六年级奥数行程走停、变速问题ABC级学生版

“知识框架专心温和变速变道问题属于行程中的综合题，用到了比例、分步、分段处理等多种处理问题等解题方法。对于这种分段变速问题，利用算术方法、折线图法和方程方法解题各有特点。算术方法对于运动过程的把握非常细致，但必须一步一步来；折线图则显得非常直观，每一次相遇点的位置也易于确定；方程的优点在于无需考虑得非常仔细，只需要知道变速点就可以列出等量关系式，把大量的推理过程转化成了计算.行程问题常用的解题方法有⑴公式法即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件；(2)图示法在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具.示意图包括线段图和折线图.图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点.另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法；(3)比例法行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值.更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题；⑷分段法在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用.这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来；⑸方程法在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解.MSDC模块化分级讲义体系 六年级奥数行程.走停与变速问题(ABC级).学生版 Page1of21

咨询电话：400-810-2680重难点咨询电话：400-810-2680重难点学会画线段图解决行程中的走停问题能够运用等式或比例解决较难的行程题能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题。例题精讲例题精讲一、走停问题【例1】一辆汽车原计划6小时从A城到B城。汽车行驶了一半路程后，因故在途中停留了30分钟。如果按照原定的时间到达B城，汽车在后一半路程的速度就应该提高12千米/时，那么A、B两城相距多少千米？]3汽车行驶了一半路程即行驶了3小时，那么他后一半路程行驶了2.5小时，2.5小时比原来2.5小时多行驶2.5x12=30千米.则原来的速度为3旧（325）=60（千米）.那么A、B两地相距60x6=360（千米）【巩固】一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行750米，预计50分钟到达.但汽车行驶到路程的3/5时，出了故障，用5分钟修理完毕，如果仍需在预定时间内到达乙地，汽车行驶余下的路程时，每分钟必须比原来快多少米？当以原速行驶到全程的好时，总时间也用了济，所以还剩下50刈1-妙卜20分钟的路程；修理完毕时还剩下20-S二15分钟，在剩下的这段路程上，预计时间与实际时间之比为20:15=4:3,彳9柞路程一定，速度比等于时间的反比，实际的速度与预定的速度之比也为4:3,因此每分钟应比原来快750x45-750=250米.【例2】甲每分钟走80千米，乙每分钟走60千米.两人在A,B两地同时出发相向而行在E相遇，如果甲在途中休息7分钟，则两人在F地相遇，已知为C为AB中点，而EC=FC,那么AB两地相距多少千米？MSDC模块化分级讲义体系r六年级奥数行程.走停与变速问题（ABCMSDC模块化分级讲义体系r六年级奥数行程.走停与变速问题（ABC级）.学生版Page2of21咨询电话：400-810-2680咨询电话：400-810-2680【题型】埴空［考点］【题型】埴空【解析】由速度比甲：乙二4:3 AE:BE=4:3即假设AE为4份，则BE为3份.因为C为中点，且EUFC胃ITOC\o"1-5"\h\z所以AF=3份.在速度比不变的情况下，同样的时间甲走3份路程，乙应该走3K二二2■—份路程.那4 41 7么，在甲休息时，乙多走的7分钟路程就相当于4份-2—份二一份.AB总距离为：（60x7）4 474-x7=1680千米4【巩固】一辆大轿车与一辆小轿车都从甲地驶往乙地，大轿车的速度是小轿车速度的0.8倍.已知大轿车比小轿车早出发17分钟，它在两地中点停了5分钟后，才继续驶往乙地；而小轿车出发后中途没有停，直接驶往乙地，最后小轿车却比大轿车早4分钟到达乙地.又知大轿车是上午10时从甲地出发.求小轿车追上大轿车的时间.I小轿车晚于大轿车从甲地出发，先于大轿车到达乙地，说明两军一定在中间某时间相遇.如图13-4,A（甲地）与B（乙地｝中点记为匚则相遇地点可能在At之间，可能在C点，也可能在CB之间.另一方面，大轿车先出发17分钟，晚到4.分钟，中间又停了5分钟，一共比小轿车多走16分，而大轿车的速度是小轿车的0.8倍.从这里可以求出从A到B大、小轿车在不停的情况下各需要多少时间，再根据三种情况按顺序判断相遇地点在哪里.大轿车的速度是小轿车的0.8倍，可以知道大轿车不停顿地从A到B所用的时间是小轿车的L25隹；而由分析得出小轿车比大轿车少用16分钟，用差倍问题可以得出走完全程小耕车需要用时：16ML.25-1）=64分钟.