专题03 三角形折叠中的角度问题（含解析）

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专题03三角形折叠中的角度问题

1．如图，在ABC中，∠ACB＝90°，∠B-∠A＝10°，D是AB上一点，将ACD沿CD翻折后得到CED，边CE交AB于点F．若DEF中有两个角相等，则∠ACD的度数为（）

A．15°或20°B．20°或30°C．15°或30°D．15°或25°

2．如图，在ABC中，∠B+∠C＝α，按图进行翻折，使，则∠FE的度数是（）

A．B．90°﹣C．α﹣90°D．2α﹣180°

3．如图4所示，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，

若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠α的度数是（）

A．80°B．100°C．60°D．45°．

4．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使得点A落在四边形BCDE的外部A'的位置，且A'与点C在直线AB的异侧，折痕为DE，已知∠C＝90°，∠A＝30°．若保持△A′DE的一边与BC平行，则∠ADE的度数．

5．如图：，，将沿一条直线MN折叠，使点C落到位置，则．

6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E，F分别是边AC，AB上的点，连接EF，将△AEF沿EF折叠，得到，当的边与△ABC的一边平行时，∠AEF的度数是．

7．如图，把ABC纸片沿DE折叠，使点A落在图中的处，若∠A＝25，，则＝．

8．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内时，∠A与∠1＋∠2之间有始终不变的关系是．

9．如图，将沿，，翻折，三个顶点均落在点处，且与重合于线段，若，则的度数为.

10．如图，将三角形纸片（△ABC）进行折叠，使得点B与点A重合，点C与点A重合，压平出现折痕DE，FG，其中D，F分别在边AB，AC上，E，G在边BC上，若∠B＝25°，∠C＝45°，则∠EAG的度数是°．

11．如图，将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，则∠1+∠2的度数为°．

12．如图（1）是一个三角形的纸片，点D、E分别是边上的两点，

研究（1）：如果沿直线折叠，写出与的关系，并说明理由．

研究（2）：如果折成图2的形状，猜想和的关系，并说明理由．

研究（3）：如果折成图3的形状，猜想和的关系，并说明理由．

13．如图，将△ABC分别沿AB，AC翻折得到△ABD和△AEC，线段BD与AE交于点F．

（1）若∠ABC=16，∠ACB=30°，求∠DAE及∠BFE的值；

（2）若BD与CE所在的直线互相垂直，求∠CAB的度数．

14．如图，在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将沿着DE折叠压平，A与A'重合．

（1）若，则___________；

（2）若，则___________；

（3）由（1）（2）探索与之间的数量关系，并说明理由．

15．（1）如图1，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，

①写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；

②设的度数为x，∠的度数为，那么∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式表示）

③∠A与∠1、∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．

(2)如图2，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE外部时，∠A与∠1、∠2的数量关系是否发生变化？如果发生变化，求出∠A与∠1、∠2的数量关系；如果不发生变化，请说明理由.

16．（1）如图1，把沿折叠，使点A落在点处，试探索与的关系（不必证明）

（2）如图2，平分，平分，把折叠，使点A与点I重合，若，求的度数；

（3）如图3，在锐角中，于点F，于点G，、交于点H，把折叠使点A和点H重合，试探索与的关系，并证明你的结论．

17．如图①所示，在三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落在内的点处.

（1）若，________.

（2）如图①，若各个角度不确定，试猜想，，之间的数量关系，直接写出结论.

②当点落在四边形外部时（如图②），（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，请说明理由，若不成立，，，之间又存在什么关系？请说明．

（3）应用：如图③：把一个三角形的三个角向内折叠之后，且三个顶点不重合，那么图中的和是________.

