实数知识点总结及练习题

第一章勾股定理姓名 座号班级一、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边C的平方，即a2+b2=C2二、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，C有关系a2+b2=C2，那么这个三角形是直角三角形。三、勾股数：满足a2+b2=C2的三个正整数，称为勾股数。常见的勾股数组有:（3，4，5）；（5，12，13）；（8，15，17）；（7，24，25）；（6，8，10）；（9,12,15）；（这些勾股数组的倍数仍是勾股数）第二章实数一、实数的概念及分类1、实数的分类整数!自然数（0,1,2,3…）整数1负整数（―1,—2,-3…）（整数、有限小数、无限循环小数（整数、有限小数、无限循环小数）分数（小数乂 232负分数（-1,-2…）无理数正有理数

负有理数（无理数正有理数

负有理数（无限不循环小数）2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类:（1）开方开不尽的数，如w7,3'2等；兀…（2）有特定意义的数，如圆周率n或化简后含有n的数，如3+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等;二、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。表示方法：记作“工a”，读作根号a。性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。2、平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。表示方法：正数a的平方根记做“土,a””，读作“正、负根号a”。性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。a\：a>0注意•品的双重非负性：Y、-a>03、立方根一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a那么这个数x就叫做a的立方根（或三次方根）。表示方法：记作蓝性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。注意：3.=a=-/，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。三、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数：a+b=0，a=-b，2、绝对值：若|a|=a，则a20；若|a|=-a，则a<0o3、倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=14、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。四、实数大小的比较1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。2、实数大小比较的常用方法（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。（2）求差比较：设a、b是实数，a-b>00a>b, a-b=00a=b,a-b<0oa<b五、算术平方根有关计算（二次根式）1、含有二次根号“ "；被开方数a必须是非负数。2、性质：(1)(%a)2=a(a>0)a(a>0)Va2=1al= Y,J-a(a<0)abb=%，a•jb(a>0,b>0)(va•\b=abb(a>0,b>0))：；=^(a>0,b>0) (记==(a>0,b>0))\bbb bbbb六、实数的运算（1）六种运算：加、减、乘、除、乘方、开方（2）实数的运算顺序先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。（3）运算律加法交换律 a+b=b+a加法结合律 （a+b）+c=a+（b+c）乘法交换律 ab=ba乘法结合律 （ab）c=a（bc）乘法对加法的分配律a（b+c）=ab+ac练习题一、填空题：.下列各数：①3.141、②0.33333……、③西-百、④n、⑤土、・石、⑥—3、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）中，其中是有理数的有；是无理数的有 。（填序号）

