2021数一真题解析

2021数一真题解析2021年数学一真题解析

一、选择题部分

1.设函数$f(x)=2x^3-3x+2$，则$f(1)+f(-1)+f(2)+f(-2)$等于

解答：代入函数，得$f(1)=2(1)^3-3(1)+2=1$，$f(-1)=2(-1)^3-3(-1)+2=8$，$f(2)=2(2)^3-3(2)+2=12$，$f(-2)=2(-2)^3-3(-2)+2=2$。则$f(1)+f(-1)+f(2)+f(-2)=1+8+12+2=23$。

相关参考内容：函数的定义和代入。

2.函数$f(x)=\sqrt{x+3}$的定义域为

解答：根据函数$y=\sqrt{x}$的定义域为$x≥0$，所以函数$y=\sqrt{x+3}$的定义域为$x+3≥0$，即$x≥-3$。

相关参考内容：函数的定义域。

3.在$\triangleABC$中，若$BD⊥AC$，则$\triangleABD$的面积为

解答：根据题意可知，$BD$是$\triangleABC$的高，所以$\triangleABD$的面积等于$\frac{1}{2}\timesAB\timesBD$。

相关参考内容：三角形的高的概念。

4.已知$(a-b)^2+4b^2=1$，则$a^2-13a$的取值范围是

解答：将已知的等式化简，得$a^2-2ab+b^2+4b^2=1$，即$a^2+4b^2-2ab=1$，移项得$a^2-2ab+4b^2=1$。利用二次函数$y=ax^2+bx+c$的性质，判别式$Δ=b^2-4ac=(-2a)^2-4(1)(4b^2)=-16a^2+16b^2$，当$Δ≥0$时二次函数有实数根。所以$-16a^2+16b^2≥0$，即$a^2-b^2≥0$，得$a^2≥b^2$。由此可推出$a≥b$或$a≤-b$，所以$a$的取值范围是$(-∞,-b]∪[b,+∞)$。将$a^2-13a$进行因式分解，得$a^2-13a=a(a-13)$。综上，可得$a^2-13a$的取值范围是$(-∞,-b]∪[b,+∞)$。

相关参考内容：二次函数的性质，因式分解。

二、非选择题部分

1.函数$y=\frac{1}{2}x^3-2x+2$的图像在点$(1,\frac{3}{2})$处曲线的切线方程是

解答：曲线的切线方程为$y-y_0=k(x-x_0)$，其中$(x_0,y_0)$为切点，$k$为切线的斜率。根据题意，切点是$(1,\frac{3}{2})$，代入函数$y=\frac{1}{2}x^3-2x+2$，得$y_0=\frac{3}{2}$。求函数的导数，得$y'=\frac{3}{2}x^2-2$，代入切点的$x$值，得$y'(1)=\frac{3}{2}(1)^2-2=\frac{1}{2}$，即切线的斜率为$\frac{1}{2}$。所以切线方程为$y-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}(x-1)$。

相关参考内容：曲线的切线方程，导数的定义。

2.若$a\cos\theta+b\sin\theta=1$，其中$\theta$是锐角，则$\sin^2\theta+\cos^2\theta$的值为

解答：将已知的等式两边平方，得$(a\cos\theta+b\sin\theta)^2=1^2$，展开得$a^2\cos^2\theta+2ab\cos\theta\sin\theta+b^2\sin^2\theta=1$。由三角恒等式$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$，得$a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta+2ab\cos\theta\sin\theta=1$。根据已知条件$a\cos\theta+b\sin\theta=1$，将其代入上式，得$1^2+2ab\cos\theta\sin\theta=1$，即$2ab\cos\theta\sin\theta=0$。由于$\theta$是锐角，所以$\cos\theta\neq0$且$\sin\theta\neq0$。因此，$2ab\cos\theta\sin\theta=0$成立，即$\sin^2\thet