18．阅读理解：如图，中，沿的平分线折叠，剪掉重复部分：将余下部分沿的平分线折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿的平分线折叠，点与点重合，无论折叠多少次，只要最后一次折叠恰好重合，就被称为是的好角．探究发现：小丽和小亮展示了确定是的好角的两种情形．小丽展示的如图，沿等腰三角形顶角的平分线折叠，点与点重合；小亮展示的如图，沿的平分线折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿的平分线折叠，此时点与点重合．

（1）问题解决：图中与的关系为______，图中与的关系为______．

（2）小丽又经过三次折叠发现了是的好角，请探究与（不妨设）之间的等量关系为______．根据以上内容猜想：若经过次折叠是的好角，则与（不妨设）之间的等量关系为______．

（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为，，，发现和的两个角都是此三角形的好角．如果以为好角，那么这个三角形需要经过______次折叠，如果以为好角，那么这个三角形需要经过______次折叠．

（4）应用提升：如果一个三角形的最小角是，若使该三角形的三个角均是此三角形的好角，则三角形另外两个角的度数是多少？请以（______，______）的形式写出所有可能的结果；

19．在中，于点

（1）如图1，若的角平分线交于点，，，求的度数；

（2）如图2，点分别在线段上，将折叠，点落在点处，点落在点处，折痕分别为和，且点，点均在直线上，若，试猜想与之间的数量关系，并加以证明；

（3）在（2）小题的条件下，将绕点逆时针旋转一个角度（），记旋转中的为（如图3），在旋转过程中，直线与直线交于点，直线与直线交于点，若，是否存在这样的两点，使为直角三角形？若存在，请直接写出旋转角的度数；若不存在，请说明理由.

参考答案：

1．C

【分析】由三角形的内角和定理可求解∠A=40°，设∠ACD=x°，则∠CDF=40°+x，∠ADC=180°-40°-x=140°-x，由折叠可知：∠ADC=∠CDE，∠E=∠A=40°，可分三种情况：当∠DFE=∠E=40°时；当∠FDE=∠E=40°时；当∠DFE=∠FDE时，根据∠ADC=∠CDE列方程，解方程可求解x值，即可求解．

【详解】解：在△ABC中，∠ACB=90°，

∴∠B+∠A=90°，

∵∠B-∠A=10°，

∴∠A=40°，∠B=50°，

设∠ACD=x°，则∠CDF=40°+x，∠ADC=180°-40°-x=140°-x，

由折叠可知：∠ADC=∠CDE，∠E=∠A=40°，

当∠DFE=∠E=40°时，

∵∠FDE+∠DFE+∠E=180°，

∴∠FDE=180°-40°-40°=100°，

∴140°-x=100°+40°+x，

解得x=0（不存在）；

当∠FDE=∠E=40°时，

∴140°-x=40°+40°+x，

解得x=30°，

即∠ACD=30°；

当∠DFE=∠FDE时，

∵∠FDE+∠DFE+∠E=180°，

∴∠FDE=＝70°，

∴140°-x=70°+40°+x，

解得x=15，

即∠ACD=15°，

综上，∠ACD=15°或30°，

故选：C．

【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据∠ADC=∠CDE分三种情况列方程是解题的关键．

2．D

【分析】设∠ADB′＝γ，∠AGC′＝β，∠CEB′＝y，∠C′FE＝x，利用平行线的性质，三角形内角和定理构建方程组即可解决问题．

【详解】解：设∠ADB′＝γ，∠AGC′＝β，∠CEB′＝y，∠C′FE＝x，

∵，

∴，，

∴γ+β＝∠B+∠C＝α，

∵EB′∥FG，

∴∠CFG＝∠CEB′＝y，

∴x+2y＝180°①，

根据平行线的性质和翻折的性质可得：，，

∴，

∵γ+y＝2∠B，

同理可得出：β+x＝2∠C，

∴γ+y+β+x＝2α，

∴x+y＝α②，

②×2﹣①可得x＝2α﹣180°，

∴∠C′FE＝2α﹣180°．

故选：D．

【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．

3．A

【分析】先根据三角形的内角和定理易计算出，，，根据折叠的性质得到，，，可计算出，然后根据，即可得到．

【详解】解：设，则，，

，

，解得，

，，，

是沿着边翻折形成的，

，，

，

又是沿着边翻折形成的，

，

而，

．

故选：A．

【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理以及周角的定义，解题的关键是掌握折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．