大轿车用时：64x1.”二宫。分钟，大轿车从A到C用时8。:2二40分钟，在C停留5分钟，离开C时1CI时45分.而小轿车在10时17分出发：经过54=2=32分钟到达C,即1。时49分到达C.也就是说,小轿车在C时，与大轿车相差大轿车4分钟行驶的路程.而用一方面，小轿车10时17+64分，即11时21分到达B,此时大轿车距小轿车相差也是大轿车4分钟的行驶的路程，只不过这一次小轿车在前面.小轿车由在大轿车后面大轿车4分钟的路程，变为大轿车前距大轿车4分钟繇程，易知小轿车一定在这两个时.刻的中点与大轿车相遇，即10点49分与11时”分的中点相遇.即11时5分小轿车追上大轿车.【例3】甲、乙两人分别从相距35.8千米的两地出发，相向而行.甲每小时行4千米，但每行30分钟就休息5分钟；乙每小时行12千米，则经过小时分的时候两人相遇.MSDC模块化分级讲义体系 六年级奥数行程.MSDC模块化分级讲义体系 六年级奥数行程.走停与变速问题（ABC级）.学生版 Page3of21咨询电话：400-810-2680咨询电话：400-810-2680经过2小时15分钟的时候，甲实际行了2小时，行了4x23千米，乙则行了12乂2工=27千4米，两人还相距35.8-27-8=0.8千米，此时甲开始休息，乙再行0.8X2x60二4分钟就能与甲相遇.所以经过2小时19分的时候两人相遇.【巩固】甲乙两人同时从A地出发，以相同的速度向B地前进。甲每行5分钟休息2分钟；乙每行210米休息3分钟。甲出发后50分钟到达B地，乙到达B地比甲迟了10分钟。已知两人最后一次的休息地点相距70米，两人的速度是每分钟行多少米？50【例4】甲乙二人从A、B两地同时出发相向而行，甲每分钟行80米，乙每分钟行60米.出发一段时间后，二人在距离中点120米处相遇.如果甲出发后在途中某地停留了一会儿，二人还将在距中点120米处相遇.问：甲在途中停留了多少分钟？第一次，甲叱乙多走的路程*挖=120乂,2=240米，根据公式S拒={% ,可知两人的相遇时间为240+8）=60）=12min,两地相距（80+60）乂12=1680米；两次相遇地点关于中点时称，则可知,乙第二次比第一次多走的路程也是S爰=120x2=240米，所以乙比第一次多用了24。+60=4分钟；甲第二次比第一次少走的路程也是24。米，甲比第一次少用了24口二.80=3分钟，所以甲在途中停留了4+3=7分钟.【巩固】甲、乙两人同时从A、B两点出发，甲每分钟行80米，乙每分钟行60米，出发一段时间后，两人在距中点的C处相遇；如果甲出发后在途中某地停留了7分钟，两人将在距中点的D处相遇，且中点距C、D距离相等，问A、B两点相距多少米？甲，乙两人速度比为80:60=4:3,相遇的时候时间相等，路程比等于速度之比，相遇时甲走了全程的％,乙走了全程的犯，第二次甲停留：乙没有停留，且前后两次相遇地点距离中点相等，所以第二次乙行了全程的也，甲行了全程的初.由于甲、乙速度比为4:3,根据时间一定，路程77M能比等于速度之比，所以甲行走期间乙走了，所以甲停留期间乙行了V?-Qx利二1A，所以A,B两点的距高为60距手照=168。［米）.【例5】某公共汽车线路中间有10个站。车有快车及慢车两种，快车车速是慢车车速的1.2倍。慢车每站都停，快车则只停靠中间1个站，每站停留时间都是3分。当某次慢车发出40分后，快车从同一始发站开出，两车恰好同时到达终点。问：快车从起点到终点共用多少时间？MSDC模块化分级讲义体系 六年级奥数行程.走停与变速问题MSDC模块化分级讲义体系 六年级奥数行程.走停与变速问题（ABC级）.学生版Page4of2168分.慢车比快车多停9个站，即多停”分，所以慢车比快车行驶的时间多40-27=13（分），因为快车速度是慢车的：L2倍，所以快车追上慢车多行1，分的路程需要1曲（121）=65（分）.再加上快车停车的3分，快车从起点到终点共用G5+3=68（分入【巩固】甲、乙两地铁路线长1000公里，列车从甲行驶到乙的途中停6站（不包括甲、乙）在每站停车5分钟，不计在甲乙两站的停车时间，行驶全程共用11.5小时。火车提速10%后，如果停靠车站及停车时间不变，行驶全程共用多少小时？6站,共停5x6=30./中二口.5小时,原来速度为1000。口150⑸=U配千米/小时11现在速度为呼”x（1+1。%）=100千米/小时11' ,行驶全程需要1000-100=10小时加上停止的0.5小时，行驶全程共用10.5小时【例6】龟兔赛跑，全程6千米，兔子每小时跑15千米，乌龟每小时跑3千米，乌龟不停的跑，但兔子边跑边玩，它先跑1分钟后玩20分钟，又跑2分钟后玩20分钟，再跑3分钟后玩20分钟……问它们谁胜利了？胜利者到终点时，另一个距离终点还有多远？乌龟不停的跑，所以乌龟的完全程需要6-3=2（小时），即120分钟,由于兔子边昭边玩，120=20x5+0+2+3+4+5）+5,也就是兔子一共跑了1+2+3+4+5+5=2口（分钟），跑了20.60x115=5（千米卜即乌龟到达终点时，兔子刚刚跑了5千米,所以乌龟胜利了，领先兔子6-5=1（千米）-工肥【巩固】龟兔赛跑，全程5.2千米，兔子每小时跑20千米，乌龟每小时跑3千米.乌龟不停地跑；但兔子却边跑边玩，它先跑了1分钟然后玩15分钟，又跑2分钟然后玩15分钟，再跑3分钟然后玩15分钟，.……那么先到达终点的比后到达终点的快多少分钟？MSDC模块化分级讲义体系 六年级奥数行程.走停与变速问题（ABC级）.学生版 Page5of21

