交大电气信号与系统分析课件第一章

第一章 信号与系统1§1.０引言本章将学习建立信号与系统的数学描述与数学表示，借以研究信号与系统分析中的基本概念及基本性质，为以后各章的学习打下基础。§1.１信号的描述与时域变换§1.1.1信号的表示:确知信号可表示为一个或几个自变量的函数连续时间信号:

;自变量的取值范围是连续的，在实数域内取值。离散时间信号:;自变量只能取整数，也称为离散时间序列。离散时间信号：对连续时间信号等间隔抽取样本:x(t)x(t),

x(t1,

t2

)2x[n],

x[n1,

n2

]x[n]

=

x[nT

]§1.1.2信号的自变量变换信号可视为自变量的函数，当自变量改变时，必然会使信号的特性相应地改变。1.

平移：

Shift

of

Signalst034x[n]fi

x[n

-n0

]或x[n

-n0

]n0大于0........x[n

-n0

]向右平移n0.....................x[n

+n0

]向左平移n0或者:52.信号的反转x(t)

fi

x(-t)x[n]

fi

x[-n]以为中心反转t

=

0n

=

06反转与平移相结合,即由例:x(n)

fix(-t

–

t0

)x(-n

–

n0

)x(t)

fix(-t

-1)x(t)

fix(t)

fi0

Tt作法一:x(t)110

1T+1tt

fi

t

-1x(t

-1)

fi

x(-t

-1)x(t

-1)t

fi

-t-T-1

-1x(-t

-1)1t0作法二:x(t)fi

x(t

+1)fi

x[-(t

+1)]-1T-1t10t

fi

t

+1t

+1

fi

-(t

+1)-T-1

-1x(-t

-1)1tx(t

+1)73.信号的尺度变换：Scalingx(t)x(at)a

>1时x(at)是将x(t)在时间轴上压缩a倍，0

<

a

<1时x(at)是将x(t)在时间轴上扩展1/a倍离散的例子:连续时间信号:

尺度变换离散时间信号:

内插与抽取内插8抽取

n为N的倍数0

其它nx

[n]

=

x[

N

]x[n]

fix[Nn]x[n]

fii例如：x(2n)0

123

4

5

6x(n)211x(n)322n2012

3nx(2n)2

20

123

4

5

6

7

89

1011

12211232nx(n

/

2)9一般来讲,抽取的过程是不可逆的,因为在抽取时,序列的点被丢掉了,无法从抽取后的信号恢复原来的信号.内插的过程是可逆的,可以从内插的信号通过抽取,恢复成原来的信号.抽取和内插严格讲并不是一种尺度变换,只是从序列长度的变化角度,可以将其视为尺度的扩展和压缩.10自变量变换的综合应用示例：2x(t)

x(3t

-

1

)22做法一：x(t)fi

x(t

-1

)fi

x(3t

-1

)01x(t)t1tt1110

1/6

1/22x(t

-

1

)2

x(3t

-

1

)

10

1/2

3/21t

fi

t

-2tfi

3t2做法二：x(t)fi

x(3t)fi

x(3t

-1

)x(t)t

t

110

1

0

1/3x(3t)0t11/6

1/21

2tfi

3t6做法三：x(t)fi

x(t

-1

)fi

x([3(t

-1

)]01x(t)t10

t12x(3t

-

1

)1/6

7/610

t11/6

1/22x(3t

-

1

)6t

fi

t

-

16t

fi

t

-

16121661fi

3(t

-

)x(t

-

)

t

-6自变量变换的综合应用举例:例2:解法一:解法二:解法三:3x(t)

fi

x(-

t

+

2)+

2)-

t3-

t3x(t)

fi

x(-t)

fi

x(t

fi

t

-6)

fi

x(t

fi

t3t

fi

-t3+

2)-

t3x(x(-t

+

6)

fi-(t

-6)fi

-(t

-6)t

-6fi

-(t

-6)fit

fi

t

-6x(t)

fi

x(t

-

6)3133+

2)-

t3-t3tx(t)

fi

x( )

fi

x(t

fi

t

-6)

fi

x(t

fi

-tt

fi

t14§1.1.3

奇信号与偶信号：odd

Signals

and

even

Signals15如果有x(-t)