4．45°或30°

【分析】分DA'BC或EA'BC两种情况，分别画出图形，即可解决问题．

【详解】解：当DA'BC时，如图，

∠A'DA=∠ACB=90°，

∵△ADE沿DE折叠到A'DE，

∴∠ADE=∠A'DE=∠ADA′＝45°，

当EA'BC时，如图，

在△ABC中，∠B=180°-∠C-∠A=60°，

∴∠2=∠ABC=60°，

由折叠可知，∠A′=∠A=30°，

在△A′EF中，∠A′+∠2+∠A′FE=180°，

∴∠2=180°-∠A′-∠A′FE=150°-∠A′FE，

在四边形BCDF中，∠1+∠C+∠B+∠BFD=360°，

∴∠1=360°-∠C-∠B-∠BFD=210°-∠BFD，

∵∠BFD=∠A′FE，

∴∠1-∠2=210°-150°=60°，

∴∠1=∠2+60°=120°，

∵△ADE沿DE折叠到A'DE，

∴∠ADE=∠A'DE=∠ADA′=（180°-∠1）=30°，

综上所述，∠ADE的度数为：45°或30°．

故答案为：45°或30°．

【点睛】本题主要考查了翻折的性质，平行线的性质等知识，能根据题意，运用分类讨论思想分别画出图形是解题的关键．

5．100°

【分析】由三角形内角和定理，可求得∠C的度数，又由折叠的性质，求得∠C1的度数，然后由三角形外角的性质，求得答案．

【详解】解：如图，∵∠B＝70°，∠A＝60°，

∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠C＝50°，

由折叠可知：∠C1＝∠C＝50°，

∵∠3＝∠2+∠C1

∠1=∠3+∠C，

∴∠1=∠2+∠C1+∠C，

∴∠1﹣∠2＝2∠C=100°．

故答案为：100°．

【点睛】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理以及三角形外角等于和它不相邻的两个内角和的性质．此题难度适中，注意折叠中的对应关系，注意掌握转化思想的应用．

6．30°或75°或120°

【分析】分三种情况讨论，利用翻折变换和平行线的性质可求∠AEF的度数．

【详解】解：如图1，

若时，

∴，

∵∠C＝90°，∠A＝30°，

∴，

∵将△AEF沿EF折叠，得到，

∴，

∴∠BFE＝180°﹣∠AFE，

∴∠AFE﹣60°＝180°﹣∠AFE，

∴∠AFE＝120°，

∴∠AEF＝180°﹣120°﹣30°＝30°；

如图2，设与AB交于点H，

若时，

∴∠BCA＝∠FHA＝90°，

∴∠AFH＝180°﹣∠AHF﹣∠A＝180°﹣90°﹣30°＝60°，

∵将△AEF沿着EF折叠，

∴；

∴∠AEF＝180°﹣∠A﹣∠AFE＝120°；

如图3，

若时，

∴，

∴，

∵将△AEF沿着EF折叠，

∴；

综上所述：30°或75°或120°．

【点睛】本题是翻折变换，平行线的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．

7．70°

【分析】如图，利用折叠性质得∠ADE=∠A′DE=30°，∠AED=∠A′ED，再根据三角形外角性质得∠CED=55°，利用邻补角得到∠AED=125°，则∠A′ED=125°，然后利用∠A′EC=∠A′ED-∠CED进行计算即可．

【详解】∵∠BDA'=120°，

∴∠ADA'=60°，

∵△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A'处，

∴∠ADE=∠A′DE=30°，∠AED=∠A′ED，

∵∠CED=∠A+∠ADE=25°+30°=55°，

∴∠AED=125°，

∴∠A′ED=125°，

∴∠A′EC=∠A′ED-∠CED=125°-55°=70°．

故答案为：70°．

【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

8．2∠A＝∠1＋∠2

【分析】根据∠1与∠AED的2倍和∠2与∠ADE的2倍都组成平角，结合△AED的内角和为180°可求出答案．

【详解】∵△ABC纸片沿DE折叠，

∴∠1＋2∠AED＝180°，∠2＋2∠ADE＝180°，

∴∠AED＝（180°∠1），∠ADE＝（180°∠2），

∴∠AED＋∠ADE＝（180°∠1）＋（180°∠2）＝180°（∠1＋∠2）

∴△ADE中，∠A＝180°（∠AED＋∠ADE）＝180°[180°（∠1＋∠2）]＝（∠1＋∠2），

即2∠A＝∠1＋∠2．

故答案为：2∠A＝∠1＋∠2．

【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°及图形翻折变换的性质是解答此题的关键．

9．

【分析】根据翻折的性质可知，，；由三角形内角和可知，从而，即可解决问题．

【详解】由题意得：，，，

∵，

∴.

