛,即其和为cS.性质2.

设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.但若二级数都发散,不一定发散.(1)性质2表明收敛级数可逐项相加或减.(用反证法可证)性质3.在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数的敛散性.性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级的和.推论:

若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.注意:

收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.性质5：设收敛级数则必有可见:

若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.*例1.判断级数的敛散性:解:该级数是下列两级数之差故原级数收敛.(比较审敛法)设且存在对一切有(1)若强级数则弱级数(2)若弱级数则强级数则有收敛,也收敛;发散,也发散.是两个正项级数,

(常数k>0),3.正项级数审敛法

(比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散;(2)当l=

0(3)当l=∞设两正项级数满足(1)当0<l<∞时,的敛巴散性差.例3然.判别院级数解:根据逗比较润审敛岭法的瘦极限捎形式剃知比值贝审敛娱法役(锡D’苦al粘em蚕be西rt术判瞎别法车)设为正敲项级生数,涨且则(1兆)器当(2营)春当时,涛级机数收乳敛踩;或时,铲级纷数发邀散..根值己审敛原法豆(环Ca仅uc珍hy垒判别犯法)设为正帅项级数兴,首且则因此御级数收敛顾.解:4.竖交错糖级数中及其悬审敛烫法则各者项符全号正搂负相掉间的比级数称为交错大级数.(蛛Le齐ib园ni忆tz判别糊法乖)若交态错级告数满趟足条揪件:则级鞠数收敛茄。5.晒绝对绘收敛电与条恋件收学敛定义躁:对任扫意项航级数若若原蚕级数叼收敛留,有但取崭绝对县值以瞎后的茧级数贝发散赔,尚则称对原级收敛脆,数绝对坦收敛罩；则称吼原级数条件忆收敛误.绝对搞收敛辩的级注数一腔定收交敛配.由绝亚对收姿敛概镇念和购莱布筋尼兹诸定理床知:交错挤级数例5猫.证明努下列罪级数悟绝对着收敛决:证:而收敛蕉,收敛因此绝对余收敛膀.发散发散收敛收敛发散1.钓Ab姻el瓣定理若幂右级数则对美满足腥不等娇式的一珠切x幂级盲数都纠绝对永收敛夸.反之或,剥若当的一国切x,邀该幂仗级数支也发诵散烫.时该敏幂级碗数发信散执,则对泛满足白不等中式二、勿求幂励级数飞收敛妇域*例寺6.已知趴幂级混数在处收肤敛，多则该祝级数在处是捉收敛蛮还是皮发散陡？若兴收敛含，是辆条件萌收敛还是渠绝对堂收敛唤？解：由A被be之l定肝理协，该外幂级倾数在处绝义对收协敛，故在绝对齐收敛充。例7矮.已知处条胆件收无敛嚼,颈问该忍级数槽收敛半径足是多胃少充?答:根据闯Ab怀el倚定仰理可冈知,咽级弊数在收敛轧,时发票散沫.故收倦敛半痕径为若的系抚数满童足1)嫂当

≠0监时扇,2)挡当

＝0斧时逗,3)谜当

＝∞免时,则的收芬敛半犬径为2.苹求收丽敛半逢径对端箱点x旷=－1,的收贿敛半盟径及沸收敛扔域.解:对端枝点x步=1,级数锐为交救错级嘱数收敛澡;级数恶为发散饭.故收钞敛域斑为例8乐..求幂协级数例9.求下杏列幂瞧级数饭的收孝敛域乱:解:(1葛)所以嚼收敛削域为(2紫)所以录级数沾仅在x腔=0绣处收静敛场.规定普:柳0昆!牺=宵1例1首0.的收剪敛域第.解:令级数告变为当t=座2任时,茄级闸数为此级仔数发图散;当t=君–热2姓时,挤级逗数为此级吨数条闲件收将敛;因此街级数岔的收饼敛域决为故原至级数颂的收丢敛域璃为即三、掏求函互数的雁幂级耳数展歉开式1、点对函侨数作帐恒等肝变形鲜（如哪果需情要的辆话）2、马利用挺已知首结论斗，用灵变量事代换纲或求匹导积舟分得顺所求饼函数贯的幂绳级数3、仇写出志收敛烘范围括(P渡34骆例1药-3袭7)1.辅求傅鬼立叶煌级数屈展开庸式2.曾求某挥个傅老立叶词系数3.怒求和况函数甜在某党些点骨的值四、获傅立纪叶级栽数的努有关冷问题函数顷展开喘成傅屋里叶胀级数定理蹈.设f(x)谅是周叠期为榴2

紫的周最期函尿数辜,晨且则有①②定理(收糟敛定惧理,乒展垦开定茂理)设f(x)国是周丙期为事2的周期温函数介,并满娃足狄利驴克雷(每Di国ri诞ch颠le耽t臣)条件:1)玩在傲一个饱周期狱内连任续或饭只有斧有限牺个第绒一类壮间断下点;2)唱在川一个县周期惩内只嫂有有音限个晴极值献点,则f(x)际的傅里叶级让数收使敛博,镰且有x为间败断点其中为f(x)蜘的傅里叶系欣数醋.x为连炉续点例1口3.设f(x)坛是周炉期为朗2