E析】乌龟到达终点所需时间为5.203x60=104分钟.兔子如果不休息，则需要时间5.2子20x50=15.6分钟.而兔子休息的规律是造L3京…分钟后，休息1S分钟.因为15.6=1+2+3+4+540.6,所以兔子休息了5x15=75分钟，即兔子跑到终点所需时间为15,6+75=90,6分钟.显然，兔子先到达，先乌龟1。4-9。6=13.4分钟达到终点，二、变速问题【例1】甲、乙二人在同一条圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的2.甲跑3第二圈的速度比第一圈提高了1,乙跑第二圈的速度提高了1，已知沿跑道看从甲、乙两人第TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"3 5二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是190米，问这条跑道长多少米？1 1 -3】从起跑由于跑第一圈时、乙的速度是甲的速度的二，所以第一次相遇的地方在距起点土（或者三）3 5 5处.由于甲的速度比乙快：所以甲先昭完第一圈，甲跑完第一圈时，乙跑了之圈，此时乙距出发点还有L圈，才酎&题意，此时甲要回头加速胞，即此时甲与乙方向相同，速度为乙的+3=23 I”.3倍.所以乙胞完剩下的！圈时甲又跑了2圈，此时甲距出发点还有1圈，而乙又要回头跑，所以3 3 3此时两人相向而行，速度比为1此时两人相向而行，速度比为1+巳I3J:3,所以两人第二次相遇点距离出发点ix—=-,两次相遇点间隔凸+4=三1,注意到］_£!=!!<2，所以最短距离为上图，所35+38 5K40 404Q4ft 40以跑道长19。三巴=400米.40【巩固】甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去.相遇后甲比原来速度增加4米/秒，乙比原来速度减少4米/秒，结果都用25秒同时回到原地.求甲原来MSDC模块化分级讲义体系 六年级奥数行程MSDC模块化分级讲义体系 六年级奥数行程.走停与变速问题（ABC级）.学生版 Page6of21咨询电话：咨询电话：400-810-2680的速度.I因为相遇前后甲，乙的速度和没有改变，如果相遇后两人合跑一圈用25秒,则相遇前两人合跑一圈也用2s秒.（法1）甲以原速％造了25秒的路程与以（％+4）的速度跑了25秒的路程之和等于400米,25%4-25（Vn+4）=400,解得4=6米■/秒.（法2）由跑同样一段路程所用的时间一样，得到4+4=吟，即二者速度差为4；而二者速度和为/+呢=翳=16，这是个典型的和羞问墓可得。为：”-4户之=丘米/秒，【例7】一辆大货车与一辆小轿车同时从甲地开往乙地，小轿车到达乙地后立即返回，返回时速度提高50%。出发2小时后，小轿车与大货车第一次相遇，当大货车到达乙地时，小轿车刚好走到甲、乙两地的中点。小轿车在甲、乙两地往返一次需要多少时间？I此题的关键是分析清楚题目中所提到的小轿车返回时速度提高5口%所带来的变化，所以可以先假设小轿车返回时速度不发生变化会是什么样，然后再进行对比分析.如果小轿车返回时速度不提高：那么大货车到达乙地时、小轿车又走了甲，乙两地距离的上士（1+50%）=1,所以，从甲地2 3到乙地小轿车与大货车的速度比为：（1+》：1=4:3,小轿车到达乙地时，大货车走了全程的;，还差L.小轿车从乙地返回甲地时.与大货车的速度比为4xu+50:3—2:1,小轿车从乙地返4回到与大货车相遇时，大货车又走了全程的_Lx—L=_L,即相遇时大货车共走了全程的41+2I2q 1 5 弓17 IOqu士+-L=2,那么大货车从甲地到乙地需要2+2=上小时，小轿车从甲地到乙地需要上父m=，卜TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"4126 65 5459 9时，小轿车往返一次需要---+口+50%）=3小时.55\o"CurrentDocument"1 2【巩固】甲、乙两地间平路占1，由甲地去往乙地，上山路千米数是下山路千米数怔，一辆汽车从甲地5 3到乙地共行了10小时，已知这辆车行上山路的速度比平路慢20%，行下山路的速度比平路快20%，照这样计算，汽车从乙地回到甲地要行多长时间？MSDC模块化分级讲义体系 六年级奥数行程.走停与变速问题（ABC级）.学生版 Page7of21

咨询电话：400-810-2680咨询电话：400-810-2680】根据题意，可以把甲、乙两地之间的距离看作25,这样两地间的平路为5：从甲地去往乙地，上山路为2皿*.^—=3,下山路为2l）x/一=1”再假设这辆车在平路■上的速度为5;则上山时的2+3速度为4,下山时的速度为6,于是，由甲地去乙地所用的总时间为；8-4+5-5+12-6=5：从乙地回到甲地时，汽车上山、下山的速度不变，但是原来的上山路变成了此时的下山路，原来的下山路变成了此时的上山路，所以回来时所用的总时间为：I之=4+5+5+46=5-.由于从甲3地到乙地共行了io小时，所以从乙地回来时需要io-qx/=ii）2小时.3 3【例8】某校在400米环形跑道上进行1万米比赛，甲、乙两名运动员同时起跑后，乙的速度始终保持不变，开始时甲比乙慢，在第15分钟时甲加快速度，并保持这个速度不变，在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙。