初三二次函数经典例题

题目如图所示，已知点。(1,0),如图所示，已知点。(1,0),直线y=—x+7与两坐标轴分别交于A,3两点，D,E分别是AB,OA上的动点，则△CDE周长的最小值解析本题主要考查图形的轴对称。如图所示，作点。关于4轴的对称点。1(-1,0),关于直线K笈的对称点Q,连接C1Q交。4于点E,交46于点连接CG交工8于点F,连接6Q。由对称的性质可知，GO=00=1,此时△COE的周长最小，且最小值等于GG的长。在直线“=-n+7中，令力=。与"=0得0+7=",—7+7=0,解得y=7,x*=7BPAO=7,BO=7。在R力△406中，因为。,4=08=7,所以Zz4BC=45°,CB=BO—CO=7—1=6。因为AR垂直平分。。2，所以。26=。6=6,。2的坐标为(7,6)。在MAGBC.2中,由勾股定理得。1。2=5+。25=，82+62=10

即△口?£周长的最小值为10o题目来源:即△口?£周长的最小值为10o题目来源:2016年暨高中阶段学校招生考试：数学题目设Sl=l+:+*'$2=1+（+*'s：3=i+*+，…，S=i十:十品日O设S=\/s7+\/~S^+•••+ ，则s= ,o（用含几的代数式表示，其中沱为正整数）解析本题主要考查分式的运算。因为_ 1 1 _n[n(n+I)]2 [n(n+I)]2所以w_?«+1)+1_ ] _,,1 -“n(n+1) n(n+1)nn-[n(n+I)]2 [n(n+I)]2所以w_?«+1)+1_ ] _,,1 -“n(n+1) n(n+1)nn-所以S=l+1——+1+———+*,a+lH 2 3 n「 1(n+1)2—1n2+2n=n+1 = = -on+1n+1 ri+1故本题正确答案为匚n+1题目来源：2011年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生考试：数学nn2(n+1)2 n2(n+1)2[n(n+I)]2+2n2+2n+1_[n(n+1)+I]2题目如图1,直线u=—9:十外交万轴于点A,交y轴于点。(0,4)。抛物线y=|/十反:+c经过点工,交y轴于点3(0.-2)。点P为抛物线上一个动点，经过点P作算轴的垂线PD,过点B作BDJLFD于点D,连接设点P的横坐标为mo(1)求抛物线的解析式。(2)当ABO尸为等腰直角三角形时，求线段PD的长。(3)如图2,将绕点B逆时针旋转，得到△BOP,且旋转角NA6P=/。4。，当点P的对应点〃落在坐标轴上时，请直接写出点。的坐标。图1图2答案、 A(1)由直线〃=—V+72过点。(。14),将点。坐标代入直线的解析式得72=4,所以直线,4。的解析式为V=+4。令y=0得o=—(①+4,解得:匕=3,故，的坐标为(3,0)o因为抛物线y=2/+加+c经过点,4(3.0),5(0,-2),所以将点A、B的坐标代入抛物线解析式得||x32+3，)+c=0,解得=TOC\o"1-5"\h\z[e=-2 {c=-2o所以抛物线的解析式为,=—a；2—2①—2O3 3(2)因为点。的横坐标为机，且点。位于抛物线上，所以〃点坐标为Pg,|m2- -2),。点坐标为2)。当△GDP为等腰直角三角形时，有PD=BD。

