湘教版数学九年级上册 第1章反比例函数微专题-一次函数和反比例函数综合训练（含解析）

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第1章反比例函数微专题

一次函数和反比例函数综合训练2

1．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于两点，直线与轴交于点．已知点的纵坐标为，当点的坐标为时，的面积为6．

(1)求反比例函数的表达式；

(2)求的面积；

(3)直接写出当时自变量的取值范围．

2．如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点．

(1)求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)若点在轴上，且的面积为，求点的坐标．

3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，交轴于点，交轴于点．

(1)求一次函数与反比例函数的函数关系式．

(2)连结，求的面积．

(3)根据图象直接写出时，的取值范围．

4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，交反比例函数的图象于点，点E是反比例函数图象上的一动点，横坐标为，轴交直线于点F，D是y轴上任意一点，连接、．

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)当t为何值时，为等腰直角三角形；

(3)点M是一次函数图像上一动点，点N是反比例函数图像上一动点，当四边形为平行四边形时，求出点M的坐标．

5．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A和B，与x轴交于点F，与y轴交于点C，点A的坐标为，点B的坐标为．

(1)求一次函数和反比例函数的关系式；

(2)若点E是点C关于x轴的对称点，求的面积；

(3)当函数值时，直接写出x的取值范围．

6．如图，直线与轴，轴分别交于点、两点，与双曲线相交于、两点，过作轴于点，已知，．

(1)求直线AB和双曲线的表达式；

(2)设点F是x轴上一点，使得，求点F的坐标．

7．如图，在矩形中，A，C两点分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上．反比例函数的图象经过点，一次函数的图象与反比例函数的图象交于B，D两点，已知点D的横坐标为2．

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；

(2)直接写出一次函数大于反比例时x的取值范围；

(3)在反比例函数的图象上是否存在点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

8．如图，在矩形中，，，点是边的中点，反比例函数的图象经过点，交于点，直线的解析式为．

(1)求反比例函数的解析式和直线的解析式；

(2)在轴上找一点，使的周长最小，求此时点的坐标；

9．如图，直线与反比例函数在第一象限的图象交于A，B两点，与x轴交于点D，过点B作x轴的垂线，垂足为C．

(1)求m的值及反比例函数的解析式；

(2)求的面积；

(3)在x轴上有一点P，且满足最小，请直接写出点P的坐标．

10．如图，直线交x轴于点M，点E是y轴正半轴上一点，且，以为边作矩形，反比例函数的图象经过点A，的延长线交直线于点．

(1)求反比例函数的解析式；

(2)若点B在x轴上，且，求点B的坐标．

11．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B．

(1)求a，k的值；

(2)直线经过点A，与反比例函数图像交于点，连接，求的面积．

12．如图，反比例函数（，）的图象与直线相交于点，过直线上点作轴于点，交反比例函数图象于点，且．

(1)求的值和的面积；

(2)直接写出不等式的解集；

(3)在轴上确定一点，使点到、两点距离之和最小，求点的坐标．

13．如图，直线与轴交于点，与双曲线相交于点轴于点，且．

(1)求双曲线的解析式．

(2)若为双曲线上点右侧的一点，且，连接，求的长．

14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，连接并延长与反比例函数的图象交于点．

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)是否在双曲线上存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形成为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，并求出该平行四边形的面积；若不存在，请说明理由．

15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在坐标轴上，且，连接，反比例函数的图象经过线段的中点D，与边分别交于点E，F，一次函数的图象经过E、F两点．

(1)求反比例函数的表达式；

(2)求一次函数的表达式；

(3)点P是x轴上一动点，当的值最小时，求点P的坐标．

16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴交于点，两点．

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)若点是第四象限内反比例函数图象上的一点，的面积是的面积的倍，求点的坐标．

17．一次函数与反比例函数的图象交于，两点，点的坐标为．

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)求的面积；

(3)过动点作轴的垂线，与一次函数和反比例函数的图象分别交于，两点，当在的上方时，请直接写出的取值范围．

18．如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限内交于点，点的横坐标为1，与轴交于点，与轴交于点，过点作轴，与反比例函数的图象交于点D．求：

