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文档简介

主要内容第三节

矩阵的初等变换

矩阵的初等变换行阶梯形矩阵（不唯一）

矩阵的标准形（唯一）

行最简形矩阵（唯一）

矩阵的行阶梯形、行最简形、标准形的比较矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算,它在解线性方程组、求逆阵及矩阵理论的探讨中都可起重要的作用.(第j

行的k倍加到第

i

行上,记作

ri+krj).

一、矩阵的初等变换(i)对调A的两行(对调i,j两行,记作

ri

rj

);(ii)

以一个非零数

k

乘以A的某一行中的所有元素

(第

i

行乘以

k,记作

kri

);(iii)

把A的某一行所有元素的

k倍加到另一行对应的元素上去定义1

矩阵的初等行变换:(第j

列的k倍加到第

i

列上,记作

ci+kcj).

(i)对调A的两列(对调i,j两列,记作

ci

cj

);(ii)

以非零数k乘以A的某一列中的所有元素

(第

i

列乘以

k,记作

kci

);(iii)

把A的某一列所有元素的

k倍加到另一列对应的元素上去定义2

矩阵的初等列变换:矩阵的初等行（列）变换，统称为矩阵的初等变换.注：初等变换可逆，且其逆变换是同一类型的初等变换.定义3

矩阵的等价

如果矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵

B,就称矩阵A与B行等价,记作

A~B;r

如果矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B,就称矩阵

A与B

列等价,记作A~B;c如果矩阵

A

经有限次初等变换变成矩阵B

,就称矩阵A与B等价,记作

A~B.

矩阵的等价关系具有性质：

(i)反身性

A~A;(ii)对称性

若A~B,则B~A;

(iii)传递性若A~B,B~C,则A~C.

二、行阶梯形矩阵

(2)每个非零行的第一个非零元（主元）前面0的个数是严格增加的.

(1)

零行全部位于非零行的下方.行阶梯形矩阵:

定义4

满足下面两个条件的矩阵称为例如阶梯形矩阵

行阶梯形矩阵的特点:阶梯线下方的元素全为零;

每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元（主元）.

三、行最简形矩阵

定义5

一个行阶梯形矩阵若满足

(1)

主元全为1;

(2)

主元所在列的其它元素全为零，则称之为行最简形矩阵.

四、矩阵的标准形F其中r为矩

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