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文档简介

第五章贝赛尔函数在第二章，我们用分离变量法求解了一些定解问题．在§2.3，我们将方程化为极坐标系下的方程，经过分离变量后，就会出现变系数的线性常微分方程。由于我们当时考虑的是圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以，得到了欧拉方程。如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。本章我们将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出贝赛尔方程，接着我们来讨论它的解的一些性质。下面将会看到：在一般情况下，贝赛尔方程的解不能用初等函数表出，这就导入一类特殊函数，称为贝赛尔函数。贝赛尔函数具有一系列性质。在求解数学物理方程时主要用的是它的正交完备性。§5.1贝赛尔方程的引出下面考虑圆盘的瞬时温度分布问题。问题：一个半径为的薄圆盘，侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为0摄氏度，求圆盘内的瞬时温度且初始温度为已知，分布规律。解设圆盘内任一点处时刻的温度为,则它满足(5.1)(5.2)(5.3)下面来求这个定解问题的解。用分离变量法。则代入方程(5.1)得令由此得(5.4)(5.5)(5.4)解得(5.5)(5.5)称为亥姆霍兹(Helmholtz)方程。为了求出方程(5.5)满足条件(5.6)的解,我们将方程(5.5)化为极坐标系下的方程。条件(5.3),即(5.6)方程(5.5)变为条件(5.6)变

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