TOC\o"1-5"\h\z.4的平方根是 ；0.216的立方根是 。9.算术平方根等于它本身的数是 ；立方根等于它本身的数是 。.比较大小：①一v10-3.2； ②31305。.一个正方体的体积变为原来的27倍，则它的棱长变为原来的 倍。.有理数和无理数统称;数轴上的点与一一对应。.①当x时，式子<!工3有意义；②满足-n<x<v5的整数x是 。.化简：|3一九|=；<2_1.4=。.<5-3的相反数是 ，绝对值是 ，倒数是 。.若（。+2）2+而=3=0,则3a=；若10x2=2.5,那么未知数x的值是.二、选择题：.196的算术平方根是（）A.14 B.16 C.±14 D.不14.无理数是（）A.无限循环小数B.带根号的数C.除有限小数以外的所有实数D.除有理数以外的所有实数.-3-64的平方根是（）A.2 B.±2 C.±4 D.不存在.在下列各式中，正确的是（） A..式±2）2=±2 B.3：-0.064=-0.4 C.3；（-2）3=2 D.（-..2）2+（3-;2）3=0.x是（-%9）2的平方根，y是64的立方根，则x+y的值为（）A.3 B.7 C.3,7 D.1,7.当、：a=-a时，实数a在数轴上的对应点在（）A.原点右侧B.原点左侧C.原点或原点右侧D.原点或原点左侧.计算%；45-1<20+5l所得的和结果是（）255A.0 B.--v'5 C.温5 D.3V5TOC\o"1-5"\h\z,..,, ■1 1 3；（—2）3=2C77~ “8.下列等式中：①，， =-②，" ） ③，。-4）2二±4④，''10-6=0.001⑤，16 8.27 33'--=--?⑥，3-8=-3用⑦，（一•v5）2=25中正确的有（）个。664 4A,2B,3A,2B,3C,4D.5八年级数学上册《第2章实数》2016年单元测试卷一、选择题1.下面四个实数，你认为是无理数的是（）A. B..沔 C.3 D.0.3.下列四个数中，是负数的是（ ）A. |-2| B.（-2）2 C.- •月 D.:1-2）2.设边长为3的正方形的对角线长为a.下列关于a的四种说法：①a是无理数；②a可以用数轴上的一个点来表示；③3<a<4；④a是18的算术平方根.其中，所有正确说法的序号是（）TOC\o"1-5"\h\zA.①④ B.②③ C.①②④ D.①③④4.实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|>|b|,则化简•.二F-值+bl的结果为（ ）A.2a+b B.-2a+b C.b D.2a-b5.k、m、n为三整数，若VT3E=k..,正，-：国=15下,，:三比二617，则下列有关于k、m、n的大小关系，何者正确？（ ）A.k<m=n B.m=n<k C.m<n<k D.m<k<n.下列说法：①5是25的算术平方根；②-/是的一个平方根；③（-4）2的平方根是-4；④立方根和算术平方根都等于自身的数是0和1.TOC\o"1-5"\h\z其中正确的个数有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个.下列计算正确的是（ ）A. -4）=-3x-4 B.：铲-3上二4?--32c.*二4 D.及二正

8.如图，下列各数中，数轴上点A表示的可能是（ ）■IIIIi"glIK_-7-I0123A.4的算术平方根 B.4的立方根C.8的算术平方根D.8的立方根9.下列各式正确的是（ ）A.:£?+3之=2+3 B.3•.巧+5•.年=（3+5）•:承C..-152-12之二.：15+12*.15-12D..规定用符号［m］表示一个实数m的整数部分，例如：（］=0,［3.14］=3.按此规定［■；■+1］的值为（ ）A.3 BA.3 B.4C.5D.6二、填空题.-•月的相反数是一..16的算术平方根是—..写出一个比-3大的无理数是—..化简,---/1==..比较大小：2・。n（填“>〃、"<〃或”二〃）..已知一个正数的平方根是3x-2和5x+6,则这个数是.若x,y为实数，且|x+2|+ =0,则（x+y）2014的值为18．-18．-已知m=/2014-1，贝Um2-2m-2013=三、解答题(共66分).(2012-n)。-(a)-1+|;三-2|+4三(2)1+(-£)-1-：(巧-工)2-J石)0..先化简，再求值：(1)(a-2b)(a+2b)+ab3：(-ab),其中a=；£,b=/E；(2)(2x+3)(2x-3)-4x(x-1)+(x-2)2,其中x=--/2.

