平衡微分方程的积分形式

安徽理工大学机械工程系机设教研室流体力学讲稿二平衡微分方程的积分形式分别对流体平衡微分方程乘dx,dy,dz相加，则有TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"p—dx+亚dy+辿dz=p(Xdx+Ydy+Zdz)Sx Sy dz取全微分 dp=p(XdxrYd^y-Zdz根据数学原理，P=const时，(Xdx+Ydy+Zdz)必须为某标量函数的全微分。设标量函数为W，则有\o"CurrentDocument"SW SW SWdp=pdW=p(——dx+——dy+——dz)Sx Sy SzSW SW SW\o"CurrentDocument" =X, =Y, =ZSx Sy Sz由上式可知，W(x,y,z)是描述质量力的标量函数，称为力势函数。由势函数决定的力称为有势力。重力作用的空间称为重力场，为有势场。积分式(2.2-10)，则有\o"CurrentDocument"p=pW+c (*)若某点(x0,y0,z°)势函数为W0时压强为p0，则c=p0-pW0，则p=p+p(W-W)三流体静力学基本方程a、自由液面上的正向坐标系a、自由液面上的正向坐标系b、自由液面上的反向坐标系c、自由液面下z0处的正向坐标系图2-5静止液体在不同坐标系的势能①*式即是流体静力学的基本方程，在图2-5(a)中，取x=y=z=0，第三次课

安徽理工大学机械工程系机设教研室流体力学讲稿安徽理工大学机械工程系机设教研室流体力学讲稿w0=0,p0=p,；单位质量的液体势能W=-gz(Z与g反向)，则有P=Pa-Pgz注意到-z=鼠则有p=p+pgh=p+yh②在图2-5(b)中，在x=y=z=0点，W=0,p=p，在坐标z单位质量势能为W=gz，则有 0 0ap=p+p(gz-0)=p+yh③在图2-5(c)中，边界条件为：x=y=z=0，势函数W0=0,W=-gz(z与g反向)；则有p=p+pW=p-yz另一边界条件为x=y=0,z=z0,p=p，势函数W=-gz0，由式(2.2-16)可得 a °=p=p0-pgz0=p0Tz0则有p-p=-yz+yz0=y(z0-z)=yh'即p=p+yh通过如上分析可知：p=PW+c是一般表达式，更一般的表达式:z+—=const z+p=z+p=consty 1y2y证明如下：参看图2-6图2-6流体中两点压差p=p+yhp=p+yh第三次课安徽理工大学机械工程系机设教研室由上两式则有安徽理工大学机械工程系机设教研室由上两式则有流体力学讲稿p1-p2=y(h1-h2)=yAh=y(z2-z1)移项则有p+yz=p+yznn由于z由于z1和z2的任意性，故有+-p2-=constnn z+—=consty y几何含义：在静止流体中单位重量的流体的压力能p/y和位置势能z可以互相转化，总和不变。其中单位重量液体的位置势能z，也称位置水头；p/y为单位重量流体的压力能，也称压力水头，简称压头。①静止液体中各点位置水头和测压管高度可以相互转换，但各点测压管水头却永远相等，即敞口测压管最高液面处于同一水平面——测压管水头面。②静止液体中各位置水头和静压高度亦可以相互转换，但各点静压水头永远相等，即闭口的玻璃管最高液面处在同一水平面——静压水头面。p一区2eP/P2p一区2eP/P2A'2.3测压仪表，静力学基本方程的应用一等压面定义：压力相等的点组成的面称为等压面。第三次课 3

安徽理工大学机械工程系机设教研室 流体力学讲稿说明：①绝对静止的液体，等压面为水平面;②做水平匀速直线运动的容器中的液体的等压面也是水平面；作等加速直线运动时，等压面为斜平面；匀速旋转运动容器中的液体的等压面为抛物面（在下节中另述）。③等压面的选择。同一液体的等压面可任取；对不同介质的流体取分界面图2-8图2-8同一液体的等压面图2-9不同液体的等压面④等压面也是等势面，因为p=const,故dp=0，根据静力平衡微分方程dp=pdW，当dp=0时，必有dW=0,W=const二液柱式测压计图2图2-10液柱测压原理从测压管看M从测压管看M点压强pMpM=p+yz2=yz2=y(z1+z0) (p=0)从容器看M点压强pM从容器看M点压强pMpM=p0+yz1 (p0为相对压力)故有pnz=-0-

0y第三次课安徽理工大学机械工程系机设教研室流体力学讲稿(a)测压(b)测真空度安徽理工大学机械工程系机设教研室流体力学讲稿(a)测压(b)测真空度图2-11不同测压仪表原理(c)测压管U型测压计如图2-11所示，测压计内的介质为水银(Hg)。未测量时，水银处在同一水平面上。取等压面为M-M时，水银处在同一水平面上。取等压面为M-M，则对于图2-11(a),设A点被测压力为pjpm=pa+y1z

p=p+yhMa2故有pa=p+y2h-y1z故有A点的相对压力p'为A当被测介质为气体时y1«y2，则有p'=yh=yhA2图2-11(b)为测量真空度原理。取M-M为等压面，则有p=p+yz+yh故有 ?必=p-pA=y1z+y2h图2-11(c)为压差计原理，取M-M为等压面，对容器A、B分别列静压平衡方程，则有(pM=pA+zy1|p=p+zy+hyMMBb1 2则两容器压差ApAp=pA一pB=yJzb一z)+y2h若z=zb,则 Ap=y2h=yh第三次课 5

安徽理工大学机械工程系机设教研室流体力学讲稿安徽理工大学机械工程系机设教研室流体力学讲稿若a、b容器为不同的介质（如水和油液），只要Zjzb,h可测出，则压差p可计算。 “"三金属压力表优点：携带方便、装置简单、安装容易、测读方便、经久耐用等优点