电磁场的数值分析

电磁场的数值分析

在磁体系统中，电流和磁体的计算对于系统的有效设计非常重要。通常，计算磁体问题的一般方法主要有两种，其中每种方法包括一系列。第一类是分析方法。第二个是数值法。二维静态磁体的边值问题是解决磁体磁体问题的基础。本文以简单的二维静态磁体边缘问题为例，介绍了常用的磁体计算方法。1分离变量法求解电子槽内电势随金属槽内电势分布1864年,Maxwell在前人理论和实验的基础上建立了统一的电磁场理论,并用数学模型揭示了自然界一切宏观电磁现象所遵循的普遍规律,这就是Maxwell方程组.笼统而言,所有的宏观电磁问题都可以归结为Maxwell方程组在各种边界条件下的求解问题.解析法包括建立和求解偏微分方程或积分方程.严格求解偏微分方程的经典方法是分离变量法,即在可分离变量的坐标系中求解Maxwell方程组或其退化形式,最后得到解析解.严格的求解积分方程的方法主要是变换数学法.例1一无限长直接地金属槽,其三壁电势为零,顶盖与三壁绝缘且电势为V0sinπaxV0sinπax,其中V0=100V,截面长宽分别为a=10cm和b=5cm,如图1所示.求金属槽内的电势分布.分析金属槽无限长,故槽内电势与坐标z无关.由于槽内各点上电荷密度ρ=0,槽内电势满足二维直角坐标系中的拉普拉斯方程及其边界条件:{∂2φ∂2x+∂2φ∂2y=0(1)φ(x‚y)|x=0=0(2)φ(x‚y)|x=a=0(3)φ(x‚y)|y=0=0(4)φ(x‚y)|y=b=V0sinπax(5)应用分离变量法,得到满足方程(1)和边界条件式(2)—式(4)的解的形式为φ(x,y)=∞∑n=1Ansinnπxashnπya代入边界条件(5)得V0sinπax=∞∑n=1Ansinnπxashnπba比较系数得:A1=V0shπba‚An=0(n≠1)槽内电势的解析解为φ(x‚y)=V0shπbasinπxashπya=100shπ2sinπx10shπy102基于数值分析方法的数值分析电磁场数值计算是求解电磁场问题重要的方法之一.它将电磁场原本连续的场域问题转换成离散系统,并对其求解数值解.通过在场域离散化的模型上求得各个点上的数值解,近似逼近连续场域的真实解.数值法的出现,使电磁场问题的分析研究从经典方法进入到离散系统的数值分析方法,从而使许多解析法很难解决的复杂的电磁场问题,有可能通过电磁场的计算机辅助分析获得高精度的离散解,同时可极大地促进各种电磁场数值计算方法的发展.有限差分法、有限元法是电磁场数值计算中最常用的两种方法.上面的例子属于规则形状的第一类边值问题,通过分离变量法已得到精确的解析解,为了与解析解作比较,以验证数值计算的精度,还以此为例对槽内电势进行数值分析.2.1离散化的含义有限差分法是将偏微分方程中的偏导函数用差商形式来表示,将所求电磁场的区域中计算无限多个点的函数值变为计算有限多个点上的函数(这一过程称之为离散化),求出数值解的方法.2.1.1槽内各网格点电势本文选用MATLAB来编写程序,MATLAB是近年来十分流行的通用性很强的优秀软件,它的程序简单明了,容易看懂.而且MATLAB还具有一些更方便的特殊功能,如有专门实现偏微分方程数值求解的工具箱PDEToolbox等,使用这些工具箱能够直观、快速、准确、形象地描述数值计算的结果.为简单起见,取步长h=1,x、y方向的网格数为m=10,n=5,共有10×5=50个网孔,11×6=66个节点,其中槽内节点(电势代求点)有9×4=36个,边界节点(电势已知点)66-36=30个.采用1/4有限差分形式:φn+1i‚j=14(φni‚j+1+φni‚j-1+φni-1‚j+φni+1,j).设迭代精度为10-6,利用MATLAB编制的主要计算程序如下:计算结果如下:本例采用简单迭代法,经66次迭代后,电势数值解收敛于某一固定值.场内所划分的网格点的电势的计算结果如表1所示.若采用超松弛迭代法:φn+1i‚j=φni‚j+ω4(φni‚j+1+φn+1i‚j-1+φn+1i-1‚j+φni+1‚j-4φni‚j)(其中ω为松弛因子,最佳值为ω=21+√1-[cos(π/m)+cos(π/n)2]2,式中,m,n分别为x、y方向的网格数),收敛速度将更快.矩形槽内电势分布三维曲面图如图2所示,槽内等势线、电场线分布如图3所示.2.1.2解与精确解的误差分析利用解析解φ(x‚y)=V0shπbasinπxashπya=100shπ2sinπx10shπy10用MATLAB编程求各网格点上电势的精确解如表2所示.对照表1、表2进行误差分析:第2行第2列网格点数值解与精确解之间的误差(4.3119-4.2882)/4.2882=0.5268%,第4行第9列网格点数值解与精确解之间的误差(27.8953-27.7977)/27.7977=0.3511%,其他点数值计算的误差也都很小,用数值解代替精确的解析解完全满足工程需要.若进一步细分网格,得到的解与精确解之间的误差将更小.2.2基于anasas的数据分析有限元法是根据变分原理和离散化取得近似解的方法.有限元法不是直接对电磁场的偏微分方程去求解,而是先从偏微分方程边值问题出发,找出一个能量泛函的积分式,并令其在满足第一类边界条件的前提下取极值,即构成条件变分问题.这个条件变分问题是和偏微分方程边值问题等价的.有限元法便是以条件变分问题为对象来求解电磁场问题.国际学术界对有限元法的理论、计算及各方面的应用做了大量的工作,许多问题都有现成的程序,可用的商业软件相对较多,如美国Ansoft公司的Maxwell和美国SwansonAnalysis公司推出的Ansys.Ansys软件是融结构、热、流体、电磁、声学于一体的大型通用有限元软件,可用来求解不同情况下的静态电磁场问题.对于上面的那个例子,用有限元软件Ansys分析槽内电势分布.计算步骤如下:1)过滤图形界面;2)建立模型;3)定义材料性能;4)定义单元类型;5)指定区域材料属性和划分单元类型;6)划分网格;7)加载和指定边界,注意:指定顶盖边界条件φ(x,y)y=b=V0sinπax时,要先进行离散化;8)后处理.槽内电势分布结果如图4所示.比较图3、图4,可以看出用有限差分和有限元这两种方法对槽内电势分布的计算结果基本相同.查看本例的数值解容易发现,矩形场域中的电势分布是左右对称的,说明计算的场域范围还可以缩小1倍,即取矩形域左边或右边的一半进行分析和计算即可.这样可以减小计算机内存,取消冗余数据.但要注意此时已变为混合型边界条件的电磁场求解问题.槽内1/2区域电势满足的拉普拉斯方程及边界条件为:{∂2φ∂2x+∂2φ∂2y=0φ(x‚y)|x=0=0|∂φ∂n|x=a/2=0φ(x‚y)|y=0=0φ(x‚y)|y=b=V0sinπax3并行计算机电磁学的展望计算电磁学之所以能取代经典电磁学而成为现代电磁理论研究的主流,主要得益于计算机硬件和软件的飞速发展以及计算数学的丰硕成果.计算机内存容量不断增大,计算