.有这样一个问题：•月与下列哪些数相乘，结果是有理数？A、3GB、”」；C、•巧+•昆D、得；E、0,问题的答案是(只需填字母)：—；(2)如果一个数与•门相乘的结果是有理数，则这个数的一般形式是什么(用代数式表示)..计算:(1)/32+'.-50+-1",''4E-'/1E；⑵2年一手卷(3)(五一4.：,上二：?)：21£.甲同学用如图方法作出C点，表示数•:正，在4OAB中，NOAB=90°,OA=2,AB=3,且点O,A,C在同一数轴上，OB=OC(1)请说明甲同学这样做的理由；(2)仿照甲同学的做法，在如图所给数轴上描出表示-•；茨的点A. zb…-6-5-4-3-2-10123C456IIIIIIIIIIIII>七-S-4-W -1012____4__524.如果正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1,则每个小格的顶点叫做格点.(1)如图①，以格点为顶点的4ABC中，请判断AB,BC,AC三边的长度是有理数还是无理数?(2)在图②中，以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长分别为3(2)在图②中，（一）= 2 3~1(三)英（一）= 2 3~1(三)英+1W3+1的产-12 -1)；3+1 = =•/三-1.以上这种化简的方法叫25.阅读下列材料，然后解答下列问题:在进行代数式化简时，我们有时会碰上女其这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简:工旦旦二■-/3 32 2'乂电-M ♦福-1)口~=C.-3+l)(./3-l)=(./-广:"1；分母有理化.（1）请用不同的方法化简正:巧:①参照（二）式化简如建二一•②参照（三）式化简如建二一•⑵化简：—+^3+^K+^W^北师大新版八年级数学上册《第2章实数》2016年单元测试卷参考答案与试题解析一、选择题.下面四个实数，你认为是无理数的是（）A.-j- B./ C.3 D.0.3【考点】无理数.【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数.由此即可判定选择项.【解答】解：1>3、0.3是有理数，•山是无理数，故选：B.【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：n,2n等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数..下列四个数中，是负数的是（ ）A.|-2| B.C-2）2 C.-•丘 D.•（-2）2【考点】实数的运算；正数和负数.【分析】根据绝对值的性质，有理数的乘方的定义，算术平方根对各选项分析判断后利用排除法求解.【解答】解：A、|-2|=2,是正数，故本选项错误；B、（-2）2=4,是正数，故本选项错误；C、-•日<0,是负数，故本选项正确；D、Y-2）2="=2,是正数，故本选项错误.故选C.【点评】本题考查了实数的运用，主要利用了绝对值的性质，有理数的乘方，以及算术平方根的定义，先化简是判断正、负数的关键..设边长为3的正方形的对角线长为a.下列关于a的四种说法：①a是无理数；②a可以用数轴上的一个点来表示；③3<a<4；④a是18的算术平方根.其中，所有正确说法的序号是（）A.①④ B.②③ C.①②④ D.①③④【考点】估算无理数的大小；算术平方根；无理数；实数与数轴；正方形的性质.【分析】先利用勾股定理求出a=3。£再根据无理数的定义判断①；根据实数与数轴的关系判断②；利用估算无理数大小的方法判断③；利用算术平方根的定义判断④.【解答】解：•・•边长为3的正方形的对角线长为a,.■=展+3m=3.：2.①a=3•只是无理数，说法正确；②a可以用数轴上的一个点来表示，说法正确；③・/16<18<25,4<\「啜<5,即4<a<5,说法错误；④a是18的算术平方根，说法正确.所以说法正确的有①②④.故选C.【点评】本题主要考查了勾股定理，实数中无理数的概念，算术平方根的概念，实数与数轴的关系，估算无理数大小，有一定的综合性.TOC\o"1-5"\h\z4.实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|>|b|,则化简g+b|的结果为（ ）—• > > >a 。力A.2a+b B.-2a+b C.b D.2a-b【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴.【分析】现根据数轴可知a<0,b>0,而|a|>|b|,那么可知a+b<0,再结合二次根式的性质、绝对值的计算进行化简计算即可.【解答】解：根据数轴可知，a<0,b>0,原式=-a-[-（a+b）]=-a+a+b=b.故选C.【点评】本题考查了二次根式的化简和性质、实数与数轴，解题的关键是注意开方结果是非负数、以及绝对值结果的非负性..k、m、n为三整数，若•■二森=仁；,,■:西二15;：,•:宜=6兀，则下列有关于k、m、n的大小关系，何者正确？（ ）