=

x(t)x(-n)

=

x(n)则称该信号是偶信号。（镜像偶对称）对实信号而言：如果有16则称该信号为奇信号（镜像奇对称）x(-t)

=

-x(t)x(-n)

=

-x(n)如果有如果有 则称该信号为共轭偶信号。x(n)

=

x*(-n)x(t)

=

-x*(-t)则称为共轭奇信号。x(n)

=

-x*(-n)对复信号而言：x(t)

=

x*(-t)任何信号都能分解成一个偶信号与一个奇信号之和。对实信号有：其中x(t)

=

xe

(t)

+

xo

(t)2e2ox

(t)

=

1

[x(t)

-

x(-t)]x(n)

=

xe

(n)

+

xo

(n)2ex

(t)=1

[x(t)+x(-t)]

其中x

(n)=1

[x(n)+x(-n)]2ox

(n)

=

1

[x(n)

-

x(-n)]-1

0-22112x(t)t-2210xe

(t)t-11117-1

¯txo

(t)其中e*x

(t)

=[x(t)

+

x

(-t)]1212o*x

(t)

=[x(t)

-

x

(-t)]其中e*x

(n)

=[x(n)

+

x

(-n)]121218o*x

(n)

=[x(n)

-

x

(-n)]对复信号有：

可以分解成一个共轭偶对称信号与一个共轭奇对称信号之和,即:x(t

)

=

xe

(t

)

+

xo

(t

)

x(n)

=

xe

(n)

+

xo

(n)§1.1.4

周期信号与非周期信号：19周期信号：x(t

+T

)=x(t)x(n

+

N

)

=

x(n)x(t

+

mT

)

=

x(t)x(n

+

mN

)

=

x(n)使周期关系成立的的最小周期

T0或

N0

，称为信号的基波周期

T0（N0）。w0=2p/T0

（弧度/秒）W

0=2p/N0

（弧度）称为基波频率x(t)=c可视为周期信号，但它的基波周期没有确定的定义。x(n)

=

c

可以视为周期信号，其基波周期

N0

=1§２.2

常用的基本信号20正弦信号指数信号单位阶跃信号符号函数单位冲激和单位脉冲信号2§2.2.1正弦信号连续时间正弦信号(周期信号)，波形 为基波频率 为相位024681

01

21

4-0

.

8-

1

-0

.

6-0

.

40-0

.

210.

80.

60.

40.

2T0w01FFX(t)=Acos(w0

t+F

)w0

=2p/T0§2.2.1正弦信号22离散时间正弦信号(不一定是周期信号)W

0为频率N为正整W

0N=2pm;m为整数则有:

cosW

0n=cos

W

0

(

n+N);数于是有:即:W

0/2p=m/N可见,只有当W

0/2p为有理数时,cosW

0n才是周期信号.x(n)

=

A

cos(W

0n

+F

)如果x(n)

=

cosw

0n

具有周期性;

x(n)

=

x(n

+

N

)§2.2.1正弦信号23离散时间正弦信号(不一定是周期信号)对以上结论的解释:离散时间信号可以看为从连 续时间信号等间隔抽样的样本,对同一个连续时 间信号抽样用不同的抽样间隔,得到不同的序列.对周期性连续时间信号等间隔抽样,得到的序列 可能是周期的,也可能不是周期的,当基波周期足与抽样间隔满 是有理数时,对周期性连续时间信号等间隔抽样,得到的序列才具有周期例:周期的周期的

非周期的T0

/

Ts4性x(t)=2

cos(3t

+p

)7x(n)

=

cos(

8p

n

+

2)7x(n)

=

cos(

8

n)§1.2.2指数信号一.连续时间复指数信号：C为复数a为复数C=

a

+

jba=r+j

w无法显示该图片。24①实指数信号(C

和a都是实数)若中的为0,C实数同时:若中的 为

0

,

a实数则为实指数函数C

=

a

+

jbba==r+j

w25wx(t)随t

的增加

而单调指数增长•x(t)随t的增加而指数衰减a

>

0a

<

00246810

12

14

10.

