山东省德州市重点中学2023-2024学年高三上学期开学测试数学试题（Word版含答案）

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数学试题

一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．）

1．已知集合，，则（）

A．B．C．D．

2．为了得到函数的图像，可以将函数的图像（）

A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度

3．已知，则（）

A．B．C．D．

4．已知角的终边经过点，则的值等于（）

A．B．C．D．

5．等于（）

A．B．C．D．

6．函数的部分图像大致为（）

A．B．C．D．

7．已知，A为第四象限角，则等于（）

A．B．C．D．

8．定义在R上的偶函数满足，当时，，若在区间内，函数，（）有5个零点，则实数m的取值范围是（）

A．B．C．D．

二、多选题（本题共4个小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

9．下列函数中，既是奇函数，又在单调递增的有（）

A．B．C．D．

10．下列说法正确的是（）

A．第二象限角比第一象限角大

B．60°与600°角不是终边相同的角

C．正弦函数在第一象限是增函数

D．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数为

11．下列说法中正确的是（）

A．若定义在实数R上的函数满足，则函数是以2为周期的函数

B．函数的单调递增区间为，

C．函数为奇函数

D．角的终边上一点坐标为，则

12．欧拉是人类历史上最伟大的数学家之一．在数学史上，人们称18世纪为欧拉时代．直到今天，我们在数学及其应用的众多分支中，常常可以看到欧拉的名字，如著名的欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数n与n互素的正整数的个数，例如，，则下列说法正确的是．（）

A．B．，都有

C．方程有无数个根D．

三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置上）

13．已知幂函数在单调递减，则实数．

14．已知，则等于．

15．设函数，若，则x的取值范围是．

15．将函数的图像向左平移个单位，得到偶函数的图像，下列结论中：

①的图像关于点对称；②在上的值域为；③的图像关于直线对称；④在区间上单调递减．

其中正确的结论有．

四、解答题（本题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）

已知是第四象限角，．

（1）化简；

（2）若，求的值．

18．（12分）

（1）已知，，，，求的值．

（2）已知，，求的值．

19．（12分）

已知函数．

（1）若在的切线，与直线平行，求过点的切线方程；

（2）设函数在区间内是减函数，求实数a的取值范围．

20．（12分）

函数的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为．

（1）求函数的解析式；

（2）求曲线的对称中心的坐标；

（3）设是锐角，且，求的值．

21．（12分）

某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为100万元，每生产x万件，需另投入成本为．当年产量不足60万件时，（万元）；当年产量不小于60万件时，（万元）．通过市场分析，若每件售价为400元时，该厂年内生产的商品能全部售完．（利润＝销售收入－总成本）

（1）写出年利润L（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；

（2）年产量为多少万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？并求出利润的最大值．

22．（12分）

已知，．

（1）函数有且仅有一个零点，求t的取值范围．

（2）当时，证明：（其中），使得．

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数学试题答案

1．A2．D3．D4．D5．C6．A7．C8．D

9．ABD10．BD11．AB12．ACD

13．14．15．16．①③④

8．，又是偶函数，所以，

则，所以的周期为4，由得的图像关于对称，

当时，，可得的大致图像如下，

若在区间内，函数有5个零点，

等价于与的图像在内5个交点，

结合图像，当时与的图像恰好有5个交点，

当时与的图像有3个交点，不符合题意，

可得，此时，可得，则实数m的取值范围是．故选：D．

12．

A选项，所有不超过正整数3且与3互素的正整数为1，2，个数为2，故，所有不超过正整数5且与5互素的正整数为1，2，3，4，个数为4，故，所有不超过正整数15且与15互素的正整数为1，2，4，7，8，11，13，14，个数为8，故，故，A正确；

B选项，不妨令，，满足，但，B错误；

C选项，当n为素数时，，而素数有无数个，故方程有无数个根，C正确；

D选项，因为7为素数，所以当时，只有7和7的倍数与不互素，

即7，14，21，28，L，，共有，所以．

16．将函数的图像向左平移个单位，得到函数，因为函数为偶函数，所以，，

因为，所以，所以，，

①，故正确；

②因为，，所以，故错误；

③，故正确；

④由，得，，所以在上单调递减，故正确．

17．

（1）．

（2）因为，即，

又是第四象限角，

∴，

∴．

18．

（1）依题意，，，，

所以，，

所以．

（2）由两边平方得，，

所以，所以，

由，解得，

则，．

所以．

19．解：

（1）由在点的切线，与直线平行，

∴

∵

∴

∴，解得

∴

设过点的切线与函数相切于，

∴即，

∴或，

∴切点分别为，，

∴切线方程为：，．

（2）∵在区间内是减函数，

∴在上恒成立

即在上恒成立，

∴

令，则，

∴在递增，在递减

又，，

∴，

∴

综上所述，a的取值范围为

20．

（1）函数的最大值为3，

∴，即．

∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，

∴最小正周期，

∴．

故函数的解析式为；

（2）由，，得，，

所以其对称中心为点，．

（3）因为，即，

因为，

∴，

∴，

故．

21．

（1）当时，．

当时，．

∴．

（2）当时，

∴当时，取得最大值100（万元），

当时，，

当且仅当，即时等号成立．

即时，取得最大值1100（万元）．

∵，

∴生产量为90万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为1100万元．

22．

（1）由函数，可得，所以不是函数的零点，

因为函数有且仅有一个零点，即方程仅有一个实数根，

即方程仅有一个实数根，即方程仅有一个实数根，

设，可得．

当时，，单调递增；

当或时，，单调递减；

所以函数的极小值为．

又由当且时，；当且时，