k<m=nm=nk<m=nm=n<km<n<km<k<n【考点】二次根式的性质与化简.【分析】根据二次根式的化简公式得到k,m及n的值，即可作出判断.【解答】解：［Tse=3二五，•;国=15•:弓•:Tse=6。无，可得：k=3,m=2,n=5,则m<k<n.故选：D【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键..下列说法：①5是25的算术平方根；②-/是有的一个平方根；③（-4）2的平方根是-4；④立方根和算术平方根都等于自身的数是0和1.其中正确的个数有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【考点】立方根；平方根；算术平方根.【分析】根据平方根、算术平方根以及立方根逐一分析4条结论的正误，由此即可得出结论.【解答】解：①•.•52=25,•・5是25的算术平方根，①正确；②•••e产专，,*是II的一个平方根，②正确；③・.・（±4）2=（-4）2,•・（-4）2的平方根是±4,③错误；^④02=03=0,12=13=1,•・立方根和算术平方根都等于自身的数是0和1,正确.故选C.【点评】本题考查了方根、算术平方根以及立方根，解题的关键是根据算术平方根与平方根的定义找出它们的区别..下列计算正确的是( )A./(-3)(-4)=..-jx. B.：铲-3上=4?-.・铲C.*=•河 D.斐=巧【考点】二次根式的混合运算.【分析】根据二次根式的性质对各个选项进行计算，判断即可.【解答】解：/(-3)(-4)='/^x'..■!，A错误；二；(4+3)(4-3),B错误；£是最简二次根式，C错误；-：='=,E，D正确，故选：D.【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质是解题的关键..如图，下列各数中，数轴上点A表示的可能是( )-3-7-t0123A.4的算术平方根 B.4的立方根C.8的算术平方根 D.8的立方根【考点】估算无理数的大小.【分析】先根据数轴判断A的范围，再根据下列选项分别求得其具体值，选取最符合题意的值即可.【解答】解：根据数轴可知点A的位置在2和3之间，且靠近3,而11=2,3%<2,2<二反=2-；-2<3,3W=2,只有8的算术平方根符合题意.故选C.

【点评】此题主要考查了利用数轴确定无理数的大小，解题需掌握二次根式的基本运算技能，灵活应用.“夹逼法〃是估算的一般方法，也是常用方法..下列各式正确的是（ ）A.：旌+3之=2+3 B.3-.巧+5-1=（3+5）：承C.•.；L5?-12JU5+12*.15-12 D.【考点】二次根式的性质与化简.【分析】根据二次根式的运算性质化简.【解答】解：A、原式=；三，错误；B、被开方数不同，不能合并，错误；C、运用了平方差公式，正确;D、错误.D、错误.故选C【点评】本题考查了二次根式的化简，注意要化简成最简二次根式..规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：（]=0,[3.14]=3.按此规定r/^+l]的值为（ ）A.3 B.4 C.5 D.6【考点】估算无理数的大小.【分析】先求出■:宜+1的范围，再根据范围求出即可.【解答】解：•.FvT^g,，4<丁宜+1<5,，[\：1C+1]=4,故选B.【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，关键是求出V五+1的范围.二、填空题.-二的相反数是—；口.【考点】实数的性质.【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案.【解答】解：-的相反数是■;¥,故答案为：•;£.【点评】本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数..16的算术平方根是_J_.【考点】算术平方根.【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果.【解答】解：•・•42=16,，1C=4.故答案为：4．【点评】此题主要考查了算术平方根的定义.一个正数的算术平方根就是其正的平方根..写出一个比-3大的无理数是如一3等（答案不唯一）.【考点】实数大小比较.【分析】根据这个数即要比-3大又是无理数，解答出即可.【解答】解：由题意可得，-•月＞-3,并且-•.巧是无理数.故答案为：如一:2等（答案不唯一）【点评】本题考查了实数大小的比较及无理数的定义，任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小..化简・；？-•；Ie=-三.【考点】二次根式的加减法.【分析】本题考查了二次根式的加减运算，应先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.【解答】解：原式=2/7-3・北一・丘.【点评】二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变..比较大小:2•月<n（填“>〃、"<〃或"=〃）.【考点】实数大小比较.【分析】首先利用计算器分别求2二：三和n的近似值，然后利用近似值即可比较求解.【解答】解：因为2,/工处2.828,B3.414,所以为？〈九【点评】本题主要考查了实数的大小的比较，主要采用了求近似值来比较两个无理数的大小..已知一个正数的平方根是3x-2和5x+6,则这个数是二【考点】平方根.【分析】由于一个非负数的平方根有2个，它们互为相反数.依此列出方程求解即可.【解答】解：根据题意可知：3x-2+5x+6=0,解得x=-1,所以3x-2=-，,5x+6=\",.・.(±|)臂故答案为：与.【点评】本题主要考查了平方根的逆运算，平时注意训练逆向思维..若x,y为实数，且|x+2|+ =0,则（x+y）2014的值为1.【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值.【分析】先根据非负数的性质列出关于x、y方程组，然后解方程组求出x、y的值，再代入原式求解即可.