在第23分钟时甲再次追上乙，而在23分50秒时甲到达终点。那么，乙跑完全程所用的时间是多少分钟?I本题中乙的逵度始终保持不变，甲则有提速的情况，但是甲提速后速度就保持不变，所以可以从甲提速后的情况着手进行考虑.根据题意可知，甲加速后，每过23-]8=5（分钟）比乙多跑一圈，即每分钟比乙多第400-5=8。（采工由于第18分钟时甲、乙处于同一位置，则在”分50秒时甲到达终点时，乙距终点的距离就是此时甲，乙之间的距离，即乙距离终点还有（50KOX（50KOX23 ]HI6（）14003（米，即乙在23分5。秒内造了（1。0口口一^^I3米，由于乙的速度始终保持不变，所以乙每分钟跑14001O0OO 3-23—=400（米）.所以，乙跑,完全程需要IQOOQ_400=持不变，所以乙每分钟跑14001O0OO 3-23—=400（米）.所以，乙跑,完全程需要IQOOQ_400=25（分钟）,60【巩固】甲、乙两人在400米圆形跑道上进行10000米比赛.两人从起点同时同向出发，开始时甲的速度为每秒8米，乙的速度为每秒6米.当甲每次追上乙以后，甲的速度每秒减少2米，乙的速度每秒减少0.5米.这样下去，直到甲发现乙第一次从后面追上自己开始，两人都把自己的速度每秒增加0.5米，直到终点.那么领先者到达终点时，另一人距终点多少米?[解析】对于这道题只能详细的分析逐步推算，以获得解答.先求出当第一次甲追上乙时的详细情况，因为甲乙同向，所以为追击问题.甲、乙速度差为£4=2米/秒，当甲第一次追上乙时，甲应比乙多跑了一圈400米：即甲跑了400+2x8=1600米，乙跑了4032*6=1200米.相遇后，甲的速度变为生2=6米/秒，乙的速度变为6as=5.5米/秒•显然，甲的速度大于乙,所以仍是甲超过乙.当甲第二次追上乙前，甲、乙速度差为655H.5米/秒，追上乙时，甲应在原基础上再比乙多胞一圈400米，于是甲又跑了400+0.5*6=4800米，乙又跑了400^0.5x5.5=4400米.MSDC模块化分级讲义体系六年级奥数行程.MSDC模块化分级讲义体系六年级奥数行程.走停与变速问题（ABC级）.学生版智阚刘厚勿百芝、咨询电话士…*甲第二次追上乙后，甲的速度变为6也=4米/秒，乙的速度变为5.5.0.5=S米/秒.显然，现在乙的速度大于甲，所以变为乙超过甲.当乙追上甲时，甲、乙速度差为5-4=1米/秒，乙追上甲时，乙应比甲多陶一国400米，于是甲又跑了400-1x4=1600米，乙又跑了400-1x5=2000米..这时甲的速度变为4+08=4.5米/秒，乙的速度变为5+0.5=55米/秒并以这样的速度跑完剩下的全程.在这过程中甲共跑了16。0+4800+15003000米：乙共跑了1200+44004-2000=7600甲还剩下10000-8000=2000米的路程，乙还剩下1。00。-7600=2400米的路程.显然乙先跑完全程，此时甲还剩下2皿。-4.5x生”=理=三6三米的路程.5,5 ]II]即当领先者到达终点时，另一人距终点369米.11评注：此题考察了我们的分析问题的能力，也考察了我们对追击这一基;M亍程问题的熟练程度.【例9】小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路.小芳上学走这两条路所用的时间一样多.已知下坡的速度是平路的1.6倍，那么上坡的速度是平路速度的多少倍？I设小芳上学路上所用时间为2,那么走一半平路所需时间是I.由于下坡路与一半平路的长度相同，根据路程一定，时间比等于速度的反比：走下坡路所需时间是l.L6=*,因此，走上坡路q n 2需要的时间是2-2=仁，那么，上坡速度与平路速度的比等于所用时间的反比，为]S S S所以，上坡速度是平路速度的2倍.I]【巩固】王老师每天早上晨练，他第一天跑步1000米，散步1600米，共用25分钟；第二天跑步2000米，散步800米，共用20分钟。假设王老师跑步的速度和散步的速度均保持不变。求：（1）王老师跑步的速度；⑵王老师散步800米所用的时间。I（1）第二天跑步2000米，散步80。米，共用20分钟，那么跑步4000米，散步1600米，共用4。分钟，又已知奥步1000米，收步1600米，共用25分钟，所以王老师跑步4000-1000=3000（^）s用时40-25=15（分钟），即王老师跑步的速度为前。0?15=200（米/分钟）⑵因为王老师跑步2000米，散步800米，共用时20分钟，所以王老师散步后00米，用时2000 ,、20 =加-1。=10（今）200【例10】甲、乙两人同时同地同向出发，沿环形跑道匀速跑步.如果出发时乙的速度是甲峰.5倍，当乙MSDC模块化分级讲义体系 六年级奥数行程.走停与变速问题（ABC级）.学生版 Page9of21第一次追上甲时，甲的速度立即提高25%,而乙的速度立即减少20%,并且乙第一次追上甲的地点与第二次追上甲的地点相距100米，那么这条环形跑道的周长是 米.I如图，设跑道周长为1,出发时甲速为3则乙速为5.假设甲、乙从月点同时出发，按逆时针方向跑.由于出发时两者的速度比为2T，乙追上甲要比甲多跑1圈，所以此时甲跑了7(5-2"2=—,乙跑了二：此时双方速度发生变化，甲的速度变为2x(J+25初—2.3,乙的速3 3度变为5x(1-20%)=4,此时两者的速度比为2.5:4=5"；乙要再追上甲一次，又要比甲多跑1圈、则此次甲跑了1+招-5”5=》,这个岂就是甲从第一次相遇点跑到第二次相遇点的路程.从环彩跑道上来看，第一次相遇点跑到第二次相遇点之间的距离，既可能是三-1=±个周箕，又可能是2-士」个周巷.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"3 3T I那幺，这条环形跑道的周长可能为“川+-=150米或1U0+-=300米.3 3【巩固】如图所示，甲、乙两人从长为400米的圆形跑道的A点背向出发跑步。跑道右半部分(粗线部分)道路比较泥泞，所以两人的速度都将减慢，在正常的跑道上甲、乙速度均为每秋米，而在泥泞道路上两人的速度均为每秒4米。两人一直跑下去，问：他们第99次迎面相遇的地方距A点还有米。AMSDC模块化分级讲义体系 六年级奥数彳亍程.走停与变速问题(ABC级).学生版 Page10of21