①当点P在直线皿上方时，心=押-蓊o当点。在碎由左侧时，则加＜0,故BD=—m,所以^m2— =—m9解得TOC\o"1-5"\h\z3 3m-i=0（舍去），m,2=；（舍去）；当点P在乙y轴右侧时,则巾＞0,故BD=m,所以22 4解得m3=0（舍去）-m--m解得m3=0（舍去）3 3rr②当点。在直线8。下方时，则机＞0,故BD=m,PD=-：m2+ ,所以TOC\o"1-5"\h\z3 322 4解得加5=0（舍去），--m+-m=解得加5=0（舍去），3 3综上所述，当或1时，为等腰直2 2角三角形，此时的长为:或鼠⑶（—或（几-44+4）或o o2511y,32°(3)由上可得。』=3,0C=4,在E力△OAC中，由勾股定理得，AC=\/OA2+OC2=5o又因为LPBPr=ZOAC,所以（）C 4sin/PBP=sinZOACAC5cosLPBPf=cos/OAC=㈡=L同上可得AC5TOC\o"1-5"\h\z、 2 4，点，、。的坐标为r（77Zy〃广一m_2）、JJQ AD（m,-2）,则 =|-m2--rn\,BD=\m\QJ o①如图1所示，当点〃落在I轴负半轴上时，Q APD=一_7?z,BD=-m,过点。作3 3。人”•轴，垂足为N,交BD于点期。因为ND'//PD,所以DD的旋转角度与/NDP相等，即4DBD'=NNDP=/PBP。故39ND'=PfDfcosZ7VP,P,=PDcos乙PBP'= StA4MDf=BD1sinZDBDf=BDsiii/PBP=--m5。又因为N。—A/。=MW=2,所以一(—jm)=2,解得771=—\/B或□3 3 5771=代(舍去)，所以点此时点。的坐标为p/尸4方+4A(-v5<——-——)。Dr图1②如图2所示，当点口落在忑轴正半轴上时，过点。作。，NLr轴，垂足为N,延长ON交3。于点"。同理可得，39ND=PrDfcosZ.NDfPf=PDcos/PJ3P'='（二5V3J4MDf=BDfsinADBDf=BD^iAPBP1=—m5o因为NO/十A/。'=MW=2,所以f（I,m2- ±m=2,解得77i=通或oo3om=—西（舍去），所以点此时点F的坐标为马（焉，心4±4

图2③如图3所示，当点P，落在"轴上时，过点。/作。fl轴，交石。于点过点P作轴，交可。的延长线与点N,贝UZnzA/B=90°o因为所以LBDP=900=ND'MB,由旋转的性质得/BD'P=/BDP=90。,因此£NDT+乙RDM=90。,N0RD，+NRD，M=9O。，所以^ND'P'=ADBD',同上可得£DBD,=AND'P1=APBP'O因为APD—m2—-m,BD=m,所以349PfN=P。sin/NOP'=PDsinAPBPf=—（》5V3JBM=BDcos/DBD'=BDqos/LPBP1=*i5。因为PNJLy轴，BDly^,所以£BP'N=LP'BM=ABMN=90°,所以四边形是矩形，所以P'N=MW,即4/2 n4 3 QJJZQ 25—IX /二（三"』——，解彳守"i=丁或",=0（53 3 5 o舍去），所以点此时点。的坐标为马（芥白

X图X图3综上所述，。的坐标为（—满，"士）或3（何二产）或停当。题目来源：2016年河南省普通高中招生考试试卷:数学题目如图L在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是(4,0)，并且()A= =1()8，动点P在过A,B,C三点的抛物线上.(1)求抛物线的解析式；(2)是否存在点匕使得△.117是以AC为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在，说明理由；(3)过动点P作PE垂直于y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线.垂足为匕连接EF以线段EF段EF的中点G为心」以EF为直径作,当・(；最小时，求出点P的坐标.