∵，

∴.

故答案为：102°．

【点睛】本题考查了图形的翻折以及三角形的内角和，灵活运用三角形的内角和是解题的关键.

10．40°

【分析】依据三角形内角和定理，即可得到∠BAC的度数，再根据折叠的性质，即可得到∠BAE=∠B=25°，∠CAG=∠C=45°，进而得出∠EAG的度数．

【详解】∵∠B=25°,∠C=45°，

∴∠BAC=180°25°45°=110°，

由折叠可得,∠BAE=∠B=25°,∠CAG=∠C=45°，

∴∠EAG=110°(25°+45°)=40°，

故答案为40°

【点睛】此题考查三角形内角和定理，折叠的性质，解题关键在于得到∠BAC的度数

11．180°

【详解】∵将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，

∴∠B=∠HOG,∠A=∠DOE,∠C=∠EOF,∠1+∠2+∠HOG+∠EOF+∠DOE=360°，

∵∠HOG+∠EOF+∠DOE=∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠1+∠2=360°180°=180，

故答案为180.

12．（1）∠BDA′=2∠A，理由见解析；（2）∠BDA′+∠CEA′=2∠A，理由见解析；（3）∠BDA′-∠CEA′=2∠A，理由见解析

【分析】（1）翻折问题要在图形是找着相等的量．图1中DE为折痕，有∠A=∠DA′A，再利用外角的性质可得结论∠BDA′=2∠A；

（2）根据图2中∠A与∠DA′E是相等的，再结合四边形的内角和及互补角的性质可得结论∠BDA′+∠CEA′=2∠A；

（3）根据图3中由于折叠∠A与∠DA′E是相等的，再两次运用三角形外角的性质可得结论．

【详解】解：（1）∠BDA′=2∠A；

根据折叠的性质可知∠DA′E=∠A，∠DA′E+∠A=∠BDA′，故∠BDA′=2∠A；

（2）∠BDA′+∠CEA′=2∠A，

理由：在四边形ADA′E中，∠A+∠DA′E+∠ADA′+∠A′EA=360°，

∴∠A+∠DA′E=360°-∠ADA′-∠A′EA，

∵∠BDA′+∠ADA′=180°，∠CEA′+∠A′EA=180°，

∴∠BDA′+∠CEA′=360°-∠ADA′-∠A′EA，

∴∠BDA′+∠CEA′=∠A+∠DA′E，

∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，

∴∠A=∠DA′E，

∴∠BDA′+∠CEA′=2∠A；

（3）∠BDA′-∠CEA′=2∠A，

理由：如图3，DA′交AC于点F，

∵∠BDA′=∠A+∠DFA，∠DFA=∠A′+∠CEA′，

∴∠BDA′=∠A+∠A′+∠CEA′，

∴∠BDA′-∠CEA′=∠A+∠A′，

∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，

∴∠A=∠DA′E，

∴∠BDA′-∠CEA′=2∠A．

【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理以及翻折变换的性质，遇到折叠的问题，一定要找准相等的量，结合题目所给出的条件在图形上找出之间的联系则可．

13．（1）42°，108°；（2）135°．

【分析】由“∠ABC=16，∠ACB=30°”可以求出∠BAC的度数，根据翻折的性质可以求出∠DAE与∠BFE的度数，由“BD与CE所在的直线互相垂直”可得∠DBC+∠ECB=90°，再利用翻折的性质可求出答案

