对称少自由度并联机器人的雅比方案

对称少自由度并联机器人的雅比方案

这种对称的低周分联机机器人意味着具有相同的6个周分形状的联合机器人。与传统的6个周分联机相比，少周分联机在结构、制造成本和控制方面具有优势，因此引起了人们的注意。[1、2、3、4、5、6、7、8、9、10]。目前对于并联机器人雅克比矩阵的求解,多运用速度矢量环和螺旋理论方法,并把雅克比矩阵拆分为与运动学正解和运动学逆解相关的两部分.但是当机构为少自由度情况时,得到的雅克比矩阵多为降秩长方阵.雅克比矩阵作为驱动关节速度与末端操作器速度之间的映射,它在机构的分析、控制与性能评价等方面都起着重要作用.但在对少自由度并联机器人进行雅克比矩阵求解时,得到的雅可比矩阵却是长方阵,这为后续的运算带来困难.Mohamed和Duffy(1985)在分析并联机构时引入了螺旋理论,研究了支链运动与动平台运动之间的关系.Gosselin和Angles(1990)将并联机器人的雅克比矩阵拆分为分别与运动学正解和运动学逆解相关的两部分.孙立宁(2002)等和SijunZhu等运用影响系数的方法对并联机器人的雅克比矩阵进行了研究.Joshi和Tsai(2002)运用螺旋理论建立了少自由度并联机器人的约束雅克比矩阵和驱动雅克比矩阵.方跃法和Tsai(2003)利用螺旋理论的方法建立了少自由度串联机器人的雅克比方阵.李秦川、黄真等(2004)针对3R2T并联机构的自由度和结构特性,对这一类机构进行了满秩雅克比矩阵的建立.Merlet(2006)指出通过输入和输出速度方程得到的雅克比矩阵在位置误差分析时可能不满足要求.李永刚、宋轶民等(2007)给出了四自由度非对称并联机器人的6×6雅克比矩阵.本文作者在前人研究的基础上提出一种求解对称少自由度并联机器人雅克比方阵的新方法.首先利用螺旋理论分析单个支链的结构,找出支链中的驱动关节所对应的映射系数;然后根据不同的输入选取组合,对得到的映射系数进行分组,去除映射系数矩阵中非独立运动参数对应的列,得到满秩的映射系数矩阵;最后对映射系数矩阵求逆,即得到对称少自由度并联机器人的雅克比方阵.1开环支链的构成对称少自由度并联机器人由动平台、定平台和n(n<6)条结构相同的支链组成.假设机构的各个支链均为开环支链,且支链的数目等于动平台的自由度数目n,即每一个支链只有一个驱动输入.1.1支链的关节运动映射本文中并联机器人的动平台具有n(n<6)个独立的自由度,运用螺旋表示为＄Τ=[ωnvn]Τ.其中:ωn=[ωxωyωz]T为动平台相对于基坐标系的角速度,vn=[vxvyvz]T为动平台相对于基坐标系的线速度.因为所分析的并联机器人自由度n<6,所以在动平台的速度表示中存在某些非独立的衍生速度.对于并联机器人,动平台的运动是所有支链的关节运动向动平台映射的组合,这也等价于某一条支链的关节运动可以映射为动平台的某一个或某几个独立运动,即＄hiΤ=[＄i1＄i2⋯＄ij]˙qi(1)式中:$hiT表示支链i(i=1,2,…,n,n<6)的关节运动映射到动平台的不完全运动螺旋系,h为$hiT的维数,在非奇异的情况下,h=j,j为支链中基本运动副数目;˙qi=[˙θi1˙θi2⋯˙θij]Τ为第i条支链中的关节速度,˙θij为第i条支链中第j个关节的速度.由式(1)可知,支链i的螺旋系矩阵可以表示为Ji=[$i1$i2…$ij],这表示了支链的关节速度与动平台速度之间的映射关系.而此支链对动平台提供的约束螺旋$ri可以由互易积公式求得,即＄ij˚＄ri=0(2)式中:$ri=[Sri1Sri2…Sri6]T为第i个支链对动平台提供的约束螺旋系,维数为6-j.机构动平台与约束螺旋几何表示见图1.由于支链i映射到动平台的运动螺旋与各个分支所提供的约束螺旋是互逆的,即＄hiΤ˚＄ri=Sri4ωx+Sri5ωy+Sri6ωz+Sri1vx+Sri2vy+Sri3vz=0(3)由式(3)可知,针对某一条支链做分析时有6-j个约束方程,可以得到与此支链驱动相关的6-j个线性相关的动平台速度参数.因此,支链映射到动平台的线性无关的自由度参数为j,它们的选取取决于工作的要求.1.2cik为动平台的独立速度参数向支链ik的映射依据式(3)得到的独立速度参数,对支链螺旋系矩阵进行组合,得出此支链的关节运动与动平台独立速度参数之间的映射关系,即将式(1)变换为＄hiΤ(j×1)=J′i(j×j)˙qi(j×1)(4)当机构为非奇异位形时,支链i的螺旋系矩阵J′i(j×j)的秩总为j.