答案解：⑴由*L0),可以知道o，i=],=OC=4OB,QA=OC=4,()B=1,1),8(7,0).设抛物线的解析式是…#+b工卜]f。一b+c=()人」\ 16〃+1b4-c=0jIc=4(a=-16=3,c=4则抛物线的解析式是:"=z,3『一(2)存在.第一种情况，如图1，当以C为直角顶点时，过点C作CRLC,交抛物线于点Pi.过点口作y轴的垂线,垂足是M.•/ZACA=90°，.\ZA/CPi+ZACO=901\£ACO+ZOAC=90":ZMCR=Z.OAC.OA=OC,「.△〃邛=£()AC=45°,.\ZMCPi=ZMPXC,：MC="Pl,设nni,in2+3〃1卜,则m=-m2+3m4-4-4/计算得出：=0（舍去），=2./. 7712+3771+1=6,即R26）.第二种情况，如图1,当点A为直角顶点时，过A作APi,AC交抛物线于点A,过点P1作y轴的垂线,垂足是N,AP交y轴于点F.:.PiN//x轴，由/LCAO=45,..zLOAP=45°,二/FBN=15,AO=OF.二RN=NFt图2n=（— +3n4-4）—1,计算得出：%=2,%=1（舍去），—n2+3〃+4=—6>则Pi的坐标是（2.6）.综上所述,P的坐标是（2.6）或（.2.-6）；⑶如图2连接0D,根据题意可以知道，四边形。FDE是矩形，贝！|（）D=EF.根据垂线段最短.可得当OOL11时QD最短,

即EF最短.由⑴可以知道，在直角4］。。中,OC=OA=1,则AC=VOC2+OA2= ，根据等腰三角形的性质,D是AC的中点.又.DF//OC,：.DF=:OC=2,/.点P的纵坐标是2.贝1J-『13.r41=2,计算得出:I=呼二当EF最短时周最小.点P的坐标是:3+vTz,2）或许旧3+vTz,2）或许旧，2)・题目已知，如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(-2.0)，点B坐标为(0.2)点E为线段AB上的动点(点E不与点A,B重合)，以E为顶点作NO£T=15，射线ET交线段0B于点F,C为y轴正半轴上一点，且AB，抛物线y=\/2x2+mx+n的图象经过A,C两点.⑴求此抛物线的函数表达式；⑵求证：£BEF=ZAOE；(3)当为等腰三角形时，求此时点E的坐标；⑷在⑶的条件下,当直线EF交x轴于点D,P为(1)中抛物线上一动点，直线PE交x轴于点G,在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P,使得△EPF的面积是面积的(2x/2+1)倍?若存在，请直接写出点P的坐标;若不存在，请说明理由..\AB2=OA.\AB2=OA2+OB1=22+22=8答案解:⑴如图⑴,\vl(-2.0)B(0.2).()A=OB=2f.\AB=2\/2,：()C=AB.。「=2五即C((h2x/2)又,/抛物线y=v2.rJ+mr+n的图象经过A、C两点则可得—4v^2—2m+n=0

n=2\/2

则可得计算得出m计算得出m=x/l[n—2V2二抛物线的表达式为?;=— +2\/2.⑵\()A=OB,ZAOB=90,：.ABA()=^ABO=45°又:^BE()=LBAO+N4OE=45°+乙4OE,NBEQ=NOEF+ABEF=45°+£BEF,：.ABEF=£A()E.(3)当△EOF为等腰三角形时，分三种情况讨论(1)当OE=OF时,NOFE=LOEF=45。在丛EOF中，

在4EOF中,AEFO=180°-4)EF-NEOF=180°—45°-，.-.ZAOF+^EFC)=900+90。=180°：.EF/!A(),.ZBEF=ABAO=450又：由(2)可以知道,£ABO=W.ZBEF=LABO,

，BF=EF,EO=EF』NAOE=4BEF「.△aOE=4BEF，,\BE=AO=2.ZEHB=!)Q°,

.XAOB=/EHB/.EH//AOt=ABAO=45°在Rt^BEH中’."EH=£ABO=1，：.EH=BH=BEcosl5Q：.EH=BH=BEcosl5Q=2x..OH=OB-BH=2-笈㈤2-v^)综上所述，当为等腰三角形时，所求E点坐标为E(-L1)或F(-v/2.2-%/2).(4)假设存在这样的点P.当直线EF与x轴有交点时，由(3)知，此时E(-a/2.2-V2).如图⑷所示，过点E作EH±y轴于点H,则OH=