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文档简介
知识点6--实对称矩阵的性质4性质1性质2性质3.
性质4性质1
实对称矩阵的特征值都是实数.性质2
实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交.证明
由已知l1
p1
=
Ap1
,
l2
p2
=
Ap2
,
l1
„
l2
A对称,A
=AT(
)
(
)1
1
1
11TT\
l
pT
=
l
p=
Ap1
1T
T=
p
A
=
pT
A,(1
1
212
1
2
2TTTl
pl
pp
=
p
Ap
=
p2
1
2=
l
pT
p
,1
2于是
(l1
-
l2pT
p
=
0.
l1
„
l2
,1
2\
pT
p
=
0.即p1与p2正交。
12
例如，
A
=
21
为实对称矩阵，其中
1
1
A
1
=
3
1
;
1
1
A
-1
=
-1
.特征值l1
=3
和l2
=1
分别对应特征向量1
2显然h
Th=0
即h1
与h2
正交.1h
=
1
;
1
h
=
1
.2
-1
性质3
设li
为实对称矩阵的
ni
重的特征值，则矩阵,从而恰好有ni
个属于特A-li
E
的秩R(A-li
E)=n
-ni征值li
的线性无关的特征向量.任一实对称矩阵必可对角化
12
2
1
1
例1
试将矩阵
A
=
1
211
对角化。解
由于A
为实对称矩阵,所以必可以对角化.2
-
l
1
11 2
-
l
1
=
-(l
-1)2
(l
-
4)1
1 2
-
lA
-
lE
=故A
的特征值为l1
=l2
=1,l3
=41
1
1
1
1
1 1
000
1
1
00
A
-
E
=
1
1 1
fi
0对于
l1
=
l2
=1，求解齐次线性方程组
(
A
-1E
)
x
=
0得基础解系为12
-1
-1
=
0
0
1
h
=
1
,h
2
1 1
2
11
12
A
=
1对于l3
=4，求解齐次线性方程组(A
-4E
)x
=01
fi
0-3
fi
0-1
1
03
00
-2
-2
1
1
1
1
-2
1
0
-1
-2
3
11
-3
0
A
-
4E
=
1得基础解系为3
1
1
h
=
1
2
1 1
2
11
12
A
=
1取1231
01
P
=
(h
-1
-1
1
h
h
)=
1
01有
1
4
P
-1
AP
=
1P和L
还可以怎么构造？性质4
设
A
为
n
阶实对称矩阵，则存在正交矩阵
Q，使得2l
l1
l
n
Q-1
AQ
=
QT
AQ
=
其中l1
,l2
,
,ln
为A
的特征值.An求出A得特征多项式|A-λE|的全部根不能化对角能对角化是是A是否是实对称矩阵否否是否有重根是对所有的重根λi(λi的重数为ni)
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