90.

80.

70.

60.

50.

40.

30.

20.

100246810

12

14

45

40

35

30

25

20

15

10

50①实指数信号(C和a都是实数)••x(t)=Cat26x

(

t

)

=

Cea

=

0②周期复指数信号若a

为纯虚数，即时，设C=1:则特点：该信号是周期的，周期为T0x

(

t

)0w0=

e

jw

0

t)

2pT

=ejw0t

=ejw0

(t+T0a=

j

W

0atx

(

t

)

=

Ce无法显示该图片。2728周期复指数信号与正弦信号的关系—取周期复指数的实部欧拉公式(基波周期相同的正弦信号)取实部则为正弦信号正弦信号也可以用基波周期相同的周期复指数信号表示.0jw

te

=cosw0t

+

j

sinw0t0j(w

t+f)0

e)

=

AR

[e

]Acos(w

t

+f29成谐波关系的周期复指数信号集集中有无数多个相互独立的周期复指数信号每一个信号都是周期的：•每一个信号的频率都是基波频率的整数倍，称为K次谐波。例：

K=0;

k=1;

k=20F

k

(t)

={e

};

k

=

0,–1,–2,

jkw

tkw

0Tk

=

2p

;w

0每一个信号都有一个公共周期：T0

=

2p30③一般复指数信号(c,a均为复数)最一般的情况0j

w

)

t(

a

+

j

b

)

e

(

r

+x

(

t

)

=C用极座标,a用直角坐标来表示x(t)

=Ceat

=

Cejqe(r+

jw0

)t=

Certej(w0t+q)t=

Cert

cos(w

t

+q)

+

j

Cert

sin(w

t

+q)0

0实指数信号atx

(

t

)

=

Ce实指数信号一般复指数信号0246810

12

14

10.

80.

60.

40.

20-0

.2-0

.4-0

.6-0

.8-10246810

12

14

50

40

30

20

10

0-1

0-2

0-3

0-4

0-5

0x(t)

=

Cert

cos(w

t

+q)

+

j

Cert

sin(w

t

+q)0

0若

r=0, x(t)的实部和虚部都为正弦信号若r<0,x(t)

为振幅指数衰减的正弦(1)若r>0,x(t)为振幅指数增长的正弦(2)(1)

r<0 (2)

r>031二.离散时间复指数信号32离散时间复指数信号或序列①实指数信号:(C和a均为实数)单调指数增长

0<a<1单调指数衰减交替指数衰减a>1-1<a<0a=1a<-1

交替指数增长a=-1交替变化的常数x[n]

=

Ca

nx(n)

=

Cx(n)

=

(-1)n

C330

<

a

<1a

>1-1

<

a

<

0a

<

-1x[n]

=

Ca

n二.离散时间复指数信号离散时间复指数信号或序列与正弦的关系:与连续时间周期复指数信号的重大区别:x[n]

=

Ca

n]0n

+f)ej(Wcos(W

0n

+f)

=

R

[ejW

ne

0

=

cos

W

0n

+

j

sin

W

0n②C=1,

a=e

jW

0

指数信号:x(n)

=

e

jW

0n

fi

x(t)

=

e

jw

0t34只有 为有理数,才具有周期性W

0

/

2pjw

0

t35x

(

t

)

=

e离散周期复指数信号——周期性连续时间周期复指数信号：是周期的，周期为T0x(n)

=

e

jW

0n离散时间复指数信号：离散周期复指数信号——重复性连续时间周期复指数信号，都是周期的。(1).

