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文档简介

3.2Runge-Kutta

积分法

基本思想：用几个点上的的一阶导函数值的线性组合来近似代替在某一点的各阶导数，用Taylor级数展开式确定线性组合中各加权系数。既可避免计算高阶导数，又可提高数值积分的精度，这就是Runge-Kutta法的基本思想。

3.2.1Runge-Kutta

数值积分公式的推导考虑如下一阶微分方程假定是(3.12)式的解析解。将展成Taylor级数其中于是

其中

为了避免计算等导数项，将写成如下线性组合形式

其中称为阶数，待定系数，由下式决定

且定义

下面针对r的取值进行讨论。

(1),此时,式(3.15)成为取即得一阶RK公式，它就是Euler公式。换句话说，Euler公式是RK公式的特例。(2)

由(3.16)知

将在点展成Taylor级数将(3.19)代入到(3,18)，然后再将(3.18)代入(3.15)，得

将(3.20)与(3.14)逐项进行比较，令其对应项系数相等，可得

(3.21)是一个不定方程组，它有无穷多个解。

取,可得取可得取可得

式(3.24)正好是改进Euler公式。(3)

按前面的推导方法可得常用的3阶Runge-Kutta公式

(4)

可得4阶Rung-Kutta公式(简称RK4公式)如下

称为第个Runge-Kutta系数。RK法的特点：

1需要存储的数据少，占用的存储空间少；2只需知道初值，即可启动递推公式进行计算，可自启动；容易实现变步长运算。4每积分一步需要计算多次右函数，计算量大。3.2.2四阶Runge-Kutta法的向量公式

对于高阶系统：用向量形式表示阶动力学系统的微分方程或状态方程。其中是维状态向量；是

维向量函数，而四阶Ruung-Kutta的向量表示为

其中是微分方程组中的第个方程的第个RK系数。为了应用上的方便，将(3.28)具体列写如下：

其中为系统阶数，为递推下标。例3.2

已知系统方程取步长，计算时的的值解：状态方程

（1）所有变量（方程

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