高中化高三大题练习解题3函数与导数第8练突难点-抽象函数与函数图象

高中化学教学同步课件专题3函数与导数第8练突难点——抽象函数与函数图象题型分析·高考展望抽象函数即没有函数关系式，通过对函数性质的描述，对函数相关知识进行考查，此类题目难度较大，也是近几年来高考命题的热点.对函数图象问题，以基本函数为主、由基本函数进行简单的图象变换，主要是平行变换和对称变换，这样的题目都离不开函数的单调性与奇偶性.常考题型精析高考题型精练题型一与函数性质有关的简单的抽象函数问题题型二与抽象函数有关的综合性问题题型三函数图象的判断与应用常考题型精析题型一与函数性质有关的简单的抽象函数问题例1

(1)(2014·湖南)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)等于(

)A.－3 B.－1C.1

D.3解析∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1.∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x).∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1.∴f(1)＋g(1)＝－1＋1＋1＝1.答案C(2)(2014·课标全国Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(

)A.f(x)g(x)是偶函数

B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数

D.|f(x)g(x)|是奇函数解析A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，A错.B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，B错.C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，C正确.D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函数，D错.答案C点评抽象函数的条件具有一般性，对待选择题、填空题可用特例法、特值法或赋值法.也可由函数一般性质进行推理.变式训练1已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的(

)A.既不充分也不必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.充要条件解析①∵f(x)在R上是偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称.∵f(x)为[0,1]上的增函数，∴f(x)为[－1,0]上的减函数.又∵f(x)的周期为2，∴f(x)为区间[－1＋4,0＋4]＝[3,4]上的减函数.②∵f(x)为[3,4]上的减函数，且f(x)的周期为2，∴f(x)为[－1,0]上的减函数.又∵f(x)在R上是偶函数，∴f(x)为[0,1]上的增函数.由①②知“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件.答案D题型二与抽象函数有关的综合性问题例2

(2014·辽宁)已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足：①f(0)＝f(1)＝0；②对所有x，y∈[0,1]，且x≠y，有|f(x)－f(y)|<

|x－y|.若对所有x，y∈[0,1]，|f(x)－f(y)|<k恒成立，则k的最小值为(

)答案B

点评(1)让抽象函数不再抽象的方法主要是赋值法和单调函数法，因此学会赋值、判断并掌握函数单调性和奇偶性是必须过好的两关，把握好函数的性质.(2)解答抽象函数问题时，学生往往盲目地用指数、对数函数等代替函数来解答问题而导致出错，要明确抽象函数是具有某些性质的一类函数而不是具体的某一个函数，因此掌握这类函数的关键是把握函数的性质以及赋值的方法.变式训练2对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x，满足f(－x)＝－f(x)，则称f(x)为“局部奇函数”.(1)已知二次函数f(x)＝ax2＋2x－4a(a∈R)，试判断f(x)是否为“局部奇函数”？并说明理由；解f(x)为“局部奇函数”等价于关于x的方程f(x)＋f(－x)＝0有解.当f(x)＝ax2＋2x－4a(a∈R)时，方程f(x)＋f(－x)＝0即2a(x2－4)＝0有解x＝±2，所以f(x)为“局部奇函数”.(2)若f(x)＝2x＋m是定义在区间[－1,1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围.解当f(x)＝2x＋m时，f(x)＋f(－x)＝0可化为2x＋2－x＋2m＝0，因为f(x)的定义域为[－1,1]，所以方程2x＋2－x＋2m＝0在[－1,1]上有解.根据：“对勾函数”的单调性知题型三函数图象的判断与应用当g′(x)>0时，－1<x<0.当g′(x)<0时，x>0.故g(x)<g(0)＝0，即x>0或－1<x<0时均有f(x)<0，排除A，C，D.答案B点评(1)求函数图象时首先考虑函数定义域，然后考虑特殊值以及函数变化趋势，特殊值首先考虑坐标轴上的点.(2)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(3)在运用函数图象时要避免只看表象不联系其本质，透过函数的图象要看到它所反映的函数的性质，并以此为依据进行分析、推断，才是正确的做法.变式训练3

(2015·课标全国Ⅱ)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为(

)又当点P与边CD的中点重合，答案

B高考题型精练1.(2014·陕西)下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是(

)A.f(x)＝x

B.f(x)＝x3C.f(x)＝()x

D.f(x)＝3x123456789101112不满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，A不满足题意.高考题型精练f(x)＝x3，f(x＋y)＝(x＋y)3≠x3·y3，不满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，B不满足题意.123456789101112满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，但f(x)＝()x不是增函数，C不满足题意.f(x)＝3x，f(x＋y)＝3x＋y＝3x·3y，满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且f(x)＝3x是增函数，D满足题意.答案D高考题型精练1234567891011122.设f(x)为偶函数，对于任意的x>0，都有f(2＋x)＝－2f(2－x)，已知f(－1)＝4，那么f(－3)等于(

)A.2B.－2

C.8

D.－8解析∵f(x)为偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝4，f(－3)＝f(3)，当x＝1时，f(2＋1)＝(－2)·f(2－1)，∴f(3)＝(－2)×4＝－8，∴f(－3)＝－8.D高考题型精练1234567891011123.对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的(