对任何(2)离散时间复指数信号具有如下关系:e

jw

0t

具有两个特点：e

jw

0t36e

j

(W

0

+2kp

)

n

=

e

j

2kpne

jW

0

n

=

e

jW

0

n对于不同的 不互不相同,而是以为周期重复.W

02pe

j

(W

0

+2kp

)

n

=

e

jW

0

nw

0愈w大0

，振荡频率愈高；37成谐波关系的周期复指数信号集N:

基波周期

2p/N:

基波频率每一个信号都是周期的;每一个信号都有一个公共周期：N每一个信号的频率都是基波频率的整数倍，称为K次谐波;信号集中的信号不全是相互独立的;只有N个谐波是独立的;N

Nj

(k

+N

)

2pn jk

2pn

fk

+N

(n)

=

e

=

e

=

fk

(n)F

k

(n)

={e

};

k

=

0,–1,–2,

jk

(2p

/

N

)n38成谐波关系的周期复指数信号集N

Nj

(k

+N

)

2pn jk

2pn

fk

+N

(n)

=

e

=

e

=

fk

(n)fk

+rN

(n)

=

fk

(n)k=0——N-1;k=0

与K=N是一个信号

k=1

与K=N+1是一个信号只有N个谐波分量是相互独立的,其余信号均是这

N个信号的重复.39③一般复指数信号(C

、a

均为复数)最一般的情况0nc

=

C

ea

=

re

j

Wx

(

n

)

=

c

aj

qx(n)

=Ca

n

=

CejqrnejW

0n=

Crnej(W

0n+q)=

Crn

cos(W

n

+q)

+

j

Crn

sin(W

n

+q)0

0实、虚部均为振幅按指数变化的正弦振荡40离散时间复指数信号024681

01

21

4-

0

.

1-

0

.

2-

0

.

30.

70.

60.

50.

40.

30.

20.

10离散衰减正弦信号r

<1r

>1振幅指数衰减的正弦振荡振幅指数增长的正弦振荡正弦振荡x(n)

=

Crn

cos(W

n

+q)

+

j

Crn

sin(W

n

+q)0

041信号和的比较e

jw

0

te

jW

0

n的整数倍，频差信号相同仅当是周期的基波频率基波周期：N不同，信号不同信号都对任何

是周期的基波频率基波周期：T02p0ww

0N=

2

pm

W

000Tw=

2pm0W=2

pN对于离散时间复指数信号的频率有效范围只有2p，高频对应于p的奇数倍处，低频对应于0、2p及p的偶数倍处。W

=0

，W

=2kπW

=π

或

W

=2πk+π处都对应最低频率。而处都对应最高频率。x(n)

=

cos(0

n)

=142x(n)

=

cos(p

n

/

8)x(n)

=

cos(p

n

/

4)x(n)

=

cos(p

n

/

2)x(n)

=

cos(p

n)x(n)

=

cos(3p

n

/

2)x(n)

=

cos(7p

n

/

4)43x(n)=

cos(15p

n

/

8)x(n)

=

cos(2p

n)44§1.2.3单位阶跃信号1.连续时间单位阶跃

0t

<t0

1

t

>t0e(t

-t

)

=

01

0

t

<0

1

t

>0e(t)

=u(t)

=

t0t0145§1.2.3单位阶跃信号2.离散时间单位阶跃e(n)=

1

n≥00

n<0在n=0有确定的意义,e(t),e(n)不仅在信号与系统的分析中有重要作用,而且在信号的时域表示中有广泛的用途.u(n)n146例1:用阶跃表示矩形脉冲G1(t)

=e(t

-t0)-e(t

-t)G(t)G•

G(t1)(t=)

e(t)-e(t

-t)G1(t)t011例如:信号加窗或取单边0f

(t)

=

e-t[e(t)

-e(t

-

t

)]f(t)t0-t47f1

(t)

=

e

e

(t)t0例如:三角波tt+

(1-

t

)[e(t)

-e(t

-t)]x(t)

=

(1+

t

)[e(t

+t)

-e(t)]t48-ttx(t)1突然接入的直流电压突然接通又马上断开电源K负载493.符号函数定义sgn(t)10t可用阶跃表示-1

(t

>

0)

-1 (t

<

0)sgn(t)

=

1sgn(

t

)

=

2e

(t

)

-150511.