咨询电话：400-810-2680咨询电话：400-810-2680】本题中，由于甲，乙两人在正常道路和泥泞道路上的速度都相同，可以发现，如果甲、乙各自跷着圆形硝道跑一圈，两人在正常道路和泥泞道路上所用的时间分别相同，那么两人所用的总时间也就相同，所以，两人同时出发，的一圈后同时回到丹点，即两人在丹点迎面相遇，然后再从a点出发背向而行，可以发现，两人的行程是周期性的，且以一圈为周期.在第一个周期内，两人同时出发背行而行，所以在回到出发点前肯定有一次迎面相遇，这是两人第一次迎面楣遇，然后回到出发点是第二次迎面相遇；然后再出发，又在同一个相遇点第三次相遇，再回到出发点是第因次相遇……可见奇数次相遇点都是途中相遇的地点，偶数次相遇点都是网点.本题要求的是第99次迎面相遇的地点与丹点的距高，实际上要求的是第一次相遇点与A点的距离.对于第一次相遇点的位置，需要分段进行考虑：由于在正常道路上的速度较快，所以甲从出发到跑完正常道路时，乙才跑了*4=10口来，此时两人相距100米，且之间全是泥泞道路，此时两人速度相同，所以再各跑5口米可以相遇.所以第一次相遇时乙硝了I皿+50=150米，这就是第一次相遇点与丹点的距高，也是第99次迎面相遇的地点与丹点的距离.【例11】丁丁和乐乐各拿了一辆玩具甲虫在400米跑道上进行比赛，丁丁的玩具甲虫每分钟跑30米，乐乐的玩具甲虫每分钟跑20米，但乐乐带了一个神秘遥控器，按第一次会使丁丁的玩具甲虫以原来速度的10%倒退1分钟，按第二次会使丁丁的玩具甲虫以原来速度的20%倒退1分钟，以此类推，按第N次，使丁丁的玩具甲虫以原来的速度的N10%倒退1分钟，然后再按原来的速度继续前进，如果乐乐在比赛中最后获胜，他最少按 次遥控器。I乐乐的玩具甲虫超完全程需爰400t20=20分钟，丁丁的妩具甲虫踮完全程需要4（K"30=—分3TOC\o"1-5"\h\z乐乐要想取胜，就必须使丁丁的玩具甲虫因例送所耽误的总时间超过20一色=上分钟.乐6 3 3乐第一次按遥控器后，丁丁耽误的时间为倒退的1分钟及跑完这1分钟倒退潞程所花费的时间，为I+10%X1=]一1分钟；乐乐第二次按遥控器后，丁丁就误的时间为1+之竹％■:<1=I上分钟；”….乐乐第打次按遥控器后，丁丁耽误的时间为I+祥MIQ%M】=】+。一5分钟，所以相当于要使。Q 2 一I.I+I.2+J.3+-'大于一=6- 、由于I+1 —1一+3 1+一为，而\o"CurrentDocument"3 3 3I+1 +1 .+2 ]+-升"所以乐乐要想取胜，至少要段6次遥控器.3【巩固】唐老鸭和米老鼠进行5000米赛跑.米老鼠的速度是每分钟125米，唐老鸭的速度是每分钟100米.唐老鸭有一种能使米老鼠停止或减速的遥控器，每次使用都能使米老鼠进入“麻痹〃状态1分钟，1分钟后米老鼠就会恢复正常，遥控器需要1分钟恢复能量才能再使用.米老鼠对"麻痹〃状态也在逐渐适应，第1次进入“麻痹〃状态时，米老鼠会完全停止，米老鼠第2次进入“麻痹〃状态时，就会有原速度5%的速度，而第3次就有原速度10%的速度……，第20次进入“麻痹〃状态时已有原速度95%的速度了，这以后米老鼠就再也不会被唐老鸭的遥控器所控制了.唐老鸭与米MSDC模块化分级讲义体系六年级奥数行程.走停与变速问题（MSDC模块化分级讲义体系六年级奥数行程.走停与变速问题（ABC级）.学生版Page11of21咨询电话：400-810-2680咨询电话：400-810-2680老鼠同时出发，如果唐老鸭要保证不败，它最晚要在米老鼠跑了多少米的时候第一次使用遥控器?0125=4。（分钟），5000。10。=50（分钟），所以米老鼠正常情况下要40分钟跑完全程，唐老鸭要SO.分钟跑完全程.若唐老鸭使米老鼠麻痹20次，由于5%+I。％+'■■+95%=9.5,则在这麻痹的20分钟内，米老鼠实际同的路程为正常状态下9.5分钟造的路程.这样，米老鼠一共需要40-9.5+20=50.5分钟才能到达终点.由于唐老鸭只需要50分钟，所以若使唐老鸭保持不敢，并不需要使米老鼠麻痹20次，即可以尽量晚的第一次使用遥控器.根据题意，第20应使用可以使求老武多损失。.05分钟，第19次使用可以使米老鼠多损失0」分钟，第18次使用可以使米老鼠多损失。.15分钟，第17次使用可以使米老鼠多损失。一2分钟，总计正好是□用5+。一1++Q二=口.5分钟.所以只需要使米老鼠麻痹16次，唐老鸭就能保持不败.这样米老鼠也要50分钟.由于还要留出1E分钟的遥控器恢复能量的时间，所以第一次使用遥控器的时候后面剩下的时间不能少于16+15=箝分钟，此时米老鼠已经跑出了125*（50-31）一2375（米），所以唐老鸭最晚要在米老鼠跑了2375米的时候第一次使用遥控器.【例12］如图所示，有A、B、。、D四个游乐景点，在连接它们的三段等长的公路AB、BC、CD上，汽车行驶的最高时速限制分别是120千米、40千米和60千米。一辆大巴车从A景点出发驶向D景点，到达D点后立刻返回；一辆中巴同时从D点出发，驶向B点。两车相遇在C景点，而当中巴到达B点时，大巴又回到了C点，已知大巴和中巴在各段公路上均以其所能达到且被允许的速度尽量快地行驶，大巴自身所具有的最高时速大于60千米，中巴在与大巴相遇后自身所具有的最高时速比相遇前提高了12.5%，求大巴客车的最高时速。TOC\o"1-5"\h\zABCD