(1)反比例函数的表达式；

(2)的面积．

(3)请直接写出：当取何值时，．

试卷第1页，共3页

试卷第1页，共3页

参考答案：

1．(1)

(2)

(3)或

【分析】（1）由一次函数解析式求得点的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；

（2）求得直线与轴的交点的坐标，然后利用即可求得；

（3）根据函数图象直接得出答案即可．

【详解】（1）一次函数的图象过点，点的纵坐标为，

，解得：，

点在反比例函数的图象上，

，

反比例函数的解析式为．

（2）过点作轴于，

，

，

，

把代入得：，得：，

点坐标，

，

，

．

（3）由图象可知，当时自变量的取值范围或．

【点睛】本题是一次函数和反比例函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，函数与不等式的关系，三角形的面积，求得点的坐标是解题的关键．

2．(1)，；

(2)点的坐标为或．

【分析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标的特征，求出点的坐标，代入即可；

（2）首先求出点的坐标为，再根据的面积为，求出，即可解决问题．

【详解】（1）把代入得：，

∴反比例函数的解析式为，

把代入得：，

∴的坐标为，

∴，解得，

∴一次函数的解析式为，

（2）把代入中，得，

∴点的坐标为

∵点的纵坐标等于6，

∴，

∴，

∴点的坐标为或．

【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数解析式．

3．(1)，

(2)

(3)或

【分析】（1）把的坐标代入反比例函数的解析式求出，把的坐标代入反比例函数解析式求出，把、的坐标代入一次函数的解析式得出方程组，求出方程组的解即可；

（2）求出一次函数与轴的交点坐标，的值，根据三角形的面积公式求出即可；

（3）结合图象和、的坐标即可求出答案．

【详解】（1）解：把代入代入，得：，

，

把代入得：，

，

把、的坐标代入得：

，

解得：，，

，

反比例函数的表达式是，一次函数的表达式是；

（2）把代入得：，

，，

，

即的面积是；

（3）根据图象和、的坐标得出，

当或时，的值大于反比例函数的值．

【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数与反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．

4．(1)，

(2)或

(3)

【分析】（1）根据待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式；

（2）分是以为斜边和以为直角边的等腰直角三角形，两种情况进行讨论求解即可．

（3）根据四边形为平行四边形，得到，，列式计算即可．

【详解】（1）解：把点A、B的坐标代入一次函数表达式得：，

解得：，

∴一次函数表达式为：；

把点C的坐标代入上式得：，

故点C的坐标为，

将点C的坐标代入反比例函数表达式得：，

∴反比例函数表达式为；

（2）解：①当是以为斜边的等腰直角三角形，

∴为直角，

过点D作于点H，如下图所示：

设点E的坐标为，则点，

∵为等腰直角三角形，，

∴，

∴，

解得（舍去），．

经检验是原方程的解；

②当是以为直角边的等腰直角三角形时，如图，

∵点E的坐标为，则点，

∴，

∴，

解得：（负值已舍去），

经检验是原方程的解；

综上：当或时，是等腰直角三角形．

（3）∵四边形为平行四边形，

∴，

∵点M是一次函数图像上一动点，点N是反比例函数图像上一动点，

设，则：，

∴，

∵，

∴，

∴，

解得：（负值已舍去），

经检验：是原方程的解，

∴．

【点睛】本题主要考查了求一次函数和反比例函数解析式，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，解分式方程，解题的关键是正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解．

5．(1)，

(2)32

(3)或

【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数的解析式求出m，再求出点B的坐标，把点A、点B的坐标代入一次函数的解析式中，可得结论；

（2）根据（1）一次函数的解析式求得点C的坐标，由轴对称的性质求得点的坐标，再根据三角形的面积公式求解即可；

（3）根据图象求解即可．

【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，，

∴，

∴，

∴，

把、代入得，，

解得，

，

∴一次函数解析式，反比例函数解析式；

（2）解：令，则，

∴，

∵点是点关于轴的对称点，

∴，

∴，

∴；

（3）∵，，

∴由图象可得，当函数值时，或．

【点睛】本题考查的是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，轴对称的性质以及待定系数法的运用，灵活运用数形结合思想求出有关点的坐标和图象的解析式是解题的关键．

