华南师范大学考研数学分析试题汇总4082

2000年华南师范大学数学分析一、填空题（3*10=30分）a(1)nsinn,n1,2,,则lima_______,lima_______；1.设n4nnnnx,x为有理数2.设f(x)x,x为无理数xR,则f(x)在x____处连续；3.lim1xndx_____;1xn014.lim(sinxcosx)x_________;x0x3xc0(c为实常数)在区间[0,1]中至多有5.方程2_________个根；dx设I(x2a2)n(n1,n为自然数)，写出I的递推公式I_________________;6.nn1n1u(x,y)sinxcosyf(t)dt,f(t)是可微函数，则du___________;08.设f(x,y)在P0(2,0)处可微，且在P处指向P(2,2)的方向导数是1，指向原点的方向导数01是-3，则在P处指向P(1,2)的方向导数是_____________;02sinx________________________;9.写出函数在x=0处的幂级数展开式：210.曲线xacos3t,yasin3t,0t2的弧长s=___________________.limf(x)存在，证明：f(x)在[0,+∞)上可取得最大值或二、(12分)设f(x)在[0,+∞)上连续，x最小值.zxy2z2yf()所确定，其中f是可微函数，试证：三、(12分)设函数z=z(x,y),由方程2y(x2y2z2)2xyyz2xz.zx1n2n1n2n2n22n).lim(12分）求极限：2n四、（n（b1）(1)lna12分）已知a,b为实数，且1<a<b,证明不等式：alnb五、（.Ixdydzy2dzdxz3dxdy.其中xy2z21S是球面2六、(12分)计算曲面积分：S的外侧.u(x)0,在[a,b]上连续，n=1,2,…,u(x)在[a,b]上收敛于连续(10分)设七、函数f(x),证nnn1明：u(x)在[a,b]上一致收敛于f(x).nn12003年华南师范大学数学分析1lim((12分)求极限133511(2n1)(2n1)).一、nD(x,y):1x1,1y1,求积分yx2dxdy.二、(12分)设Dnx1n3x3三、(12分)证明在[a,b]上一致收敛(其中，0<a<b<+∞);在(0,+∞)上不一致收敛；n1nx在(0,+∞)上连续.1n3x3并证明：函数S(x)=n12型曲线积分y13dxxdy，其中，L:x2y21，取逆时针方向。2四、(12分)求第二333L(12分)f(x)是(a,+∞)上的连续函数，求证：如果limf(x)和limf(x)都存在五、(有限)，xax那么，f(x)在(a,+∞)上一致连续。问：逆命题是否成立？如成立，请证明之；否则，请举反例。(15分)设f(x,y)dx关于ycd一致收敛，[,][,]对于每个固定的ycd，f(x,y)六、而且，a关于x在[a,+∞)上单调减少。求证：当x时，xf(x,y)和f(x,y)关于y[c,d]一致函数地收敛于0.2004年华南师范大学数学分析a(11)n,n1,2,,证明数列a严格单调增加且收敛。1.(12分)设nnn1x2sin,x0的导函数，并讨论导函数的连续性。x0f(x)2.(12分)求函数x0,[2(1)n]n(x1)n的收敛半径和收敛域。3.(12分)求幂级数n2n11,x0f(x)4.(12分)求函数0x的Fourier级数，并由此求数列级数：0,1111(1)n的和。2n135，(a,b)，5.(12分)设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导(0<a<b)，f(a)≠f(b)，证明：存在lnblnaf()(ba)使得f()。B(M)是以M(x,y,z)为心，B(M)是以M0为心，r为r为半径的球，r06.(15分)r00000半径的球面，f(x,y,z)在R3上连续，证明：f(x,y,z)dxdydzf(x,y,z)dSddrB(M0)rB(M0)r2005年华南师范大学数学分析一、计算题（4*8=32分）1.