I III由于AS,BC.（70三段公路等长，不妨设,耳=RC=口0=6。千米，大巴从0—口用60x2-60=2（小时），此时中巴从（7-E,速度为60+2=3口（千米/小时），所以中巴从口一（7父n ftCiQ的速度为文=」（千米/小时），用时为60+一=三（小时），这也是大巴从A-B-C3 3 4用的时间.大巴在后（7上最少用60-40=-（小时），所以大巴在AS上最多用---=-（d'StX大\o"CurrentDocument"2 4 2 4巴的最高时速为丘力义±=80（千米）.4【巩固】从甲市到乙市有一条公路，它分成三段.在第一段上，汽车速度是每小时40千米；在第二段上，汽车速度是每小时90千米；在第三段上，汽车速度是每小时50千米.己知第一段公路的长恰好是第三段的2倍，现有两汽车分别从甲、乙两市同时出发，相向而行，1小时20分后，在第二段从甲到乙方向的1处相遇.那么，甲、乙两市相距多少千米？3MSDC段从甲到乙方向的1处相遇.那么，甲、乙两市相距多少千米？3MSDC模块化分级讲义体系 六年级奥数行程.走停与变速问题（ABC级）.学生版Page12of21咨询电话：400-810-2680咨询电话：400-810-2680TOC\o"1-5"\h\zABE CDI如图所示，A,心、C,U分别为三段路的端点，E为两车相遇的地点.由于4S为匕口的两倍，而汽车在启吕上的速度为40千米/时，在（7口上的速度为50千米/时，所以汽车在AS上与在＜7口上71 * （I所用的时间之比为一:一=5:2、即在,吕上比在（70上多用了二的时间；由于BE=-ae,所以41）50 1 3BE=-EC,而汽车在整个段上速度都是相同的，所以汽车在E□上所用的时间是汽车在HE2上所用的时间的2倍，即多用了1倍的时间.由于两辆汽车同时出发，在百处相遇，两车所用的1时间相同，所以在＜7口上所用的时间的一倍等于在3E上所用的时间，可以得到在＜7。上所用的时1'间与在丹E上所用的时间之比为2:3,那么可以再到在乂3、UE、EC、C口四段上所用的时间之比为5:3:E:3.汽车在乂E与片口段上所用的时间之比为5，速度之比为4019口=4,所以乂6与3（7段的长度之比为（5父4）:19x9）=20：*1.由于汽车从乂到£用了1小时20分钟，所以在MS段上所用的时间为工=上小时，ME段的优度为4n乂刍=U^千米，那么从其到口的TOC\o"1-5"\h\z±5+3 6 6W7r3100 （ «II' .也金更高为“IH 1—=135千米_,3 、 20 2）【例2】甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山。他们两人下山的速度都是各自上山速度的2倍。甲到山顶时，乙距山顶还有400米；甲回到山脚时，乙刚好下到半山腰。求从山脚到山顶的距离。I2400米.如果两人下山的速度与各自上山的速度相同，则题中相应的条件应变为〃甲下山路■走了L2时，乙下山路走了174因为甲到山顶时比乙多走4。。米，所以甲下山路走了L时，应比乙多走40口*[]+口=6加（来），2 %乙从山脚到山顶的距离为6口。+ _L]=2400（米）.＜24,【巩固】甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山。他们两人下山的速度都是各自上山速度的2倍。开始后1时，甲与乙在离山顶400米处相遇，当甲回到山脚时，乙刚好下到半山腰。问：乙比甲晚多少时间回到山脚？MSDC模块化分级讲义体系六年级奥数行程.走停与变速问题（MSDC模块化分级讲义体系六年级奥数行程.走停与变速问题（ABC级）.学生版Page13of21咨询电话：400-810-2680咨询电话：400-810-2680】17分.加果两人下山的速度与各自上山的速度相同，则题中相应的条件应变为叮时后：乙离山顶差400米，甲走了下山路2。0米"和"甲下山路走了1时，乙下山路走了TOC\o"1-5"\h\z2 4=-=-.同时甲比乙多走3000+600=3600（来），山路5< 2,长3000+400-3400跺），再回到3两人下山的速度都是各自上山速度的2倍）从上山到下山，甲需吧吧+川）.=12360U 3600x2 12（时），乙需沙+卫吧_=u（时），乙比甲多用U—1Z=U（时）=17（分）300U 3000X2 10 ]0 12 61）【例3】如图21-1,A至B是下坡，B至C是平路，C至D是上坡.小张和小王在上坡时步行速度是每小时4千米，平路时步行速度是每小时5千米，下坡时步行速度是每小时6千米.小张和小王分别从A和D同时出发，1小时后两人在E点相遇.已知E在BC上，并且E至C的距离是B至C距离的1.当小王到达A后9分钟，小张到达D.那么A至D全程长是多少千米？5图21-1MSDC模块化分级讲义体系六年级奥数行程.