离散时间单位脉冲序列定义d(n)d(n)

={

1

，n

=

00

，n

„

0d(n)1n§1.2.4单位冲激与单位脉冲信号x(n)d(n)

=

x(0)d(n)x(n)d(n

-

n0

)=

x(n0

)d(n

-

n0

)1k0d(n)具有提取信号x(n)中某一点的样值的作用。d(n

-

n0

)n0§2.1.4单位冲激与单位脉冲信号1.离散时间单位脉冲信号d(n)与u(n)之间的关系：d(n)

=

u(n)

-

u(n

-1)一次差分n

¥u(n)

=

d(k

)

=

d(n

-

k

)k

=0

k

=0d(n

-

k

)1nku(n)=1

n≥00

n<052单位阶跃u(t)定义：u(t)={1

，t

>00

，

t

<

01530u(t)t2.

连续时间单位冲激信号d(t)定义：dtd(t)

=

du(t)td(t)dt-¥u(t)

=

定义的不严密性，由于u(t)在t

=0

不连续，因而在该处不可导。采用极限来理解,定义u△(t)0

DuD

(t)1t定义uD

(t)显然当DuD

(t)0u(t)dtduD

(t)Dd

(t)

=D540

Dt1

dD

(t)则认为Dfi

0Dlimd

(t)

=

d(t)d(t)：D

fi

0

宽度越来越窄,,幅度越来越大,所包围的面积始终为1的这样一个极限。d(t)表示为d(t)1t055t0td(t

-

t0

)1显然有：0矩形面积称为冲激强度。¥-¥d(t)dt

=1

0t¥-¥u(t)

=d(t)dt

=d(t

-t)dt

d(t)也具有提取连续时间信号样本的作用。狄拉克定义

+¥-¥d(t)dt

=1d(t)0td

(t)

=

0t

„

0Dfi

00tD1

x(0)Dx(0)dD

(t)56x(t)d(t)

=

x(0)d(t)x(t)d(t

-

t0

)

=

x(t0

)d(t

-

t0

)lim

x(0)d

(t)

=

x(0)d(t)Dd(t)与u(t)的关系显然:一次微分一次积分-¥t

¥0u(t)

=

d(t)dt

=

d(t

-t)dtdt57d(t)

=

du(t)58§2.3奇异函数对d(t)的定义是不严格的,从极限的角度定义,有很多不同信号的极限都具有这种特性定义：矩形面积不变，宽趋于0时的极限)

]t2-

t2d

(t

)

=

lim

1

e(t

+

)

-

e(ttfi

0

t0t其他函数演变的冲激函数三角脉冲的极限

•

双边指数脉冲的极限1ttlim (1-

)tfi

0[e(t

+t)

-e(t

-t)

]}d(t)

=

{t]59te

-

t2

t1t

fi

0=

lim

[d

(

t

)其他函数演变的冲激脉冲钟形脉冲的极限

•

抽样脉冲的极限1tte-p

(

t

)2tfi

0d

(t

)

=

lim

[Sa

(kt

)

]60kptfi

0]

d

(t

)

=

lim§2.3奇异函数61用常规函数作为d(t)的定义是不严格的,这表明d(t)是一个非常规函数,称为奇异函数(广义函数),对其定义通常采用卷积或积分运算下所表现的特性来定义奇异函数。积分意义下的特性来表达一.

d(t)

及其性质:定义:

¥-¥x(t)d(t)dt

=

x(0)=

x(0)

d(t)dt

=

x(0)

x(t)d(t)dt

=

x(0)d(t)dtd(t)的取样特性x(t)是在t

=0的连续函数x(t)d(t

-

t0

)dt

=

x(t0

)

¥-¥1.令62

¥-¥

¥-¥2.由定义-¥

¥-¥x(0)d(t)dtx(t)d(t)dt

=

x(0)

=

¥\

x(t)d(t)

=

x(0)d(t)x(t)d(t

-

t0

)

=

x(t0

)d(t

-

t0

)x(t)=1

;则有d(t)dt

=1d(t

-

t0

)dt

=1§1.3奇异函数ad(at)

=

1

d(t)5.