求limcos(sinx)cosx.sin3xx02.求sec3xdx.xy223.求lim.y(x,y)(0,0)x22xdyydx.其中L：x2(y1)2R2,0R1,取逆时针方向。4.求4xy22L二、证明题（3*9=27分）1.证明：对a,bR,e212(eaeb)；ab2.设lima0，证明：limaaan0；12nnnn3.设f(x)在(0,1)上连续，limf(x)limf(x)，证明:f(x)在(0,1)内取到最大值.x0x1三、讨论题（2*8=16分）1111.讨论级数11111的敛散性。1112112131223456(2n1)(2n)333sinx2.设0,0，讨论dx的敛散性（包括条件收敛和绝对收敛）。x02006年华南师范大学数学分析limf(x3)存在，试证明：limf(x)limf(x3).1.(15分)假设x0x0x02.(15分)假设f(x)在[a,b]上为单调函数，试证明：f(x)在[a,b]上可积。3.(15分)假设nu(x)(n1,2,)在[a,b]上连续，级数u(x)在(a,b)上一致收敛，试nn1证明：(ii)u(x)在[a,b]上一致收敛。（i）u(a),u(b)收敛；nnnn1n1n1xy2f(x,y)4.(15分)假设2y0(x2y20),试证明:f(x,y)在(0,0)连续，且偏导2(x2y20)x数存在，但此点不可微。5.(15分)计算曲面积分Ix2dydzy2dzdxz2dxdy，其中s为锥面sx2y2z2(0zh)所示部分，方向为外侧。2007年华南师范大学数学分析n1.(15分)证明数列收敛，并求其极限.2n2.(15分)f(x)在x=0的邻域U(0)内有定义，且f(x)=f(-x).(1).(5分)如果f(x)在U(0)可导，证明f(0)0；(2).(10分)只假定f(0)存在，证明f(0)0.3.(15分)求积分：2sinnxdx,n0,1,2,.0x4.(15分)判别函数列f(x)1n2x2,x(,)的一致收敛性.nz2z.5.(15分)设x2y2z21，求和xx26.(15分)利用和分法求(1eax2)dx，其中a>0.x21部积分ex2dx0207.(20分)设L是平面区域的边界曲线，L光滑。u(x,y)在上二阶连续可微，用格林公式证明：2un2uu)dxdyyu(ds.其中n是L上的单位外法向量，nx22L是u沿n方向的方向导数.8.(20分)设f(x)的导函数()在[0,1]上连续，且f(0)>0，证明瑕积分fx1f(x)f(0)dx,(p1).当1<p<2时收敛，p2时发散.xp09.(20分)设f(x)在[0,+∞)上一致连续，且对任何x[0,1]，有limf(xn)0.证明：nlimf(x)0.x2008年华南师范大学数学分析一.(15分)设u0,limun1a,0a1,证明limu0.unnnnn列xS,使limxsupS.二.(15分)设SR为有界集，证明必存在数nnnx,x为有理数三.(15分)设f(x)x2x,x为无理数(1)证明若x0，则f在x处不连续；(2)计算f(0).四.(15分)设n为自然数，求不定积分nIxncosxdx的递推公式，并计算x3cosxdx.五.(20分)nxxn(1)设s(x)sin,x[0,3]，证明lims(x)s(1),并求s(1).x12n22n1(2)证明函数项级数(1cosx)cosnx在x=0的邻域U(0)内不一致收敛.n113六.(15分)求函数zarctan(y)在位于圆xy22x0上一点(,)处沿这圆222x周切线方向的方向导数（切线倾斜角的范围是0）。aa2(1)a2n10，证明方程满足七.(15分)设有n个实数a,a,,an1n312n1acosxacos3xacos(2n1)x0在区间(0,)中至少有一个根。212n八.(20分)设f(x)dx收敛，证明函数g()f(x)cos(x)dx在(,)上一致连续。九.(20分)设D(x,y)x2y2r2，L是D的边界曲线，L取逆时针方向为正向。