走停与变速问题MSDC模块化分级讲义体系六年级奥数行程.走停与变速问题（ABC级）.学生版Page14of21I8E是m匚的CE是BC的L,说明DC这段下坡,比AB这段下坡所用的时间多，也就是DC这5 5一段，比A8这一段长，因此可以在口。上取一段。F和丹B一样长，如下图：另外，再在图上画出一点G,使EG和EC一样仁这样就表示出，小王从F到C.小张从B到G.小王走完全程比小张走完全程少用9分钟，这时因为小张走匚至F是上坡，而小王走F至匚是下於他们两人的其余行程走下坡、平路、上坡各走一样多）.因此，小王从F至C,走下坡所用时间是9*--1=1设分钟），%4j因此得出小强从B至G也是用18分钟，走GE或比都用6分钟.走B至匚全程（平路）要3。分钟.从£至日下坡所用时间是60-18-6=36（^#）：从D至匚下坡所用时间是60-6=54（分钟）；4至D全程长是（36+54执亘+30N工=11.5千米.60 6口【巩固】游乐场的溜冰滑道如下图。溜冰车上坡每分行400米，下坡每分行600米。已知从八点到B点需3.7分，从B点到A点只需2.5分。问：AC比BC长多少米？I1440米*取AD等于BC（见下图）.因为从A到B与从B到A,走AD与BC两段路所用的时间和nr1n「相同，所以D到C比C到D多用工7-2.5=1.2（分）、即一--——=I1.由此解得400600、.、400 600)=、.、400 600)=12+ =14401200U1440米课堂检测MSDC模块化分级讲义体系六年级奥数行程.走停与变速问题（课堂检测MSDC模块化分级讲义体系六年级奥数行程.走停与变速问题（ABC级）.学生版Page15of21【随练1】快车与慢车分别从甲、乙两地同时开出，相向而行，经过5时相遇。已知慢车从乙地到甲地用12.5时，慢车到甲地停留1时后返回，快车到乙地停留2时后返回，那么两车从第一次相遇到第二次相遇共需多长时间？I11时36分.怏车5时行的路程慢车需行12.5-5=75（时），所以快车与慢车的速度比为7.5：5=3：2.因为两车第一次相遇时共行甲，乙两地的一个单程，第二次相遇时共行三个单程，所以若两车都不倬留，则第一次相遇到第二次相遇需10时.现在慢车停留1时，快车停留2时，.斫以第一次相遇后1］时，两车间的距离快车还需行6口分，这段子巨离两车共行需6（）*=一=靠（分）.3+2第一次相遇到第二次相遇共需11时3E分。【随练2】小红上山时每走30分钟休息10分钟，下山时每走30分钟休息5分钟.已知小红下山的速度是上山速度的2倍，如果上山用了3时50分，那么下山用了多少时间？I上山用了M时S0分，即60x3+50=230（分卜由23Q?（30+10）=5……30.得到上山休息了5次，走了23010x5=180（分）.因为下山的速度是上山的2倍，所以下山走了180=2=90（分）.由90由。=3知，下山途中休息了2次，所以下山共用9cH■Sx”］。。（分）=1时4。分.【随练3】甲、乙两车分别从AB两地同时出发相向而行，6小时后相遇在C点.如果甲车速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A,B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点12千米；如果乙车速度不变，甲车速度每小时多行5千米，则相遇地点距C点16千米.甲车原来每小时行多少千米？I设乙增加速度后，两车在D处相遇，所用时间为7小时,甲增加速展后，两车在E处相遇.由于这两种情况，两车的速度和相同，所以所用时间也相同.于是，甲、乙不增加速度时，经T小时分别到达口、邑DE=12+16=28（千米上由手甲或乙增加速度每小时5千米，两车在D或E相遇，所以用每小时5千米的速度，7小时走过28千米，从而丁=2的5=（小时,甲用6--=-（小时），走过12千米，所以甲原来每小时行1"士=配〔千米）5 5 5【随练4】甲、乙两地相距6720米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行80米，后一半时间平均每分钟行60米.问他走后一半路程用了多少分钟？MSDC模块化分级讲义体系六年级奥数行程.走停与变速问题（MSDC模块化分级讲义体系六年级奥数行程.走停与变速问题（ABC级）.学生版Page16of21咨询电话：400-810-2680咨询电话：400-810-2680方法一；由于前一半时间与后一半时间的平均速度是已知的：因此可以计算出这人步行的时间.而如果了解清楚各段的路程、时间与速度，题目结果也就自然地被计算出来了.应指出，如果前一半时间平均逵度为每分钟3。米：后一半时间平均速度为每分钟品米，则这个人从甲走到乙的平均速度就为每分钟走岱0+6。卜2=70米.这是因为一分钟80米，一分钟60米，两分钟一共140米，平均每分钟70米.而每分钟走80米的时间与每分钟走6。米的时间相同，所以平均速度始终是每分钟7口米.这样,就可以计算出这个人走完全程所需要的时间是6720子70=96,分钟.由于前一半时间的速度大于后一半时间的速度，所以前一半的时间所走路程大于6720?2=33€0米.则前一个3360米用了3360^80=42分钟；后一半路程所需时间为96-42=54分钟.方法二：设走一半路程时间是扉分钟，则8以+6046720,解方程得：行4E分钟，因为8。区48二招4。