在式(4)两边同时左乘以J′i(j×j)的逆矩阵,得qi(j×1)=J′-1i(j×j)＄hiΤ(j×1)(5)将式(5)展开,得[˙θi1⋯˙θik⋯˙θij]Τ=[Ci1⋯Cik⋯Cij]Τ＄hiΤ(j×1)(6)由式(6)可以得到Cik为动平台的独立速度参数向支链i的驱动关节˙θik的映射系数.2支链向动平台的映射并联机器人运动时,每个支链一般只有一个主动运动副,并且考虑动平台负重等因素,每个支链的主动副一般选在离定平台较近的位置.而机器人的雅克比矩阵则反映了机构广义输入速度到操作空间速度的传递关系.因并联机器人的各个支链形式相同且具有对称结构,所以各个支链向动平台的映射运动是相同的.当给定机构的类型,可以将各个支链向动平台的映射运动表示为相同的运动螺旋$hT=$hiT.选择各个支链中离定平台较近的运动副为主动副,则机构的广义输入速度为˙q=[˙θ1k⋯˙θik⋯˙θnk]Τ,其中k表示支链中的驱动副为第k个关节.每个支链i的驱动关节˙θik对应着一个映射系数Cik,将各个驱动关节对应的映射系数进行组合,得到一个n×j的映射系数矩阵J′(n,j)=[C1kC2k⋯Cik]Τ‚此映射系数矩阵满足q˙n×1=J′n×j＄Τ(j×1)h(7)由于动平台的运动是所有支链的关节运动向动平台的映射组合,所以各个支链向动平台的映射运动个数(即为$hT的维数)h肯定不小于机构的自由度n,即h≥n.在非奇异的情况下,支链向动平台的映射运动个数h与支链中基本运动副的个数j相同,h=j.情况1当j=n时,即机构的自由度数目与支链中关节的数目相同,由式(7)可知,支链向动平台的映射运动$hT即为机构的自由度运动$T,并且式(7)变为q˙n×1=J′n×n＄Τ(j×1)(8)在式(8)两边同时左乘J′n×n的逆矩阵,得＄Τ(n×1)=J′n×n-1q˙n×1(9)式(9)表示并联机器人各个支链的广义输入速度q˙与动平台的独立速度参数$T之间的映射关系,而J′n×n-1则为并联机器人此时的雅克比方阵.情况2当j>n时,即支链中的基本运动副数目大于动平台的自由度数目,由式(7)可知,支链向动平台的映射运动$hT存在线性相关,即机构的自由度运动$T是映射运动$hT的子集.考虑各个支链对动平台提供的所有约束螺旋对整个并联机构进行自由度分析,得到机构自由度的运动参数.比较映射运动$hT和自由度运动$T中的独立变量,可知映射运动中存在j-n个线性相关量.去除J′n×j中映射运动$hT的非独立参数所对应的列,得到整个机构的自由度螺旋系与各个支链驱动关节之间的映射关系,即q˙n×1=J′n×n＄Τ(n×1)(10)式(10)两边同时左乘J′n×n的逆矩阵,得＄Τ(n×1)=J′n×n-1q˙n×1(11)式(11)表示并联机器人各个支链的广义输入速度q˙与动平台的独立速度参数$T之间的映射关系,而J′n×n-1则为并联机器人此时的雅克比方阵.对于并联机器人,各个支链的不同驱动关节位置的选取对应着不同的映射系数Cij.在求解满秩雅克比矩阵时,首先将各个支链的驱动关节所对应的映射系数进行组合,得到映射系数矩阵J′n×j;然后考虑机构的自由度情况,获得满秩的映射系数矩阵并求逆,即得到并联机器人在给定的驱动组合和位形下的满秩雅克比矩阵J′-1n×n.33台-等边政策驱动关节的有限元分析以3-RPS并联机器人为例.图2中的3-RPS并联机器人具有动平台、定平台和3条结构相同的支链,动定平台皆为等边三角形的平台,它们的外接圆半径分别为R和r,并在初始位形时动定平台平行.每条支链皆由一个转动副R、一个移动副P和一个球面副S组成,取每条支链中的移动副作为驱动关节,如图2所示.3.1束螺旋系的运动原理在初始位形时动定平台平行,此时机构的动平台受到了3个支链提供的约束螺旋系$r1,$r2,$r3的组合作用.根据螺旋理论可知,动平台允许的运动螺旋为约束螺旋系$r1,$r2,$r3的反螺旋.机构末端操作器受到的约束螺旋系如图3所示,支链对动平台的约束螺旋为一个力线矢,且此力线矢过球面副的中心,方向垂直于移动副轴线.