【解答】解：由题意，得:'x+2-O.y-【解答】解：由题意，得:'x+2-O.y-3=0解得・・.（x+y）2014=（_2+3）2014=1；故答案为1.【点评】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零.18.已知18.已知贝Um2-2m-2013=0【考点】二次根式的化简求值.【分析】先分母有理化，再将m2-2m-2013变形为（m-1）2-2014,再代入计算即可求解.2013 , 【解答】解：m=加4_广V2014+1，则m2-2m-20130=(m-1)2-2014=(/2014+1-1)2-2014=2014-2014=0.故答案为：0.【点评】此题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，完全平方公式，二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值.三、解答题（共66分）.（2012-n）。-（^）-1+l;三-2|+Y三（2）1+（-^）-1-： -?），：（/三）0.【考点】二次根式的混合运算；零指数幕；负整数指数幕.【分析】（1）根据零指数幕和负整数指数幕的意义计算；(2)根据零指数幕、负整数指数幕和二次根式的意义计算.【解答】解：(1)原式=1-3+2-正+正二0；(2)原式=1-2-(2-丁E)：1=1-2-2+\：工f3-3.【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可..先化简，再求值：(1)(a-2b)(a+2b)+ab3：(-ab),其中a=/2，b='/E;(2)(2x+3)(2x-3)-4x(x-1)+(x-2)2,其中x=--；?.【考点】整式的混合运算一化简求值.【分析】(1)先算乘法和除法，再合并同类项，最后代入求出即可；(2)先算乘法和除法，再合并同类项，最后代入求出即可.【解答】解：(1)(a-2b)(a+2b)+ab3：(-ab)=a2-4b2-b2=a2-5b2,当a=/2,b='/E时，原式二(:.,'£)2-5X(二：'W)2=-13；(2)(2x+3)(2x-3)-4x(x-1)+(x-2)2,=4x2-9-4x2+4x+x2-4x+4=x2-5,当x=,E时，原式二-2.【点评】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键..有这样一个问题：•.巧与下列哪些数相乘，结果是有理数？A、"&B、”.£C、•匹+二三D、卷；E、0,问题的答案是（只需填字母）：_A、D、E；（2）如果一个数与•月相乘的结果是有理数，则这个数的一般形式是什么（用代数式表示）.【考点】实数的运算.【分析】（1）根据实数的乘法法则和有理数、无理数的定义即可求解；（2）根据（1）的结果可以得到规律.【解答】解：（1）A、D、E；注：每填对一个得，每填错一个扣，但本小题总分最少0分.（2）设这个数为x,则x石=a（a为有理数），所以x=一方（a为有理数）.（注：无“a为有理数〃扣；写x=巧a视同x=-=）【点评】此题主要考查了实数的运算，也考查了有理数、无理数的定义，文字阅读比较多，解题时要注意审题，正确理解题意..计算:（3）（1£-4;■^■+3，；£）：2,；£.【考点】二次根式的混合运算.【分析】（1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可;（2）根据二次根式的乘除法则运算；（3）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算.【解答】解：（1）原式=4"¥+5/¥+・；¥-3・匹=6'2+\;E;（2原式=2X1X*X二亚；(3)原式=(..^-2-./三+6」三)：2\巧二(,:E+4，；工)・2三工咛+2-【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可..甲同学用如图方法作出C点，表示数在4OAB中，NOAB=90°,OA=2,AB=3,且点O,A,C在同一数轴上，OB=OC(1)请说明甲同学这样做的理由；(2)仿照甲同学的做法，在如图所给数轴上描出表示-•；茨的点A. zb「-6-:5-4:3~-1O123