高中数学一年级第4 6 2 4向量数量积6 2 4课件

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是

F

和

s

的夹角

.s

cos

qW

=

F同向垂直反向2．向量的数量积已知两个非零向量

a

与

b，它们的夹角为

θ，把数量

|a||b|cos

θ

叫做向量

a

与

b的数量积(或内积)，记作

a·b，即

a·b＝

|a||b|cos

θ

.规定零向量与任一向量的数量积为

0

．■名师点拨两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定．两个向量的数量积记作a·b，千万不能写成a×b

的形式．OMabq1M

NMONabqNMabq1M1O

M设与

b方向相同单位向量为e,

OM1

=

le即=

-

a

cos(p

-q)

=

a

cosq=

-

a

cos

—

MOM1当q

为钝角时，l

=-OM1OM1

=

a

cosq

e■名师点拨1→当θ＝0

时，OM

＝|a|eπ；当θ＝时，1→OM

＝0

；当θ∈0

π

2

2，

时，OM1→

π

2

→与

b

方向相同；当

θ∈

，π

时，OM1与

b

方向相反；当

θ＝π

时，→OM1＝－|a|e.4．向量数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则或|a|＝a·a.|a|2a·e＝e·a＝|a|cos

θ.a⊥b⇔

a·b＝0

．当a

与b

同向时，a·b＝

|a||b|

；当

a

与

b

反向时，a·b＝

－|a||b|

．特别地，a·a＝|a·b|

≤

_|a||b|.■名师点拨对于性质(2)，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个非零向量垂直，只需判定它们的数量积为0即可；若两个非零向量的数量积为0，则它们互相垂直．(结合律)．(分配律)．5．向量数量积的运算律(1)a·b＝

b·a

(交换律)．a·(λb)(2)(λa)·b＝

λ(a·b)

＝(3)(a＋b)·c＝

a·c＋b·c.CAO

A1Bqaq1q如图，任取一点O

，作OA

=a

，AB

=b

，OC

=c

.

a

+b

(即OB

)在c

方向上的投影等于

a

、b

在c

方向上的投影的和，即|

a

+

b

|

cosq

=|

a

|

cosq1

+

|

b

|

cosq2\

|

c

||

a

+

b

|

cosq

=|

c

||

a

|

cosq1

+

|

c

||

b

|

cosq2\

c

(a

+

b)

=

c a

+

c

b\

(a

+

b)

c

=

a c

+

b c

.B1

ca

+

b

2

b证：■名师点拨(1)向量的数量积不满足消去律；若a，b，c

均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b.(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c

是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c

与向量c

共线，a·(b·c)与向量a

共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．(3)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.平面向量的数量积运算【解】

(1)(a＋2b)·(a＋3b)＝a·a＋5a·b＋6b·b＝|a|2＋5a·b＋6|b|2＝|a|2＋5|a||b|cos

60°＋6|b|2＝62＋5×6×4×cos

60°＋6×42＝192.→

→(2)①因为AD∥BC，且方向相同，→所以→与BC的夹角是0°，AD→

→

→所以→·BC＝|AD||BC|·cos

0°＝3×3×1＝9.ADAB

AD②因为→与→的夹角为60°，→所以→与DA的夹角为120°，AB→

→

→所以→·DA＝|AB||DA|·cos

120°AB

1

＝4×3×

－2

＝－6.向量模的有关计算(2)向量a，b

满足|a|＝1，|a－b|＝

32

，a

与b

的夹角为60°，则|b|＝(

)A.131B.2C.151D.4a2＋4a·b＋4b2【解析】

(1)|a＋2b|＝

（a＋2b）2＝＝

|a|2＋4|a||b|cos

60°＋4|b|212＝

4＋4×2×1×

＋4＝2

3.34(2)由题意得|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2|a||b|·cos

60°＝，即1＋|b|2－【答案】

(1)B|b|＝3，解得|b|＝14

2.(2)B向量的夹角与垂直【解析】

(1)设

a

与

b

的夹角为

θ，(a＋2b)·(a－3b)＝a·a－3a·b＋2b·a－6b·b＝|a|2－a·b－6|b|2＝|a|2－|a||b|cos

θ－6|b|2＝62－6×4×cos

θ－6×42＝－72，所以24cos

θ＝36＋72－96＝12，1所以cos

θ＝2.又因为θ∈

0，π，所以θ＝3π.(2)设a

与b

的夹角为θ，由(a－b)⊥b，得(a－b)·b＝0，所以a·b2＝b

，所以cos

θ＝b2|a||b|.又因为|a|＝2|b|，所以cos

θ＝|b|2

12|b|

22＝

.又因为θ∈[0，π]，所以θ＝3π.【答案】

(1

π

(2

π)3

)3【证明】

因为|a

＋

tb|＝ （a＋tb）2

＝a2＋t2b2＋2ta·b

＝|b|2t2＋2a·bt＋|a|2，所以当t＝－2|b|2a·b

a·b|b|2＝－

2时，|a＋tb|有最小值．2

此时b·(a＋tb)＝b·a＋tb

＝a·b＋－a·b

|b|2·|b|2＝a·b－a·b＝0.所以b⊥(a＋tb)．【解析】

(1)因为

3a＋2b

与

ka－b

互相垂直，所以(3a＋2b)·(ka－b)＝0，所以3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0.因为a⊥b，所以a·b＝0，又|a|＝2，|b|＝3，3所以12k－18＝0，k＝2.(2)由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9