¥-¥a

-¥

a

a=

-

1

¥a

-¥

x(

t)d(t)dt=

-

1

x(0)a

ax(t)d(at)dt

=

1

¥

x(

t)d(t)dt=

1

x(0)

a

>

0a

<

063令at

=t3.若x(t)=t则td(t)=04.若x(t)=x(-t),则

¥¥¥-¥

-¥

-¥\

x(t)d(t)

=

x(t)d(-t)即

d(t)

=

d(-t)

表明

d(t)

是偶函数x(t)d(t)dt

=

x(-t)d(t)dt

=

x(t)d(-t)dt64总结单位冲激函数的性质偶函数

-¥td

(t)dt

=

u

(t

)0=

x

(

t

0

)d(

t

-

t

0

)

dt

=

x

(

t

0

)

d(

t

-

t

)

x

(

t

)

dt

=+

¥-

¥dt

d

u

(t

)

=

d

(t

)x(t)d(t)

=

x(0)d(t)x(t)d(t

-

t0

)

=

x(t0

)d(t

-

t0

)积分筛选取样性:ad(at)

=

1

d(t)td(t)

=

0尺度变换65筛选特性-¥=x(0)

+¥d(t)dt=x(0)

+¥d(t)x(t)dt=

+¥d(t)x(0)dt-¥

-¥tx(0)00=

x(t0)d(t

-t0)dt=x(t0)-¥

+¥d(t

-t

)x(t)dt=x(t0

)66+¥p(t)

=

d(t

-

nT

)n=-¥+¥n=-¥+¥xp

(t)

=

x(t)

p(t)

=

x(t)

d(t

-

nT

)=

x(nT

)d(t

-

nT

)n=-¥p(t)xp

(t)取样性:

x(t)

d(t)

=

x(0)

d(t)x(t)

d(t

-t0

)

=

x(t0

)

d(t

-t0

)冲激序列对连续信号抽样x(t)xp

(t)

=

x(t)

p(t)§1.3奇异函数67定义:

¥-¥x(t)d'

(t)dt

=

-x'

(0)x(t)

*d'

(t)

=

x'(t)二.d(t)的微分与积分(在积分意义下对d'(t)的定义)由卷积意义下的定义,可得取极限取极限dt单位冲激偶——d

'(t)=

d

d(t)D

fi

0D

fi

0求导d

(t

)d

'

(t

)D

1D68系统分析的角度应该有：理想微分器的单位冲激响应应该是d(t)的1dt微分，记为u

(t)=d

d(t)，从卷积运算或LTI微分器x(t)dx(t)dt1dt所以

x(t)*u

(t)

=

d

x(t)u1

(t)称为冲激偶（Unit

doublet）069t(-1)u1

(t)(1)单位冲激偶的性质2.“筛选”

¥-¥d

'

(t

)

x(t

)dt

=

-x'(0)

70¥¥d

'

(

t

)

dt

=

01.当x(t)=1

时

¥-¥x(t)d'

(t)dt

=

-x'

(0)单位冲激偶的性质3.奇函数d

'

(

t

)

=

-

d

'

(

-

t

)x(-t)d¢(t)dt

x(t)d¢(t)dt

=

-

¥-¥¥-¥¥=

-

x(t)d¢(t)dt-¥若x(t)=-x(-t),则有:\

x(t)d

(t)

=

-x(t)d

(-t)d¢(t)=d¢(-t)表明d¢(t)是奇函数t)dt71x(t)d

-¢(-

¥-¥单位冲激偶的性质724.x(t)

d'(t)

=

x(0)

d'(t)

-x'(0)

d(t)[x(t)d(t)]

=[x(0)d(t)]

=

x(0)d

(t)=

x¢(t)d(t)

+

x(t)d¢(t)=

x¢(0)d(t)

+

x(t)d¢(t)\

x(t)d¢(t)

=

x(0)d¢(t)

-

x¢(0)d(t)5.t

d'

(t)

=

-d(t)t

2d¢(t)

=

0若tx1

(t)=tx2

(t)........则:x1

(t)=x2

(t)+Cd(t)若t

2

x

(t)

=

t

2

x

(t)....则:

x

(t)

=

x

(t)

