在数学建模中求零乱的数据

在数学建模中求零乱的数据

通常，很难在混乱的数据集中找到内部规律。给定一批数据,要考察其中的内在规律性,首先需要对数据进行整理,例如中心化、标准化、排序等等,然后从图像上考察它们的大致趋势,根据图像建立适当的数学模型,最后进行假设检验,判断建立的数学模型是否合理,进而做出预测。在这一过程中,关键问题是选择或建立适当的数学模型。回归模型是统计学中出现比较早的统计模型,这一模型由于形式简单,应用方便,受到了人们的广泛重视。同时,由于实际问题往往比较复杂,为了更接近实际,更好地解释数据的内在规律性,回归模型也一直处于不断发展的过程中,由参数回归模型到非参数回归模型,20世纪80年代又出现了半参数回归模型。数据也由完全数据到缺失数据、由平面数据到纵向数据等等变得越来越复杂,而对于特定的模型、特定的数据都需要特定的方法来处理。这一系列过程在数学上的实现是比较复杂的,需要根据数据特点选择适当的模型与方法,通过模拟或检验考察所建模型的合理性。我们可以通过数学软件Matlab或R软件进行模拟,但是这两种软件都需要严格的编程,可操作性较差,而利用统计软件SPSS可以完成这一任务。SPSS具有良好的界面,不需要太多的编程,只需要通过简单的菜单操作即可完成,且输出直观,对于一般的统计问题处理具有较高的价值。下面我们通过两个例子看看SPSS在数据分析与处理中的应用。例1一个试验容器靠蒸汽供应热量,使其保持恒温,在表1中,自变量X表示容器周围空气单位时间内的平均温度(℃),Y表示单位时间内消耗的蒸汽量(L)。共观测了22个单位时间,考察Y与X之间的关系。实现步骤如下:1)建立数据文件,定义变量名:Y(蒸汽量),X(平均温度),将表1中的数据录入到一个文件并保存。考察二者之间的散点图。在SPSS环境下打开数据文件,在“Graphs”菜单中选择Scatter命令,打开Scatterplot对话框,选中Simple图标,单击Define按钮,在打开的SimpleScatterplot对话框中选择X轴,Y轴,单击OK按钮就可以得到二者之间的散点图(如图1),从中可以发现二者之间存在一定的线性关系。我们选择了线性回归模型。在“Analyze”菜单中选择“Regression”中的“Linear”命令,在弹出的LinearRegression对话框中,从对话框左侧的变量列表中选择蒸汽量[Y]到Dependent框中,表示该变量为因变量,选择平均温度[X]到Independent框中,表示该变量为自变量,在LinearRegression对话框中,单击Method下拉式列表,可以从中选择多元回归分析的自变量的进入方式,单击OK按钮,提交系统运行,即可得到SPSS回归分析的结果。1)输出文件的第一个表格(见表2)。该表格输出的是被引入或从回归方程中被剔除的自变量,我们从表2可以看到,自变量平均温度进入回归方程(由于这里我们进行的是一元线性回归,即Y=aX+b,一定要进入),DependentVariable(蒸汽量)是因变量。所采用的自变量进入方法是全部引入法:Enter。2)输出的第二个表格是模型概述表,如表3所示。从表3可以看出,相关系数R为0.794,R2为0.630,调整后的R2为0.611,估计的标准误差为0.91502,从这些数据可以看出,容器周围空气单位时间内的平均温度X与单位时间内消耗的蒸汽量Y存在一定的线性关系。3)输出的第三个表格是方差分析表,如表4所示。从表4可以看出,回归平方和为28.495,残差平方和为16.745,总平方和为45.240。回归系数检验统计量F=34.034,相伴概率值Sig为0.000,即检验假设“H0:回归系数α=0”成立的概率等于0.000,从而拒绝H0,说明回归是显著的。4)输出的第四个表格是回归系数分析表,如表5所示,其中UnstandardizedCoefficients是非标准化系数,StandardizedCoefficients是标准化系数。t为回归系数检验统计量。表5显示回归模型的回归系数是:Constant(即常数项)为13.239,自变量X(平均温度)的系数为-0.074,检验统计量t为-5.834,相伴概率值为0.000,由此可知回归方程为有了回归方程以后,就可以对因变量进行预测。在这一问题中,通过线性回归给出了利用SPSS处理数据拟合的一般方法,实际上,这一软件可以处理非线性等更为复杂的问题。例2某检验部门对四种品牌A1,A2,A3,A4的地板分别抽取8,5,8,6件进行耐磨性试验,数据如表6(单位:万转),问这四种品牌的地板耐磨性有无显著性差异。其实现步骤如下:1)建立合适的数据文件。根据表6中的数据建立数据文件,首先需要定义两个变量,①地板品牌,测度水平为Ordinal,取值为1,2,3,4,分别表示A1,A2,A3,A4四种品牌的地板,这里变量“地板品牌”必须是离散型变量,取值的大小能够表示观测对象的某种顺序关系即可,是基于“质”因素的变量。②寿命,测度水平为scale,scale表示的是一种定距变量,它的取值可以比较大小,也可以用加减法计算出差异的大小。按定义的变量输入数据并建立文件“地板寿命.sav”。2)执行AnalyzeCompareMeansOne-WayANOVA命令,打开One-WayAnalysisofVariance对话框,从One-WayANOVA左边的列表中选择寿命到DependentList(因变量列表);选择地板品牌到Factor中,在单击PostHoc…按钮,在SignificanceLevel中将将显著性水平改为0.01,单击OK按钮提交系统运行。3)系统运行结果只输出地板耐磨性的方差分析表,如表7所示。表中的第一列为方差来源(Source),他们是BetweenGroups(组间),WithinGroups(组内),Total(总平方和);SumofSquares(平方和),组间平方和为0.039,组内平方和为0.174,总平方和为0.212;df为自由度;MeanSquare为均方;F为组间均方除以组内均方的商;Sig.为F分布的显著性概率。Sig.=0.194>0.01(0.01为显著性水平),因此应接受原假设,即认为四种品牌的地板的耐磨性没有显著性的差异。