在初始位置时,机构的上下平台相互平行,3个力线矢共面不汇交地作用在动平台上.这样与平台平行的x和y方向的移动被约束,同时绕z轴的转动也被约束,所以平台可能的运动为沿z轴的移动和2个转动运动.再考虑力线矢对转动运动的约束,即当力线矢对转动螺旋的互易积不为零时,这个转动就受到约束.于是,只有同时与3个力线矢相交的直线才能作为转动轴线,即动平台可以绕在动平台平面内与x或y轴平行的直线转动.所以,机构在初始位形下,动平台允许的3个运动是:沿z方向的移动和绕动平台平面内的x和y轴的两个转动,即此时的机构自由度可以表示为ωx,ωy,vz.3.2运动螺旋按照机构运动学的原理,可以将球面副S表示为3个相交于一点的转动副.这样每一条支链就可以等效为4个转动副和1个移动副的组合,依次建立坐标系如图2所示.如图2所示,针对支链1的结构得到支链在坐标系A-x1y1z1下的运动螺旋系,即{＄11=[100;000]Τ‚＄12=[000;0α1β1]Τ‚＄13=[0α1β1;000]Τ‚＄14=[100;0L1β1L1α1]Τ‚＄15=[0β1-α1;-L100]Τ(12)则支链1在坐标系A-x1y1z1的螺旋系矩阵为J1A=[＄11＄12＄13＄14＄15](13)式中:上标A表示此处的雅可比矩阵是相对于坐标系A-x1y1z1建立的;α1,β1是螺旋$12和$13在y1、z1轴上的方向余弦,α1=(R-r)/L1,β1=1-α12.根据螺旋系在坐标系之间的变换要求,得到螺旋矩阵在固定坐标系下的表示,即J1Ο=[＄A1Ο]J1A=[1001000α10β100β10-α100-Rβ10Rα1-L10α10β1L10Rβ10R-α1L10](14)式中:[$OA1]表示螺旋系从A1坐标系转换到O坐标系下的转换矩阵.对支链1相对于固定平台的运动螺旋系$1=JO1求反螺旋,得支链1对动平台提供的约束螺旋系＄1r=[100;0β1L1R-α1L1]Τ(15)由于支链对动平台提供的约束螺旋与动平台的运动螺旋是互逆的,所以$r1。$T=0.将$T=[ωnvn]T代入$r1。$T=0,可得vx+β1L1ωy+(R-α1L1)ωz=0(16)由式(16)可知,vx,ωy,ωz之间线性相关,可以取这3个自由度变量中的2个变量为线性无关,而指定另外1个变量线性相关.另外,由于变量ωx,vy,vz没有在式(16)出现,可以认为它们是线性无关的.所以支链1的关节速度映射到动平台中,有5个线性独立的速度参数,这5个独立的运动参数有3种可能的组合,取这5个独立的运动参数为ωx,ωy,ωz,vy,vz,得到支链1映射到动平台的独立运动螺旋$h1T为＄Τh1=[ωxωyωzvyvz]Τ.根据独立运动螺旋$h1T,对螺旋矩阵JO1进行重新组合得到5×5的螺旋方阵J1(5×5),并且式(1)可以表示为＄Τ(5×1)h1=J′1(5×5)q˙1(5×1)(17)在式(17)两边同时左乘J′1(5×5)-1,得[θ˙11θ˙12θ˙13θ˙14θ˙15]=[Rα1-L1-L100β1-Lα1L1-Rβ100α1β10α1β100Rα1L100β1L1α1-L10β1-α100][ωxωyωzvyvz](18)从式(18)可知,动平台速度参数向支链1的驱动关节的映射系数为C12=[-Rβ100α1β1](19)同理分析支链2和3得到,动平台速度参数向支链2的驱动关节的映射系数为C22=[-12β2(4R-3f2)‚-3β2f22‚-3(-Rα2+(-1+β22)L2)‚2α2‚β2](20)动平台速度参数向支链3的驱动关节的映射系数为C32=[12β3(R-3α3L3)‚32β3(R+α3L3)‚3(-Rα+(β32-1)L3)‚2α3‚β3](21)3.33对称少自由度串联机器人的最简雅分析矩阵文中3-RPS机构选取各个支链的移动副作为驱动关节,得到动平台的独立运动参数向支链驱动关节的映射系数C12,C22,C32.将映射系数进行组合,得到此并联机构的映射系数矩阵为J′=[C12C22C32]T,其中J′满足[θ˙12θ˙22θ˙32]Τ=J′3×5[ωxωyωzvyvz]Τ(22)由此可知,支链中的基本运动副数目j大于机构的自由度n,即支链的映射螺旋系$hiT中存在线性相关量,并且自由度运动螺