+

C

d(t)

+

C

d¢(t)1

2

1

2

1

2x(t)

d'(t)

=

x(0)

d'(t)

-x'(0)

d(t)7374单位冲激偶的性质6.高阶微分与积分:微分:x(t)*d

(t)=x

(t)如果定义u1

(t)=d¢(t)u2

(t)

=

u1

(t)*u1

(t)

uk

(t)

=

u

1

(

t)

*

u

1

(t

)

*

*u

1

(t)k个x(t)dtkd

k(-1)kx(t)*uk

(t)

=¥-¥=(-1)

t

=0kkkx(t)dtd

kx(t)u

(t)dt

1

1

=

x(t)*u2

(t)

=

x¢(t)u

(t)*u

(t)x¢(t)

*d¢(t)

=

x(t)*

x(t)

*d¢(t)

=

x(t)*u1(t)

=

x¢(t)

75单位冲激偶的性质6.高阶微分与积分:td(t

t-¥u-1

(t)

=)d

=

u(t)

t-2

-1-1-¥u

(t)

=

u

(t)*u

(t)

=u-1表示d(t)的一次积分u(t)dt

=

tu(t)

2-3-1-1-1u

(t)

=

u

(t)*u

(t)*u(t)

=

1

t

2u(t)

t

k

-1=

u(t)(k

-1)!u-k

(t)

=

u

-1

(t)

*u

-

1

(

t)

*

*

u-

1

(t)k个(P30)第一章信号与系统§1.4系统的描述一.系统的模型系统是由一些相互联系,相互依赖的环节组成的具有一定功能的整体.系统可以看成对信号进行某种变换的过程,要分析一个系统,首先要建立系统的模型从实际的物理问题抽象出来的描述输入/输出关系或物理特性的数学模型.76例: R、L

、C振荡电路LC

d

2i(t

)

+

RC

di

+

i(t)

=

c

de(t

)

dt

2

dt

dt77e(t)RL二.系统的表示:连续时间系统和离散时间系统可以表示为:系统对输入信号的作用,其本质就是对输入信号进行某种变换或运算.连续时间系统是把连续时间输入信号变换成连续时间输出信号的系统离散时间系统是把离散时间输入信号变换成离散时间输出信号的系统连续时间系统离散时间系统y(t)78y(n)x(t)x(n)二.系统的表示:系统的表示方法:方程电系统的电路图方框图(模拟图)

用运算符号 表示的运算关系.常用的运算符号有:这些方法可以相互转换a

DT+79ⅠⅡx(t)x(n)y(t)y(n)2.

并联(parallel

interconnection)ⅠⅡ¯x(t)80x(n)y(t)y(n)三.系统的互联1.

级联

(cascade

Interconnection)实际中也经常级联,并联混合使用,如ⅠⅡⅢ¯Ⅳ3.

反馈联结(Feedback

interconnection)Ⅱ¯x(t)x(n)81y(t)y(n)Ⅰ三.系统的互联82系统的互联为我们提供了用简单系统构成复杂系统的方法,也为我们分析复杂系统提供了方便，我们可以将复杂系统视为若干简单系统的互联,只要分析各个子系统的特性,就可以了解整个复杂系统的特性.这一思想对系统分析和系统综合都是十分重要的。§1.5系统的性质:83即时系统与动态系统(记忆与非记忆)即时系统(无记忆系统)在任何时刻系统的输出只与该时刻的输入有关,而与该时刻以前、以后的输入无关.;恒等系统:例:全电阻网络;y(t)=kx(t);y(t)

=

sin[

x(t)];即时系统的一个特例:y(t)

=

ex(t

)y(n)

=

x2

(n)y(t)

=

x(t);

y(n)

=

x(n)§1.5系统的性质:即时系统与动态系统(记忆与非记忆)动态系统(记忆系统)它的输出不仅与当前的输入有关,也与其它时刻的输入有关.例:t

1Cx(t)dt-¥y(t)

=

y(t)

=

x(t

-1)ny(n)

=

x(k

)k

=-¥y(n)

=

x(n)

-

x(n

-1)累加器差分器电容都是记忆系统.84§1.5系统的性质:2.

