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数学物理方程理学院冯国峰第4章贝塞尔函数本章首先在在柱坐标系下对偏微分方程进行变量的分离，导出贝塞尔方程，然后讨论这个方程的解法及解的有关性质，并引入贝塞尔函数。贝塞尔函数具有许多类似三角函数的性质，特别是具有用分离变量法解数学物理方程所需要的正交性。最后再来介绍贝塞尔函数在解决数学物理方程的有关定解问题中的一些应用。4-1贝塞尔方程及其求解圆柱体的冷却问题：设有一个两端无限长的直圆柱体，半径为，已知初始温度为，表面温度为零，求圆柱体内温度的变化规律。4-1贝塞尔方程及其求解采用柱坐标，令则4-1贝塞尔方程及其求解原定解问题变为应用分离变量法：设4-1贝塞尔方程及其求解亥姆霍兹（Helmhotz）方程：设4-1贝塞尔方程及其求解得到了两个常微分方程：的固有值为固有函数为4-1贝塞尔方程及其求解原定解问题的求解就归结为求解固有值问题的固有值及固有函数。令n阶贝塞尔方程：4-2贝塞尔函数设解为（1）（2）（3）当时，递推关系结论：4-2贝塞尔函数补充：伽马函数：4-2贝塞尔函数令，则n阶第一类贝塞尔函数：4-2贝塞尔函数取时，得到递推关系（1）当n不是整数时，贝塞尔方程的通解为。如果取，，第二类n阶贝塞尔函数或诺依曼（Neumann）函数

4-2贝塞尔函数（2）当n为整数时，定义整阶诺依曼函数为4-2贝塞尔函数结论：n阶贝塞尔方程的通解都可以表示为说明：欧拉常数：4-2贝塞尔函数贝塞尔函数的几个明显性质：4-3贝塞尔函数的性质1、母函数和积分表示上式左端的函数称为贝塞尔函数的母函数或生成函数。从而可得的积分表示为4-2贝塞尔函数2、微分关系和递推公式表明：通过n阶贝塞尔函数，可以求出低一阶

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