【详解】解：（1）∵∠ABC=16°，∠ACB=30°，

∴∠BAC=134°，

∵△ABC≌△ABD，△ABC≌△AEC，

∴∠BAD=∠EAC=134°；∠DAE=134°×3－360°=42°．

∵∠D=∠ACB=30°，

∴∠BFE=∠DFA=180°－42°-30°=108°；

（2）∵BD所在直线与CE所在直线互相垂直，

∴∠DBC+∠ECB=90°，

∵翻折

∴∠ABC=∠DBC∠ACB=∠ECB

∴∠ABC+∠ACB=(∠DBC+∠ECB)=45°，

∴∠CAB=180°－(∠ABC+∠ACB)=135°．

【点睛】本题的关键是利用翻折的性质解答

14．（1）150°；（2）∠1+∠2=2n°；（3）2∠A=∠1+∠2

【分析】（1）先根据图形翻折变化的性质得出∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，再根据三角形内角和定理求出∠AED+∠ADE及∠A′ED+∠A′DE的度数，然后根据平角的性质即可求出答案；

（2）先根据图形翻折变化的性质得出∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，再根据三角形内角和定理表示出∠AED+∠ADE及∠A′ED+∠A′DE，然后根据平角的性质即可求出答案；

（3）先根据图形翻折变化的性质得出∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，再根据三角形内角和定理表示出∠AED+∠ADE及∠A′ED+∠A′DE，然后根据平角的性质即可求出答案．

【详解】解：（1）∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，

∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°，

∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°-75°=105°，

∴∠1+∠2=360°-2×105°=150°；

（2）∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，

∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=n°，

∵∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°-n°，

∴∠1+∠2=360°-2(180°-n°)=2n°，

∴∠1+∠2=2n°；

（3）2∠A=∠1+∠2．

∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，

∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′，

∵∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠A′ED+∠A′DE=180°-∠A′，

∴∠1+∠2=360°-2(180°-∠A)=2∠A，

∴∠1+∠2=2∠A．

【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

15．（1）①△EAD≌△EA′D，其中∠EAD=∠EA′D，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE；②∠1=180°2x,∠2=180°2y；③∠A=（∠1+∠2）；（2）变化，∠A=（∠2-∠1），见详解

【分析】（1）①根据翻折方法可得△ADE≌△A′DE；

②根据翻折方法可得∠AEA′=2x，∠ADA′=2y，再根据平角定义可得∠1=180°-2x，∠2=180°-2y；

③首先由∠1=180°-2x，2=180°-2y，可得x=90-∠1，y=90-∠2，再根据三角形内角和定理可得∠A=180°-x-y，再利用等量代换可得∠A=（∠1+∠2）；

（2）根据折叠的性质和三角形内角和定理解答即可．

【详解】（1）①根据翻折的性质知△EAD≌△EA′D，

其中∠EAD=∠EA′D，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE；

②）∵∠AED=x，∠ADE=y，

∴∠AEA′=2x，∠ADA′=2y，

∴∠1=180°-2x，∠2=180°-2y；

③∠A=（∠1+∠2）；

∵∠1=180°-2x，∠2=180°-2y，

∴x=90-∠1，y=90-∠2，

∴∠A=180°-x-y=190-（90-∠1）-（90-∠2）=（∠1+∠2）．

（2））∵△A′DE是△ADE沿DE折叠得到，

∴∠A′=∠A，

又∵∠AEA′=180°-∠2，∠3=∠A′+∠1，

∴∠A+∠AEA′+∠3=180°，

即∠A+180°-∠2+∠A′+∠1=180°，

整理得，2∠A=∠2-∠1．

∴∠A=（∠2-∠1）．

【点睛】此题主要考查了翻折变换，关键是掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

16．（1）见解析；（2）117.5°；（3）∠BHC=180°-（∠1+∠2），证明见解析

【分析】（1）根据翻折变换的性质以及三角形内角和定理以及平角的定义求出即可；

（2）根据三角形角平分线的性质得出∠IBC+∠ICB=90°-∠A，得出∠BIC的度数即可；

（3）根据翻折变换的性质以及垂线的性质得出，∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°，进而求出∠A=（∠1+∠2），即可得出答案．