6．(1)直线的表达式为：，双曲线的表达式为：

(2)，或，．

【分析】（1）根据已知条件求出、、点坐标，用待定系数法求出直线和反比例函数的解析式；

（2）根据三角形面积公式求得的长，即可求得点的坐标；

【详解】（1）解：，，

，，点的横坐标为，

直线经过点，

，解得，

直线的表达式为：，

把代入得，，

，，

点在双曲线上，

，

双曲线的表达式为：；

（2），，

，

，

，

，

，，

，或，．

【点睛】此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知待定系数法的运用．

7．(1)反比例函数解析式为；一次函数的表达式为

(2)或

(3)存在，点或

【分析】（1）将点的横纵坐标相乘，求出的值，进而求出点坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可；

（2）直接观察图象，即可求解；

（3）先求出，利用进行求解即可．

【详解】（1）解：∵在双曲线上，

∴，

∴反比例函数解析式为：，

当时，，

∴；

∵，在直线上，

∴，解得：，

∴一次函数的表达式为；

（2）解：观察图象得：当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方，

∴一次函数大于反比例时x的取值范围为或；

（3）解：存在；

∵四边形是矩形，

∴，

∴，

∵，

∴，

设点的横坐标为，

，

∵，

∴，

解得：或，

当时，；当时，；

∴存在点或，使．

【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与几何的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．

8．(1)

(2)

【分析】（1）根据线段中点的定义和矩形的性质得到，利用待定系数法求函数的解析式；

（2）作点D关于y轴的对称点，连接交y轴于P，连接，此时的周长最小，求得直线的解析式为，即可得到结论．

【详解】（1）解：∵点是边的中点，，

∴，

∵在矩形中，，

∴，

∵反比例函数的图象经过点D，

∴，

∴反比例函数的解析式为；

（2）解：∵反比例函数的解析式为，

当时，，

∴，

把和代入得：

，

∴，

∴直线DE的解析式为；

作点D关于y轴的对称点，连接交y轴于P，连接，此时的周长最小，

∵，

∴点的坐标为，

设直线的解析式为，

∴，

解得：，

∴直线的解析式为，

令，得，

∴点P的坐标为．

【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，轴对称——最短路线问题，正确的理解题意是解题的关键．

9．(1)4，

(2)

(3)

【分析】（1）根据待定系数法分别求出反比例函数与一次函数解析式即可；

（2）根据反比例函数的性质，直接求出面积即可；

（3）作点A关于x轴的对称点N，连接交x轴于点P，点P即为所求．

【详解】（1）一次函数的图象经过点B，

∴．

∴

∴点B的坐标为．

∴反比例函数的图象经过点B，

∴．

∴．

∴反比例函数的解析式为．

（2）点B的坐标是，轴，

∴，点C的坐标是，

∴．

把代入并解得．

∴

故

（3）作点B关于x轴的对称点，则

连接交x轴于点，点即为所求

联立和可得：

设直线的关系式为，由

，得

∴

∴

点P的坐标为

【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数与反比例函数解析式以及作对称点问题，根据已知得出对称点是解决问题的关键．

10．(1)

(2)或

【分析】（1）先求出点的坐标，再根据矩形的面积求出点的坐标，最后求出反比例函数的解析式；

（2）根据点的坐标求出点的坐标，再求出的长度，最后再根据勾股定理求出的长度，从而求出点的坐标．

【详解】（1）解：当时，，

解得：，

∴，即，

∵，

∴，

∵矩形，

∴，

∵点在反比例函数的图象上，

∴，

∴．

（2）解：当时，，

解得．

∴，则点

在中，，

∴或．

【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，以及勾股定理的运用，熟练掌握一次函数和反比例函数的图形和性质以及勾股定理是解答本题的关键．

11．(1)，

(2)8

【分析】（1）将点A的坐标代入一次函数表达式，求出，将点的坐标代入反比例函数表达式，求出的值即可；

（2）先求出的值，得到作轴于点F，交于点G，再求出，则，然后根据三角形面积公式列式计算即可．

【详解】（1）解：将点代入，得：，

解得：，

则点，

将点A的坐标代入反比例函数表达式得：，解得：；

（2）解：反比例函数的图像过点，

．

，，

作轴于点F，交于点G，

当时，，即点，

∴，

∴．

【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式、函数图像上点的坐标特征、三角形的面积等知识点，掌握数形结合思想是解答本题的关键．