D上的连续可微n是L的外法线方向上的单位向量，F（P(x,y),Q(x,y)）是定义在1r2向量函数，计算极限：limr0Fnds.L2009年华南师范大学数学分析一、(20分)设limf(x),limg(x)A,这里a,AR.用语言证明xaxalim[f(x)g(x)].xa的子列x满足limx。nnn二、(15分)设数列无上界。试证明存在xxnkkkkx,x0()1x2,F(x)1三、(20分)设，这里kR,求函数fx,x0xG(x)=f(x)-F(x)的导数，并判别函数G的单调性。四、(20分)求下列函数的偏导数或全微分：(),求2u1、uxyz；xz2、设函数f有一阶连续偏导数，求由方程f(x-y,y-z,z-x)=0所确定的函数z=z(x,y)的全微分。五、(15分)求圆锥面z2x2y2在圆柱体x2y2x内的那一部分面积。六、(20分)计算曲线积分Ixydxxydy,其中L是从点A(a,0)经过上yyx22x22Lx2y2半椭圆1(y0)到点(a,0)的弧段，这里a0,b0。a2b2n七、(20分)设正项级数a发散,aM.令Sa.nnnkn1k1aanSadxn1收敛；3).an发散S求证：1).n1;2).。Sxa1n1n1n1nnn八、(20分)设是区间I上定义的函数族。若0,0,当x,xI且xx时，对所有f,都有f(x)f(x)，则121212称函数族在区间I上等度连续。设函数列f(x)各项在[a,b]上连续，且f(x)在[a,b]上一致收敛于函数f(x),nn证明：函数列f(x)在[a,b]上等度连续。n2010年华南师范大学数学分析，求对y进行n阶求导得到的公式。1.已知y1xnx(1n)n2.已知(p0)，求p取不同值的敛散性。npnf(t)dt21f(t)dt，求f(x)的值。f(x)x2x23.已知00a收敛。4.在a数列中，存在M>0时，aaaM，证明n12nn5.已知函数f(x)在[a,+[a,+lim[f(x)g(x)]存在，证∞)上连续，g(x)在∞)上一致连续，x[a,+明f(x)在∞)上一致连续。6.f(x)在(-∞,0)上有f(x3)f(x),且limf(x)limf(x)f(1),x0x求证f(x)f(1),x(,0).时，有∞)上可微，当xa求f(x)f(a)g(x)g(a).8.f(x,y)在D内关于偏导数y连续，f(x,y)在D上存在且有界，求证f(x,y)在D上连续。xcos(l,n)ds0.9.已知一条封闭曲线L,n为它的外法向量,l是任意方向的向量，求证L第一章静力学基础一．填空题1．理论力学的任务是研究物体作机械运动的规律2．平衡是指（相对于地球）静止或作匀速直线运动.3．力是物体之间相互的机械作用，这种作用使物体的运动或形状发生改变。4．刚体是受力作用而不变形的物体。5．刚体受到两个力作用而平衡的充分必要条件是此两力等值、反向、共线。6．对刚体而言，力的三要素是大小、方向、作用线。7．对刚体而言，力是物体位移矢量。第二章平面汇交力系与平面力偶系一、填空题1．平面汇交力系平衡的几何条件是力多边形自行封闭。2．同一平面内两力偶的等效条件是两力偶矩矢量相等。3．研究平面汇交力系时,采用两种方法,即几何法和解析法。4．一个力F在某轴上的分力是量、投影是量。5．力偶使刚体转动的效果与矩心位置无关，完全由力偶矩决定。6．力偶可在作用平面内任意移动，也可向平行平面移动。三、计算题1．不计杆重，求图示结构中AB、AC两杆所受的力。ABPC第三章平面任意力系任意力系平衡的充要条件为：该力系的主矢和主矩同时为零。一、填空题1．平面2．平面平行力系独立的平衡方程有3个，可解3个未知量的问题。F,可以等效平移到刚体上任意点B，但必须附加一个力偶，此3．作用在刚体上A点的力附加力偶的矩等于。4．平面任意力系向一点简，化需要将力系中的各力简化到作用面内选定的一点上，该点称为简中化心。三、计算题50KN1．求图示简支梁A、B处的约束力。20KN/mABC4m2mFF9qa/2(),F7qa/2()4qa(),AXAyB第四章空间力系一、填空题1．空间力偶系的独立平衡方程有3个。