)A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件高考题型精练123456789101112解析若函数y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x).此时|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，因此y＝|f(x)|是偶函数，其图象关于y轴对称.但当y＝|f(x)|的图象关于y轴对称时，未必能推出y＝f(x)为奇函数，高考题型精练123456789101112故“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的必要而不充分条件.答案B高考题型精练1234567891011124.(2015·课标全国Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(

)A.(－∞，－1)∪(0,1)B.(－1,0)∪(1，＋∞)C.(－∞，－1)∪(－1,0)D.(0,1)∪(1，＋∞)高考题型精练123456789101112解析因为f(x)(x∈R)为奇函数，f(－1)＝0，所以f(1)＝－f(－1)＝0.则g(x)为偶函数，且g(1)＝g(－1)＝0.高考题型精练123456789101112故g(x)在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数.所以在(0，＋∞)上，综上，得使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，

－1)∪(0,1)，选A.答案A5.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是(

)A.f(x)＋|g(x)|是偶函数B.f(x)－|g(x)|是奇函数C.|f(x)|＋g(x)是偶函数D.|f(x)|－g(x)是奇函数高考题型精练123456789101112解析由题意知f(x)与|g(x)|均为偶函数.A项，偶＋偶＝偶；B项，偶－偶＝偶，错；C项与D项分别为偶＋奇＝偶，偶－奇＝奇，均不恒成立.答案A高考题型精练123456789101112高考题型精练123456789101112解析由3x－1≠0得x≠0，高考题型精练123456789101112但从选项D的函数图象可以看出函数在(0，＋∞)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除选项D.故选C.答案C高考题型精练1234567891011127.定义在R上的偶函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，且在[－3，

－2]上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式中正确的是(

)A.f(sinα)>f(cosβ) B.f(sinα)<f(cosβ)C.f(cosα)<f(cosβ) D.f(cosα)>f(cosβ)解析因为f(x)为R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，又f(2－x)＝f(x)，所以f(x＋2)＝f(2－(x＋2))＝f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)以2为周期，因为f(x)在[－3，－2]上是减函数，所以f(x)在[－1,0]上也是减函数，故f(x)在[0,1]上是增函数，因为α，β是钝角三角形的两个锐角，高考题型精练123456789101112高考题型精练123456789101112故f(sinα)<f(cosβ)，选B.答案B8.函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数.例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数.下列命题：①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；②若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；高考题型精练123456789101112④函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数.其中的真命题是________.(写出所有真命题的序号)解析当f(x)＝x2时，不妨设f(x1)＝f(x2)＝4，有x1＝2，x2＝－2，此时x1≠x2，故①不正确；由f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2可知，当x1≠x2时，f(x1)≠f(x2)，故②正确；高考题型精练123456789101112高考题型精练123456789101112若b∈B，b有两个原象时，不妨设为a1，a2，可知a1≠a2，但f(a1)＝f(a2)，与题中条件矛盾，故③正确；函数f(x)在某区间上具有单调性时整个定义域上不一定单调，因而f(x)不一定是单函数，故④不正确.故答案为②③.答案②③高考题型精练1234567891011129.已知g(x)＝－x2－4，f(x)为二次函数，满足f(x)＋g(x)＋f(－x)＋g(－x)＝0，且f(x)在[－1,2]上的最大值为7，则f(x)的解析式为________________________.解析设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则由题意可得f(x)＋g(x)＋f(－x)＋g(－x)＝2ax2＋2c－2x2－8＝0，得a＝1，c＝4.显然二次函数f(x)在区间[－1,2]上的最大值只能在x＝－1时或x＝2时取得.高考题型精练123456789101112当x＝－1函数取得最大值7时，解得b＝－2；10.方程

的曲线即为函数y＝f(x)的图象，对于函数y＝f(x)，有如下结论：①f(x)在R上单调递减；②函数F(x)＝4f(x)＋3x不存在零点；③函数y＝f(x)的值域是R；④f(x)的图象不经过第一象限.其中正确的有________.高考题型精练123456789101112x，y不可能同时大于0，分类讨论：高考题型精练123456789101112作出图象可知①③④正确，对于②的判断：高考题型精练123456789101112则F(x)＝4f(x)＋3x不存在零点.答案

①②③④11.函数y＝f(x)为定义在R上的减函数，函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，x，y满足不等式f(x2－2x)＋f(2y－y2)≤0，M(1,2)，N(x，y)，O为坐标原点，则当1≤x≤4时，

的取值范围为____________.解析∵y＝f(x－1)的图象关于(1,0)对称，∴y＝f(x)关于原点对称是奇函数，高考题型精练123456789101112又∵f(x)为R上的减函数，∴f(x2－2x)≤f(y2－2y)，∴x2－2x≥y2－2y，∴|x－1|≥|y－1|.又∵1≤x≤4，∴(x，y)满足的可行域如图.高考题型精练123456789101112高考题型精练123456789101112当直线x＋2y＝0过A(4，－2)时有最小值0，当直线x＋2y＝0过B(4,4)时有最大值12.∴0≤x＋2y≤12.答案[0,12]12.已知函数