初中数学冀教版九上27.2反比例函数的图像和性质 第2课时 反比例函数的性质 课件

27.2

反比例函数的图像和性质第二十七章反比例函数第2课时

反比例函数的性质1.复习并巩固反比例函数图像的画法.2.能根据反比例函数的图像归纳出反比例函数的性质.(重点)3.能够结合反比例函数的图像和性质解决问题.（难点）学习目标导入新课回顾与思考问题1

反比例函数是一个怎样的图像？问题2

反比例函数图像的位置与k有怎样的关系？反比例函数的图像是双曲线当

k＞0时，两条曲线分别位于第一、三象限内；当

k＜0时，两条曲线分别位于第二、四象限内.讲授新课反比例函数的性质

观察反比例函数

的图像，回答下列问题：（1）函数图像分别位于哪几个象限内？第一、三象限内问题1

一x＞0时，图像在第一象限；x＜0时，图像在第三象限.在每一个象限内，y随

x的增大而减小.(2)当

x取什么值时，图像在第一象限？当

x取什么值时，图像在第三象限？(3)在每个象限内，随着

x值的增大，y的值怎样变化？如果

k=－2，－4，－6，那么的图像又有什么共同特征？问题2

(1)函数图像象分别位于哪个象限内？(2)在每个象限内，随着

x值的增大，y的值怎样变化？在每一个象限内，y的值随

x值的增大而增大.x＞0时，图像在第四象限；x＜0时，图像在第二象限.例

1

反比例函数的图像上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且

A，B均在该函数图像的第一象限部分，若x1＞x2，则y1与

y2的大小关系为

()A.y1＞y2B.y1=y2C.y1＜y2D.无法确定C提示：因为8＞0，且A，B两点均在该函数图像的第一象限部分，根据x1＞x2，可知

y1，y2

的大小关系.

点

(2，y1)和

(3，y2)在函数

的图像上，则

y1

y2(填“

＞”“

＜

”或“

=

”).＜练一练-2＜0，在每个象限内，y随

x的增大而增大归纳函数正比例函数反比例函数表达式图像形状k＞0k＜0位置增减性位置增减性y=kx(k≠0)

(k是常数，k≠0)y=xk直线双曲线一三象限

y随

x的增大而增大一三象限每个象限内，

y随

x的增大而减小二四象限二四象限

y随

x的增大而减小每个象限内，

y随

x的增大而增大例

2

已知反比例函数，在每一个象限内，y随x的增大而增大，求

a的值.解：由题意得

a2+a－7=－1，且

a－1＜0．解得

a=－3.练一练

已知反比例函数在每一个象限内，y随着x的增大而减小，求m的值．解：由题意得|m|－4=－1，且3m－8＞0．解得

m=3.反比例函数表达式中k的几何意义二1.在反比例函数的图像上分别取点

P，Q向x轴、y轴作垂线，围成面积分别为

S1，S2

的矩形，填写下页表格：合作探究51234－15xyOPS1

S2P(2，2)，Q(4，1)S1的值S2的值S1与S2的关系猜想S1，S2与k的关系

4

4S1=S2S1=S2=k－5－4－3－21432－3－2－4－5－1QS1的值S2的值S1与

S2的关系猜想

S1，S2与k的关系P(－1，4)，Q(－2，2)2.

若在反比例函数中也

用同样的方法分别取P，Q两

点，填写表格：4

4S1=S2S1=S2=－kyxOPQS1

S2由前面的探究过程，可以猜想：

若点

P是反比例函数图像上的任意一点，过点

P作PA⊥x轴于点

A，PB⊥y轴于点

B，则矩形AOBP的面积与

k的关系是

S矩形AOBP=|k|.yxOPS我们就k＜0的情况给出证明：设点P的坐标为(a，b).AB∵点P(a，b)在函数的图像上，∴，即ab=k.∴S矩形AOBP

=

PB·PA=－a·b=－ab=－k；若点P

在第二象限，则a＜0，b＞0，若点P在第四象限，则a＞0，b＜0，∴S矩形AOBP

=

PB·PA=a·(－b)=－ab=－k.综上，S矩形AOBP

=|k|.自己尝试证明

k＞0的情况.BPAS

点Q是其图像上的任意一点，过点

Q

作QA⊥y轴于点

A，QB⊥x轴于点

B，则矩形

AOBQ

的面积与k的关系是

S矩形AOBQ

=

.推论：△QAO

和△QBO

的面积与k的关系是

S△QAO

=

S△QBO

=.对于反比例函数，AB|

k

|yxO归纳：反比例函数的面积不变性QA.SA＞

SB

＞

SCB.SA

＜

SB

＜

SCC.SA=

SB

=

SC

D.SA

＜

SC

＜

SB

如图，在函数(x＞0)的图像上有三点

A，B，C，过这三点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与

x

轴、y

轴围成的矩形的面积分别为

SA，SB，SC，则

(

)yxOABCC做一做根据前面探究的归纳，这三个矩形的面积均为1例

3

如图，点

A

在反比例函数的图像上，AC⊥x轴于点C，且△AOC的面积为2，求该反比例函数的表达式．解：设点A的坐标为(xA，yA)，∵点A在反比例函数的图像上，∴xA·yA＝k.又∵

S△AOC＝k

＝

2，∴k＝4.∴

反比例函数的表达式为1.如图，过反比例函数图像上的一点P，作PA⊥x轴于A.若△POA的面积为6，则k=

.－12yxOPA练一练k的绝对值为12

图像在第二、四象限，故

k＜02.