2．在空间任意力系的简化结果中，当主矢主矩互相定位时，称为力螺旋。3．空间任意力系平衡的充分必要条件是：该力系的主矢和主矩分别为零。4．空间任意力系有3个独立的平衡方程。三、计算题1.如图所示，沿长方体正面的对角线作用一个力在三个坐标轴投影及对三个F，求此力坐标轴之矩。zCFybOxa第五章摩擦一、填空题1．摩擦角是全约束力与公法线的滑动方向（滑动趋势）。3．自锁现象是指：当当主动力的合力作用线落在摩擦角之内时，物体便一定平衡。三、计算题f1．如图所示，物块重为Q=20KN，水平推力P=20KN，接触面之间的摩擦因数0.45,SQ求摩擦力的大小。P300F10(31)kNf第六章点的运动学一、填空题1．已知点沿直线运动，其运动方程为：x2t23，x以m计，t以s计。则t=2s时，点的速度大小为8m/s，加速度大小为4m/s2。2．在自然法中，点的加速度在副法线方向的投影恒为零。MR3．点沿半径为的圆周运动，其速度为vktkM，是有量纲的常数。则点的全加速度为__静止或匀速直线运动___。4．在自然法中，法向加速度的大小等于点的时间除以方向，它的方向沿着主法线，指向曲率中心。第七章刚体的简单运动一、填空题1．刚体2．刚体作平移运动的特征是：刚体内任意一条直线始终与初始位置平行。时，如角速度和角加速度同号，则刚体作加速转动；如角速度作减速转动3．转动刚体内任一点的切向加速度的大小等于刚体的角加速度与该点到轴线垂直距大小等于刚体的角速度的平方与该点到轴线垂直距离作定轴转动和角加速度异号，则刚体。离的乘积；法向加速度的的乘积。第八章点的合成运动一、填空题1．在点的合成运动中，牵连速度是指动系上与动点相重合的那一点（或：牵连点）的速度，2．牵连点是某瞬时三、计算题上与相重合的那一点。1．如图所示，倾角为300的三角形物块以速度v沿水平线向右运动，带动从动杆AB0沿导槽在铅直方向运动。求此时杆AB上B点的速度。Bv0A解：33v0第九章刚体的平面运动一、填空题1．刚体2．若刚体作平面运动时，刚体内任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。在运动过程中，其上任一点到某一固定平面的距离保持不变，则该刚体作平面运动。3．平行于某固定平面作平面运动的刚体，其上任一条与此固定平面垂直的直线都作平移。三、计算题1．在图示四连杆机构中，已知曲柄长OA=2r，以匀角速度转动，AB=2r，BC=r。在图示瞬时，杆BC处于水平位置，杆AB处于铅垂位置，450，求此时杆BC的角速度和角加速度。BCO2lv解：v3v,BA第十章质点动力学的基本方程二、计算题1．如图所示，小球M自A点开始以S5sins2t的规律沿半径为r20cm的圆周运动（t1SmtS计，以计），求以时，小球受到的力。AsMC解：x12(m)；v8(m/s)；F4M（M为重物的质量）第十一章动量定理一、填空题1．动量是矢量，对于质点系来说，动量的方向和质心速度方向相同。2．无论质点系中的各质点如何运动，质点系的动量总是等于冲量与矢量的乘积。3．系统质心位置保持不变的条件是dpndI(e)。ii14．质点系的内力只能改变质点系内质心速度的运动，不能改变质点系的质点系总质量。三、计算题1．下列图中，图（a）为均质圆盘作定轴转动，图（b）为均质圆盘作纯滚动，图（c）为长度为L的均质杆作定轴转动。求其动量。2R3rLCR3oCOA(b)(c)(a)21（a）mR；（b）mr；（c）mL36第十二章动量矩定理一、填空题1．质点对某轴的动量矩等于质点到轴的距离和质点的动量在与轴垂直平面上的投影的乘积2．刚体对某轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量和转动角速度的乘积3．在所有平行轴中,刚体对质心轴的转动惯量最小.4．若作用于质点系的外力对某轴之矩保持不变，则质点系对该轴的动量矩保持不变。5．质点系的内力只能改变质点系内各质点的动量矩，而不能改变整个质点系的动量矩。6．刚体对某轴的转动惯量是转动刚体对对转动轴的惯性大小的