数学人教A版（2023）选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算（共32张ppt）

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1.1.1空间向量及其线性运算

第一章空间向量与立体几何

人教A版2023选修第一册

学习目标

1.经历向量及其运算由平面空间推广的过程，了解空间向量

的概念；

2.掌握空间向量的加法、减法、数乘运算及其表示；

3.掌握空间向量加法、减法、数乘的运算律；

4.借助向量的线性运算的学习，提升数学运算素养.

01复习回顾

PARTONE

起点

终点

定义

空间中既有大小又有方向的量叫做向量。

模长

记作

表示方法

（2）几何表示法：有向线段

（1）代数表示法：

空间向量的大小叫做空间向量的长度或模

复习回顾

（1）空间向量的加减法

a

b

a

b

O

A

B

C

复习回顾

(2)实数与向量的积

与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下：

①|λa|＝____.

②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向；当λ＝0时，λa＝0.

(3)空间向量数乘运算满足以下运算律

①λ(μa)＝______；②λ(a＋b)＝________；

③(λ1＋λ2)a＝_________.

相反

|λ||a|

(λμ)a

λa＋λb

λ1a＋λ2a

复习回顾

02共线向量

PARTONE

共线向量

探究：对任意两个空间向量a,b,如果a＝λb（λ∈R），a与b有什么位置关系？反过来，a与b有什么位置关系时，a＝λb

类似于平面向量共线的充要条件，对任意两个空间向量a，b（b≠0），a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb

（1）共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),

记作

共线向量

（2）共线向量定理

共线向量

如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，可知＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示.

（3）方向向量

方向向量

O

P

共线向量

由知存在唯一的t,满足

如图，l为经过已知点A且平行已知非零向量的直线，

对空间任意一点O,

所以

即

若在l上取则有

①和②都称为空间直线的向量表示式，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一决定.

l

A

B

P

O

若点P是直线l上任意一点，则

①

②

共线向量定理的推论

共线向量

特别的，当t=时，则

A

B

P

O

t

1-t

P点为A,B的中点

共线向量

A、B、P三点共线

总结

共线向量

－8

共线向量

2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且，F在对角线A1C上，且，求证：E，F，B三点共线.

解：设a，=b，=c，

∵，，∴，，而==b

∴=b，==.

∴,又,

∴=，即E，F，B三点共线.

共线向量

反思感悟向量共线的判定及应用

(1)判断或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，

使a＝λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的

线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达.

(2)判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：是否

存在实数λ，

03共面向量

PARTONE

共面向量

1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.

共面向量

思考：空间任意两个向量是共面向量，则空间任意三个向量是否共面？

不一定，如图所示，空间中的三个向量不共面.

共面向量

探究1：如果空间向量p与两个不共线向量a，b共面，那么可将三个向量平移到一个平面内，则有p＝xa＋yb

共面向量

探究2：对空间两个不共线向量a，b共面，有p＝xa＋yb，那么向量p与向量a，b有什么位置关系？

C

∵xa，yb分别与a，b共线

∴xa，yb都在a，b确定的平面内，且平行四边形也在a，b确定的平面内

∴p=xa+yb在a，b确定的平面内。

共面向量

三个向量共面的充要条件：向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在_____的有序实数对(x，y)__________

共面向量定理

唯一

p＝xa＋yb

推论：若已知点P在平面ABC内，则有＝＋y或

＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)

共面向量

P与A、B、C共面

总结

共面向量

1.(多选)对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，能得到

P，A，B，C四点共面的是（）

BC

共面向量

共面向量

3.(多选)下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（）

解析A选项中，3－1－1＝1，四点共面，

∴点M，A，B，C共面.

AC

共面向量

且M，A，B，C四点共面，

√

共面向量

5.如图,已知平行四边形ABCD,从平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使

证明：四点E，F，G，H共面

四点共面→有公共起点的三个向量共面

尝试用空间向量解决立体几何问题

共面向量

证明:

·

方法总结

选择恰当的向