（米），大于一半路程33GO米，所以走前一半路程速度都是80米，时间是3360^80=42（分钟），后一半路程时间是48+（48-42）=54（分钟），评注；首先：从这道题我们可以看出〃一半时间处与“一半路程w的区别.在时间相等的情况下，总的平均速度可以是各段平均速度的平均数.但在各段路程相等的情况下，这样做就是不正确的.其次，后一半路程是混合了每分钟80米和每分钟6。米两种状态，直接求所需时间并不容易.而前一半路程所需时间的计算是简单的.因此：在几种方法都可行的情况下，选择一种好的简单的才法.这种选择能力也是需要银炼和培养的.DGW晶家庭作业【作业1】一列火车出发1小时后因故停车0.5小时，然后以原速的34前进，最终到达目的地晚1.5小时.若出发1小时后又前进90公里再因故停车0.5小时，然后同样以原速的34前进，则到达目的地仅晚1小时，那么整个路程为多少公里？MSDC模块化分级讲义体系 六年级奥数彳亍程.走停与变速问题（MSDC模块化分级讲义体系 六年级奥数彳亍程.走停与变速问题（ABC级）.学生版 Page17of21^^1】出发1小时后因故停车0.5小时，然后以原速的二前进，最终到达目的地晚LS小时，所以后4TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"3 3面以原速的一前进的时间比原定时间多用］-5-0.5=］小时、而速度为原来的一,所用时间为原4 4\o"CurrentDocument"4 4来的一，所以后面的一段路程原定时间为1二(一-1)=?小时，原定全程为4小时；出发［小3 33时后又前进90公里再因故停车0.5小时，然后同样以原速的二前进、则到达目的地仅晚1小44时，类似分析可知又前进90公里后的那段路程原定时间为。・0,5片L)=L5小时，所以原速度行驶90公里需要L5小时，而原定全程为4小时，所以整个路程为90：13x4=240公里.【作业2】甲、乙两地相距100千米,小张先骑摩托车从甲地出发,1小时后小李驾驶汽车从甲地出发,两人同时到达乙地.摩托车开始速度是每小时50千米,中途减速后为每小时40千米.汽车速度是每小时80千米，汽车曾在途中停驶10钟.那么小张驾驶的摩托车减速是在他出发后的多少小时?.汽车从甲地到乙地的行驶时间为10(K80=1.25小时二1小时15分钟，加上中途停驶的10分钟，共用时1小时25分钟.而小眼光小李1小时出发，但却同时到返所以小张从甲到乙共用了2小时25分钟，即2最小时，以下给出两种解法：(5 )方法一:设小张驾驶的摩托车减速是在他出发后x小时方SOxx+40*2——jc=1。0廨得尤=I12所以小眼驾驶的摩托车减速是在他出发后L小时.32.5-也122.5-2方法二:如果全程以每小时5。千米的速度行驶，需10(H50=2小时的时间,全程以每小时40千米的速度行驶，需100440=2.52.5-也122.5-2=—的路程,即行驶了100—x100=--千米的路程,距出发—：50=—小时.6 6 3 3 3【作业3】甲、乙两站相距420千米，客车和货车同时从甲站出发驶向乙站，客车每小时行60千米，货车每小时行40千米.客车到达乙站后停留1小时，又以原速返回甲站.则两车迎面相遇的地点离乙站有多少千米？MSDC模块化分级讲义体系六年级奥数行程.走停与变速问题(ABCMSDC模块化分级讲义体系六年级奥数行程.走停与变速问题(ABC级).学生版Page18of21两车相遇时，*「=420x2=840千米，要用公式S和=（为+%）*，，应使得两车的时间保持一致，而客车中途停留了1小时：可以看作货车提前行驶1小时：所以将此间货车行驶的4。千米减去，取S祈=80-40=8口0千米，f=客车行驶的时间=800+（40+60）=8小时，因此客车行驶了60Kg=480=420―60千米，相遇地点距离乙站60千米.【作业4】甲、乙两人同时从A地到B地去。甲骑车每分行250米，每行驶10分后休息20分；乙不间歇地步行，每分行100米。结果在甲即将休息的时刻两人同时到达B地。问：A，B两地相距多远？7sfl10000米.出发后10分、甲、乙相距（250-10。）K10=1500（米）.以后甲平均每分行小米，3乙要追上甲15。。隧，需要1500+I00- =9。（分）,乙从出发共行了100分，所以A,B两I3，地相距100x100=10000（米）0.IX【作业5】小B两地间有一座桥（桥的长度忽略不计），甲、乙二人分别从两地同时出发，3小时后在桥上相遇.如果甲加快速度，每小时多走2千米，而乙提前0.5小时出发，则仍能恰在桥上相遇.如果甲延迟0.5小时出发，乙每小时少走2千米，还会在桥上相遇.则小B两地相距多少千米？I因为每次相遇的地点都在桥上，所以在这三种情况中，甲每次走的路程都是一样的，同样乙每次走的路程也是一样的.在第二种情况中：乙速度不变，所以乙到桥上的时间还是3小时，他提前了0.5小时：那么甲到桥上的时间是3=2.5小时.甲每小时多走2千米，2.5小时就多走2x2.5=5千米，这5千米就是甲原来3-2.5=0.5小时走的，所以甲的速度是5-0.5=10千米/时.在第三种情况中，甲速度不变，所以甲到桥上的时间还是3小时，他延迟了0,5小时，那么乙到桥上的时间是3+。5=M.S小时.乙每小时少走2千米，3.5小时就少走2x3.5=7千米，这7千米就是甲原来3.5-赳05小时走的，所以乙的速度就是7。0,5二14千米/时，所以4B两地的距离为（10+14）xm=72千米.【作业6】甲、乙两车从小B两地同时出发相向而行，5小时相遇；如果乙车提前1