激的周吉期函逃数浸,川它在上的许表达梁式为解:微分撕方程一、占微分讲方程归的基雀本概破念二、毅解微符分方墓程三、方微分丸方程啦应用含未咽知函愚数及毫其导畏数的画方程倾叫做微分芽方程.方程香中所考含未帽知函鼠数导揭数的柔最高屡阶数渡叫做悔微分织方程一、临微分镰方程棚的基孝本概如念的阶.例如服：一阶旱微分忆方程二阶喝微分盟方程—亭使方鹊程成献为恒朴等式肃的函蚁数.通解—智解中论所含今独立喝的任懒意常解数的侨个数丢与方尽程—泉确定燥通解泡中任盟意常惹数的佣条件活.初始疏条件置(或烂边值捉条件室):的阶怠数相耐同.特解微分爪方程直的解—芽不含迅任意陆常数们的解洒,定解芹条件其图犹形称漏为积分获曲线.例1伶.验证哗函数是微守分方邪程的解裕.解:是方旧程的铸解搅.二、坟解微企分方券程1.掩一到阶微哲分方角程可分中离变跪量，稻一阶陆线性2.右高货阶微初分方哈程可降痰阶微滴分方斑程，废二阶绕线性搁常系棍数齐托次，药二阶赖线性秀常系兔数非秧齐次植只要梨求写姻出特暖解形汤式。分离蕉变量芹方程浩的解赔法:(2械)两银边积悉分①②(3蹲)得被到通炭解称②拨为方幻玉程①塘的隐式仰通解,毕或通积壳分.(1劳)分齿离变抖量*例削2.求微姥分方腊程的通诱解.解:分离莲变量托得两边闲积分得即(C为任王意常蔬数傲)因此耍可能敏增、减解教.一阶萝线性魄微分逆方程一阶蛛线性付微分券方程闪标准戏形式料:若Q(x)

0,若Q(x)

0,称为非齐限次方孙程.1.毛解孔齐次锣方程分离叫变量两边框积分手得故通糕解为称为齐次伤方程;对应赖齐次骄方程固通解齐次卵方程带通解非齐膨次方烂程特着解2.宇解碎非齐荣次方所程用常数永变易造法:则故原帖方程架的通笋解即即作变笼换两端浑积分倍得解*例截3.利用辰一阶善线性寻方程割的通卡解公罚式得优：例4距.解方危程解:先解即积分膀得即用常数幼变易霸法求特栗解.增令则代入抬非齐辨次方李程得解得故原拳方程渔通解离为令因此即同理哗可得依次沈通过n次积榆分,侍可艇得含n个任这意常鞠数的寇通解仆.型的琴微分席方程例5病.解:型的穿微分剪方程设原方园程化拉为一筑阶方摆程设其票通解漏为则得再一登次积馒分,畅得竭原方雕程的逼通解例6沉.求解解:代入拦方程络得分离沿变量积分冰得利用于是舌有两端欣再积性分得利用因此糖所求庄特解跨为型的僻微分视方程令故方改程化技为设其厉通解侍为即得分离闹变量五后积控分,莲得算原方绪程的钟通解例7叉.求解代入右方程轿得两端险积分谁得(一抱阶线带性齐刃次方谅程)故所所求通病解为解:*例原8.解初焰值问垮题解:令代入悄方程舞得积分径得利用闸初始典条件光,根据积分仆得故所温求特躺解为得二阶来线性废齐次裁方程锻解的缝结构是二酿阶线绘性齐站次方悦程的两虏个解鼓,也是井该方芝程的讨解.定理巨1.机动悠目喷录临上页搜下朵页肉返回相结胁束定理脚2安.是二娱阶线慰性齐剧次方研程的叙两个按线性无挑关特稿解,去则数)舞是维该方迈程的洁通解.例如,玻方程有特扣解且常数昼,故方俭程的惯通解菌为(自挽证)特征泪方程匙:实根特征根通解二阶写线性槽常系榜数齐伶次微狸分方座程求靠解例9方.的通躁解.解:特征敲方程特征锯根:因此恢原方织程的德通解佳为例1励0.求解东初值搬问题解:特征遗方程有重楚根因此吩原方搏程的慰通解搬为利用鉴初始交条件遭得于是寻所求叼初值箱问题剧的解坝为*例俗11研.的通城解.解:特征箭方程特征盾根:因此筝原方间程通猫解为例1蠢2.解：谁因是一漆个特造解，庆所以是特剑征方程昌的重崇根，钻故特脸征方懒程为折：所对横应微扭分方元程为二阶绩线性瓣非齐好次方乎程解唯的结肚构是二昆阶非阳齐次跳方程的一冰个特米解,Y(x)患是相剪应齐绘次方笔程的烫通解躺,定理碰3灰.则是非菌齐次泼方程太的通遣解混.②①(2键)脏若

抹是特在征方壳程的单根特解柄形式么为(3止)海若

是特拖征方飘程的重根特解彻形式世为(1特)语若

除不是纱特征夹方程混的根特解不形式良为的特科解形越式.解:本题而特毙征方魂