若点P是反比例函数图像上的一点，过点P分别向

x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M，N，若四边形

PMON的面积为3，则这个反比例函数的关系式是

.或根据面积得出|k|

为3，未说明图像经过的象限，因此

k

等于3或

-3.例

4

如图，P，C

是函数(x＞0)图像上的任意两点，PA，CD垂直于

x轴.设△POA的面积为S1，则S1=

；梯形

CEAD的面积为S2，则S1与S2的大小关系是S1

S2；△POE的面积S3和S2的大小关系是

S2

S3.2S1S2＞＝S3

如图，直线与双曲线交于A，B两点，P是

AB上的点，△AOC的面积S1、△BOD的面积S2、△POE的面积S3的大小关系为

.S1=S2＜S3练一练解析：由反比例函数面积的不变性易知S1=S2.PE与双曲线的一支交于点F，连接OF，易知

S△OFE

=S1=S2，而S3＞S△OFE，所以S1，S2，S3的大小关系为

S1=S2＜S3.FS1S2S3例

5

如图，点A是反比例函数(x＞0)

图像上的任意一点，AB∥x轴交反比例函数

(x＜0)的图像于点B，以AB为边作□

ABCD，其中点C，D在x轴上，则S□ABCD=___.yDBACx325方法总结：解决反比例函数有关的面积问题，可以把原图形通过切割、平移等变换（割补法），转化为较容易求面积的图形.O

如图，函数y＝－x与函数的图像相交于A，B两点，过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为

C，D，则四边形

ACBD

的面积为(

)A.2B.4C.6D.8DyxOCABD练一练44反比例函数与一次函数的综合四

在同一坐标系中，函数和y=k2x+b的图像大致如下，则k1

、k2、b各应满足什么条件？k2＞0b＞0k1＞0k2＞0b＜0k1＞0合作探究①xyOxyO②k2＜0b＜0k1＜0k2＜0b＞0③xyOk1＞0④xyOy=k2x+b

例

6

函数y=kx－k与

的图像大致是()

D.xyOC.yA.yxB.xyODOOk＜0k＞0×××√k＞0k＜0k＞0由一次函数与

y轴交点知－k＞0，则

k＜0.x提示：由于两个函数表达式都含有相同的系数k，可对k的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案.

在同一直角坐标系中，函数与y=ax+1(a≠0)的图像可能是

(

)A.yxOB.yxOC.yxOD.yxOB练一练a＞0，a＜0，矛盾

a＞0a＞0，成立

不满足与

y轴交点为（0，1）

a＜0，a＞0，矛盾

例

7

如图是一次函数y1=

kx

+

b和反比例函数的图像，观察图像，当y1＞y2时，x的取值范围为

.－23yxO

－2＜x＜0或x＞3解析：y1＞y2即一次函数图像处于反比例函数图像的上方时.观察右图，可知－2＜x＜0或x＞3.方法总结：对于一些题目，借助函数图像比较大小更加清晰明了.练一练

如图，一次函数y1=k1x+b

(k1

≠

0)的图像与反比例函数

的图像交于A，B两点，观察图像，当

y1＞y2

时，x的取值范围是

．－12yxOA

B

－1＜x＜0或x＞2例

8

已知一个正比例函数与一个反比例函数的图像交于点P(－3，4).试求出它们的表达式，并画出图像.

由于这两个函数的图像交于点P(－3，4)，故点P(－3，4)同时在这两个函数图像上，即点P的坐标分别满足这两个函数表达式.解：设正比例函数、反比例函数的表达式分别为

y=k1x和.

所以，.解得，.P则这两个函数的表达式分别为和，它们的图像如图所示.这两个图像有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？想一想：

反比例函数

的图像与正比例函数y=3x的图像的交点坐标为

．(2，6)和(－2，－6)解析：联立两个函数表达式，解方程即可.

练一练1.

下列关于反比例函数的图像的三个结论：

(1)经过点(－1，12)和点(10，－1.2)；

(2)在每一个象限内，y随x的增大而减小；

(3)双曲线位于第二、四象限.其中正确的是

(填序号).(1)(3)都满足表达式，符合题意-12＜0，图像位于第二、四象限，在每个象限内

y

随

x

的增大而增大，故(2)不对，(3)对当堂练习2.已知反比例函数的图像过点(－2，－3)，图像上有两点

A(x1，y1)，B(x2，y2)，

且x1＞x2＞0，则y1－y2

0.＜k=-2×(-3)=66＞0，图像在第一象限，y随

x的增大而减小，因此

y1＜y23.

已知反比例函数的图像经过点A(2，－4).(1)求k的值；(2)这个函数的图像分布在哪些象限？y随x的增大如何变化？解：(1)依题意把点A(2，－4)

代入表达式，得，解得k=－8.(2)这个函数的图像位于第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大.(3)画出该函数的图像；(4)点

B(1，－8)，C(－3，5)是否在该函数的图像上？因为点B的坐标满足该函数表达式，而点C的坐标不满足该函数表达式，所以点B在该函数的图像上，点C不在该函数的图像上.(4)该反比例函数的表达式为

.Oxy解：(3)如图所示.4.已知反比例函数y=mx