【详解】解：（1）根据翻折的性质，∠ADE=（180°-∠1），∠AED=（180°-∠2），

∵∠A+∠ADE+∠AED=180°，

∴∠A+（180-∠1）+（180-∠2）=180°，

整理得2∠A=∠1+∠2；

（2）由（1）∠1+∠2=2∠A，得2∠A=110°，

∴∠A=55°，

∵IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，

∴∠IBC+∠ICB=（∠ABC+∠ACB）

=（180°-∠A）=90°-∠A，

∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB），

=180°-（90°-∠A）=90°+×55°=117.5°；

（3）∵BF⊥AC，CG⊥AB，

∴∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°，

∠FHG+∠A=180°，

∴∠BHC=∠FHG=180°-∠A，由（1）知∠1+∠2=2∠A，

∴∠A=（∠1+∠2），

∴∠BHC=180°-（∠1+∠2）．

【点睛】此题主要考查了图形的翻着变换的性质以及角平分线的性质和三角形内角和定理，正确的利用翻折变换的性质得出对应关系是解决问题的关键．

17．(1)50°；(2)①见解析;②见解析;(3)360°.

【分析】（1）根据题意，已知，，可结合三角形内角和定理和折叠变换的性质求解；

（2）①先根据折叠得：∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED，由两个平角∠AEB和∠ADC得：∠1+∠2等于360°与四个折叠角的差，化简得结果；

②利用两次外角定理得出结论；

（3）由折叠可知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于六边形的内角和减去（∠B'GF+∠B'FG）以及（∠C'DE+∠C'ED）和（∠A'HL+∠A'LH），再利用三角形的内角和定理即可求解．

【详解】解：（1）∵，，

∴∠A′=∠A=180°-（65°+70°）=45°，

∴∠A′ED+∠A′DE=180°-∠A′=135°，

∴∠2=360°-（∠C+∠B+∠1+∠A′ED+∠A′DE）=360°-310°=50°；

（2）①,理由如下

由折叠得：∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED，

∵∠AEB+∠ADC=360°，

∴∠1+∠2=360°-∠ADE-∠A′DE-∠AED-∠A′ED=360°-2∠ADE-2∠AED，

∴∠1+∠2=2（180°-∠ADE-∠AED）=2∠A；

②，理由如下：

∵是的一个外角

∴.

∵是的一个外角

∴

又∵

∴

（3）如图

由题意知，

∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=720°-（∠B'GF+∠B'FG）-（∠C'DE+∠C'ED）-（∠A'HL+∠A'LH）=720°-（180°-∠B'）-（180°-C'）-（180°-A'）=180°+（∠B'+∠C'+∠A'）

又∵∠B=∠B'，∠C=∠C'，∠A=∠A'，

∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．

【点睛】题主要考查了折叠变换、三角形、四边形内角和定理．注意折叠前后图形全等；三角形内角和为180°；四边形内角和等于360度．

18．（1）；；（2）；；（3）7次，4次；（4）16°，160°或44°，132°或88°，88°或8°，168°或4°，172°．

【分析】（1）利用折叠的性质以及三角形的外角的性质解决问题即可．

（2）根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1B1C=∠A1A2B2，根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C，根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1B1C=∠BAC+2∠B-2C=180°，根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，可得∠B=3∠C，第二个问题探究规律，利用规律解决问题即可．

（3）以60°为好角，105°÷15°=7，需要折叠7次，以105°为好角，60°÷15°=4，需要折叠4次．

（4）根据好角定义，则可设另两角分别为4m°，4mn°（其中m，n都是正整数）．根据二元方程，求整数解即可．

【详解】解：（1）∵折叠后，B，C重合，

∴∠B=∠C；

∠B=2∠C，

小丽展示的情形二中，

∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，

∴∠B=∠AA1B1；

又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，

∴∠A1B1C=∠C；

∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C（外角定理），

∴∠B=2∠C．

故答案为：∠B=∠C，∠B=2∠C．

（2）在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；

将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，

将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，

则∠BAC是△ABC的好角．

∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1B1C=∠A1A2B2，

∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；

∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1B1C=∠BAC+2∠B-2C=180°，

根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，

∴∠B=3∠C；

由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；

由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；

由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；

故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C．

故答案为：∠B=3∠C，∠B=n∠C．

（3）当以60°为好角，105°÷15°=7，需要折叠7次，

当以105°为好角，60°÷15°=4，需要折叠4次．

故答案为：7，4．

（4）由（2）知，∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，

∵最小角是4°是△ABC的好角，

根据好角定义，则可设另两角分别为4m°，4mn°（其中m，n都是正整数）．

由题意，得4m+4mn+4=180，

∴m（n+1