12．(1)2，；

(2)；

(3)．

【分析】（1）根据点A的坐标和求出点B的坐标，从而得出k的值；根据一次函数和反比例函数的解析式得出点C的坐标；继而算出的面积；

（2）根据图形得出的解集，从而得出答案；

（3）作点C关于y轴对称点E，连接交y轴于点M，即为所求，设直线的解析式为，将点D和点E的坐标代入求出k和b的值，从而得到直线的解析式，然后求出直线与y轴的交点坐标，即点M的坐标．

【详解】（1）解：∵，

∴，，

∵，

∴，

，

；

解方程组，得或（舍去），

∴点的坐标为，

．

（2）解：∵点的坐标为，

∴由图像可知当时，，故当时，．

（3）解：作点C关于y轴对称点E，则，连接交y轴于点M，即为所求，

，

设直线的解析式为，则，解得，

∴直线的解析式为，当时，，

点M的坐标是．

【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数图像交点，求一次函数解析式，求反比例函数解析式，其中对两种函数图像的准确理解是解题的关键．

13．(1)

(2)

【分析】（1）把代入直线解析式求出x的值，确定出P坐标，代入反比例解析式求出k的值，即可确定出双曲线解析式；

（2）求出点Q的坐标即可．

【详解】（1）解：把代入中，得，

．

把代入中，得，

即，

把点的坐标代入得，

∴双曲线的解析式为．

（2）解：，

∴点在的垂直平分线上，

∴点的纵坐标是1．

∵当时，，

，

．

【点睛】此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定直线解析式，待定系数法确定反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

14．(1)，

(2)存在，32

【分析】（1）将点坐标代入反比例函数解析式求出的值，确定出反比例解析式，将点坐标代入反比例函数解析式求的值，确定出点坐标，将与两点坐标代入一次函数解析式求出与的值，即可确定出一次函数解析式；

（2）根据中心对称求得的坐标，然后根据平移的性质和的坐标即可求得的坐标，作轴于，轴于N，设直线交轴于，则，根据求得的面积，进而即可求得平行四边形的面积．

【详解】（1）解：将代入反比例函数解析式得：，

则反比例解析式为；

将代入反比例解析式得：，即，

将与坐标代入中，得：，

解得：，

则一次函数解析式为；

（2）解：存在，

∵、关于原点对称，，

∴，

∵四边形是平行四边形，

∴，

∴设直线的解析式为，

代入得，，

解得，

解，得或，

∴；

作轴于，轴于，设直线交轴于，则，

∴，

∴

，

∴．

【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，平行四边形的判定和性质，三角形的面积等，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

15．(1)反比例函数表达式为

(2)一次函数表达式

(3)

【分析】（1）根据中点求出，从而求出反比例函数表达式；

（2）根据图像求出E，F两点坐标，代入即可求出一次函数表达式；

（3）作点F关于轴对称点，连接，此时的值最小，即可求解．

【详解】（1）解：∵，

∴，

∵D为中点，

∴，

将点代入

∴反比例函数表达式为；

（2）解：点E的纵坐标为2，当

∴，

F横坐标为4，，

∴，

把E，F两点坐标代入中，，

∴

∴一次函数表达式；

（3）解：作点F关于轴对称点，连接，如图所示，

∴，

设直线的表达式为，交轴于点P，此时的值最小，

把E，F'坐标代入，

∴

∴直线的表达式，

当时，，

∴；

【点睛】本题考查了一次函数的图形与性质，涉及到待定系数法求解析式，灵活运用所学知识是关键．

16．(1)，．

(2)．

【分析】（1）根据点的坐标代入，，求得，进而可得，待定系数法求解析式即可求解；

（2）根据一次函数解析式分别令，得出，，根据，列出方程，即可求解．

【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上，

，

解得，，

反比例函数的表达式为；

点在反比例函数的图象上，

，解得

，

点，在一次函数的图象上，

，

解得，

一次函数的表达