矿大随机过程考试试卷

中国矿业大学数学2009级考卷A应用随机过程2011-10100min任课教师 学院理专业 学号 姓名 题号一28二12三12四12五12六12七12总分得分一．(每小题4分，满分28分)复随机过程z(t)的自相关函数R(s,t)的定义是R(s,t) <Z Z假设｛X(t),t>0｝是参数为a的维纳过程其增量X(t)-X(s)的方差等于 对二阶矩的随机变量X和序列｛X,X,X,｝称｛X｝均方收敛于X，若满足：12nn4.设｛X(t),t>0｝是参数九二3的泊松过程，则P｛X⑶=41X(1)=2｝= 已知马尔可夫链｛X(n)｝的状态空间为1=｛1,2,3｝，初始分布为(4,才三)，P(1)=则P｛X⑴=2｝ 。设｛X(n),n=0,1,2,｝为齐次马尔科夫链，则称条件概率：P｛X 丰j,1<v<n-1,X =j|X=i｝为该链由状态i到j的 m+v m+n m7.对于平稳过程X(t),若 ,则称X(t)的自相关函数具有各态历经性。二.(本题满分12分)若随机变量X服从参数为九的指数分布，试求X的特征函数，并由特征函数求其数学期望。解答：若随机变量X服从参数为九的指数分布，则的概率密度为x>0九九一it九九一it其特征函数为0(t)=E[eitX]=J+"eitx九e-心dx=0三.(本题满分12分)设随机过程弋(t)可表示成g(t)=2cos(2兀t+0)，式中0是一个离散随机变量，且1 兀]p(0=°)=2,卩(0=2)=2'试求E⑴和即1)

解答：Eg⑴是指当t=i时’所得随机变量的均值，行(0,1)是指当t=0和t=l时’所得的两个随机变量的自相关函数。E=E[2cos(2兀+0)]g=E[2cos(2k+0)]=2(丄cos0+—的自相关函数。E=E[2cos(2兀+0)]g11—R(0,1)=E[g(0)g(1)]=E[2cos0x2cos(2—+0)]=4E[cos20]=4(—cos20+—cos2一)=2

g 2< 2< 2<四.(本题满分12分)假设顾客到达商场的人数服从强度为九的泊松过程，且每一位到达商场的顾客购物的概率分别为p(0<p<1),与其他顾客是否购物互相独立，若记 N(t)为在商场购物的人数，证明｛N1(t),t>0｝为强度为九p的泊松过程。解答：证明：(1)因为0<N1(0)<N(0)=0，所以N1(0)=0⑵对任意0<t<t<<t<t因为N(t)-N()只与N(t)-N(t)有关，i=1,2,n，而

0 1 n一1n 1i 1i-1 i i-1N(t)-Nt )N( -Nt(),Nt( -)Nt(独立，所以N (t)-N(t ),N (t )-N (t ), ,N (t ) -N(t )1 0 2 0•…n n一1 11 10 12 10 1n•…1n-1独立，因此{N1(t),t>0}有独立增量。(3)P{N(t+s)—N(s)=n}=为P{N(t+s)-N(s)=i}P{N(t+s)-N(s)=nIN(t+s)-N(s)=i}i=ne-“(入t)ie-“(入t)ii!i=nCnpn(1-p)i-nie—,n=0,1,2,n!所以｛N't),t>0｝为强度为九p的泊松过程。五.(本1题满分12分)某人负责订阅杂志，设前来订阅的读者天内平均到达率为4的泊松过程，他们分别以概率—3，1/4，1/4和16订阅1季、2季、3季和一年杂志，其选择是相互独立的，每次订阅1季时，该负责人获利1元，令｛X(t),t>0｝表示在[0,t)内此人所得的全部利润,(1)证明｛X(t),t>0｝是独立增量过程； (2)求均值函数卩(t)、方差函数为D(t)。XX解答：(1)令0<t<t< <t，则X(t)-X(t)=Wy,k=1,2, ,m由定义可知{X(t),t>0}TOC\o"1-5"\h\z01 m k k-1 ii=N(tk-1)+1是独立增量过程 … …(2)由题意知X(t)=刃Y,t>0,其中P{Y=1}=1，P{Y=2}=P{Y=3尸1，P{Y=4}=1，k k3k k4k 6k=19 25{x(t),t>o}为一个复合泊松过程，EY=—，EY2=-k4k4EX(t)=E艺Y=XtEY=4t-=9t，DX(t)=D刃Y=XtE(Y)2=4t25=25tkk4 k k4k=1 k=1六.(本题满分12分)设随机过程{X(t)=Xsin九t+Ycos九t,tgR}，其中随机变量X,Y相互独立且都服从零均值方差为b2的正态分布，试(1)试证｛X(t),tgR｝为强平稳过程；(2)推证｛X(t),tgR｝的均值和均方值是否具有各态历经性。

解答：(1)X(t)二Xsin九t+Ycos九t,tgR是正态变量X,Y的线性组合，故X(t)的正态变量,{X(t),tgR}是二阶矩过程；EX(t)二E[Xsin九t+Ycos九t]二0,R(t,t+t)二E[X(t)X(t+t)]=E[Xsin九t+Ycos九t][Xsin九(t+t)+Ycos九(t+t)]X=E[Xsin九t-Xsin九(t+t)+Ycos九t-Ycos九(t+t)]=g2[sin九t-sin九(t+t)+cos九tcos九(t+t)]=◎2cos肮只与T有关，综合以上可知｛X(t),tgR｝是严平稳的。(2)EX(t)二E[Xsin九t+Ycos九t]二0〈X(t)〉=l.i.m—JT[Xsin九t+Ycos九t]dt=l.i.m—x2fTYcos九tdt=l.i.m—Y T=0t*2T-t t*2T 0 t*九T九T所以EX(t)=〈X(t)〉，故｛X(t),tgR｝的均值具有各态历经性。又根据EX2(t)二E[Xsin九t+Ycos九t]2=o2〈X2(t)〉=l.i.m-!-fT[Xsin九t+Ycos九t]2dt=l.i.m-!—fT[Xsin九t]2+[Ycos九t]2dtTs2T—T Ts2T—T=l.i.m—fT[X2sin2九t]+[Y2cos2九t]dt=l.i.m—fT[X+X cos2九t+XYsin2九t]dtX2+Y22TOC\o"1-5"\h\zTT82T—T TT82TX2+Y22丰G2，故EX2(t)斗X2(t)〉，因此｛X(t),tgR｝的均方值不具有各态历经性七.(本题满分12分)状态空间为｛1,2,3｝的不可约非周期马尔可夫链｛Xn，n=0,l,2,...｝的转移概率矩阵为_0.6 0.2 0.21 "P=0.3 0.4 0.3，求0.1 0.5 0.4「0.60.20.2「0.60.2 0.21「0.440.30.261P(2)=0.30.40.30.30.40.3=0.330.370.30.10.50.40.10.50.40.250.420.33⑴两步转移概率矩阵P⑵和憎⑵过程的平稳分布解：(1