可逆性与逆系统如果系统对任何不同的输入都产生不同的输出,即输入与输出一一对应,则系统是可逆的,如果系统对二个或二个以上不同

的输入产生相同的输出,则系统是不可逆的.如:y(t)=x2

(t)是不可逆系统,因为有两个不同输入

x(t),

-

x(t)产生相同的输出.y(n)=x(n)x(n

-1)是不可逆的,85因为输入d(n)时,输入d(n

-1)时,y(n)

=

0y(n)

=

086ⅠⅡx(t)x(n)y(t)y(n)x(t)x(n)y(t)=1

x(t)是可逆系统,其逆系统是y(t)=2x(t)nk

=-¥2y(n)

=

x(k

)是可逆系统,其逆系统是y(n)

=

x(n)

-

x(n

-1)y(n)=x(2n)是不可逆系统,因为无法从x(2n)还原为x(n)dt如果一个可逆系统与另一个系统级联后构成一个恒等系统,则称后者是前者的逆系统(inverse

system)y(t)

=

dx(t)

不可逆,

y(t)

=

0也是不可逆系统.

-¥tdty(t)

=ay(n

-n0

)的逆系统为:.....y(n)=x(n

+n0

)y(t)=ax(t)的逆系统为:y(t)=1

x(t)x(t)dt的逆系统为:y(t)=dx(t)该系统不可逆判断系统是否可逆一般是困难的,无有效的办法判定系统是否可逆.87§1.5系统的性质:因果性在任何时刻系统的输出都只与该时刻以及该时刻以前的输入有关,而与该时刻以后的输入无关.则系统是因果的,如果系统在某时刻的输出与以后的输入有关,则系统为非因果的.一切物理可实现的连续时间系统都是因果的.一切即时系统(无记忆)都是因果的对非实时处理的离散时间系统可以实现非因果系统,先存储,后处理.88y(n)

=

x(-n)

n

<

089时

y(n决)

定于以后时刻的输入.y(n)

=

x(n)

-

x(n

+1)y(t)

=

x(2t)都是非因果的.都是因果系统RLC电路,y(n)

=

x(n)

-

x(n

-1)ny(n)

=

x(k

)k

=-¥§1.5系统的性质:904.

稳定性如果一个系统的输入是有界的,输出也有界,则系统是稳定的,否则系统是非稳定的.均为不稳定系统系统的稳定性在系统分析和系统综合中具有重要意义,以后将在时域,频域分别研究系统的稳定性.工程实际中总希望所设计的系统是稳定的.因此稳定性对系统来说时非常重要的-¥ny(t)

=

t

x(t)dt例: R、C; R、L、C系统均为稳定系统y(n)

=

x(k

)k

=-¥§1.5系统的性质:5.时变与时不变性如果一个系统当输入有一个时间上的平移，输出也产生相同的平移，除此之外无任何其它变化，则系统是时不变的,否则系统是时变的.即：则系统是时不变的检验方法：

令根据输入输出的关系91x(t)

fix(t

-

t0

)

fiy(t)y(t

-

t0

)1x

(t)1y

(t)x2

(t)

=

x1

(t

-t0

)y2

(t)考查：y2

(t)是否等于y1

(t

-t0

)例:92时y(t)

=

sin[

x(t)]y1

(t)

=

sin[

x1

(t)]当x(t)=时x1

(，t)x(t)

=

x2

(t)

=

x1

(t

-t0

)y2

(t)

=

sin[

x2

(t)]

=

sin[

x1

(t

-t0

)]由于y2

(t)=y1

(t

-t0

)=sin[x1

(t

-t0

)]\系统是时不变的。例:y(n)=(n

+1)x(n)93当x(n)=x时1

(n，)y1

(n)

=

(n

+1)x1

(n)x(n)=x2

(n)=x1

(n

-n0

)时y2

(n)

=

(n

+1)x2

(n)

=

(n

+1)x1

(n

-

n0

)由于y1

(n

-n0

)=(n

-n0

+1)x1

(n