樊昌信-通信原理(第七版)第二章-确知信号0929

12

本章内容:

第2章确知信号

信号类型信号频率性质信号时域性质

———周期~非周期型能量~功率型———频谱频谱密度能量谱密度功率谱密度———自相关函数互相关函数3目标要求基本要求信号的分类；掌握确知信号的频域分析法；理解确知信号频谱的物理意义；掌握确知信号的能量谱和功率谱的定义；理解确知信号自相关函数和互相关函数的定义和性质；理解确知信号相关函数与谱密度的关系。4重点、难点重点：

1、频谱密度的概念；

2、周期信号频谱的特点和意义；

3、相关函数与谱密度的关系。难点：相关函数与功率谱密度的计算。目标要求5

2.1确知信号的类型

2.2确知信号的频域性质

2.3确知信号的时域性质

2.4小结主要内容6

确知信号类型§2.172.1确知信号的类型信号的分类：1、确知信号和随机信号2、周期信号和非周期信号3、连续信号和离散信号4、能量信号和功率信号5、单位冲激函数确知信号与随机信号可以用明确数学关系式描述的信号称为确知信号。不能用数学关系式描述的信号称为非确知信号。9每隔一定的时间间隔按相同规律重复且无始无终。周期信号：非周期信号：何谓确知信号？确知信号分类——根据信号的不同特征，可将信号进行不同的分类。满足上式的最小T0（T0>0）

称为信号的基波周期。1.按照是否具有周期重复性区分……瞬态信号，符号函数、单位冲击信号、单位阶跃信号等T0——信号的周期，T0>0;f0=1/T0称为信号的基频。1011简单周期信号复杂周期信号非周期信号准周期信号由多个周期信号组成,但各信号频率不成公倍数。12如果包含有n个不同频率余弦分量的角频

率w1:w2:…:wn=m1:m2::…:mn,其中mi是正整数，则该复合信号是一个周期为

如果复合信号中某分量频率为无理数，则该信号是非周期信号

例如的信号，就是个非周期信号

3.非确知信号：不能用数学式描述，其幅值、相位变化不可预知，所描述物理现象是一种随机过程。噪声信号(平稳)噪声信号(非平稳)能量信号和功率信号在通信理论中，把功率定义为在单位电阻上(1Ω)消耗的功率（归一化功率）。这样，电流的平方和电压的平方都等于功率。能量信号和功率信号用s(t)代表时间t时刻的电流或电压，则s2(t)代表瞬时功率，信号能量为：如果信号能量的值有限，则信号s(t)为能量信号。其特征：信号的振幅和持续时间均有限，非周期性。例如，单个矩形脉冲。在所分析的区间，能量为有限值的信号称为能量信号，满足条件：一般持续时间有限的瞬态信号是能量信号。在所分析的区间（-∞，∞），能量不是有限值。此时，研究信号的平均功率更为合适。若信号的平均功率是一个正的有限值，即则称此信号为功率信号。其特征是：信号的持续时间无限。例如：直流信号、周期信号和随机信号。一般持续时间无限的信号都属于功率信号。192.按照信号能量是否有限区分能量平均功率能量信号：功率信号：例如，单个矩形脉冲。例如：直流信号、周期信号和随机信号。注意：能量信号和功率信号的分类对于确知信号和非确知信号都适用。20例：信号，其中a>0；说明此信号为能量信号或功率信号。

例：信号，其中a>0；说明此信号为能量信号或功率信号。解析：计算x(t)的总能量因为x(t)的能量有限，此信号为能量信号。

例：信号

；说明此信号类型。例：信号

；说明此信号类型。解析：计算x(t)的总能量计算x(t)的平均功率

由以上得知x(t)的能量和平均功率皆为

，因此此信号既非

能量信号也非功率信号。

注意：此例题表明某些信号既不是能量信号，也不是功率信号。周期信号是功率信号？对任意周期为T0的周期信号，其能量为：因此，周期信号不是能量型信号，其功率为周期信号功率等于该信号一个周期内的平均功率26

确知信号的频域性质§2.227信号和函数的基本关系阶越信号冲激信号门函数28信号和函数的基本关系29信号和函数的基本关系(3)欧拉公式30信号和函数的基本关系(4)基本三角公式31信号和函数的基本关系(3)积化和差公式确知信号的频域特性

确知信号在频域中的性质，即频率特性，由其各个频率分量的分布表示。

它是信号最重要的性质之一，和信号的占用频带宽度和信号的抗噪声能力有密切的关系。信号的频率特性有4种：1.功率信号的频谱2.能量信号的频谱密度

3.能量信号的能量谱密度4.功率信号的功率谱密度33确知信号的傅里叶变换及推导三角形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数傅里叶变换

周期函数的傅立叶级数三角函数形式：

指数形式：将时域周期型号转换为频域的频谱信号362.2.1

功率信号的频谱周期性功率信号的频谱：通过傅立叶级数和傅立叶变换来进行分析。对于周期（T0）功率信号s(t)，可展成指数型傅里叶级数：

其中，傅里叶级数的系数（频谱函数）为：|Cn|---

n

---相位谱随频率（nf0）变化的特性称为信号的幅度谱37当n＝0时，有它表示信号的时间平均值，即直流分量。38|Cn|——振幅（谱），

n——相位（谱）；，直流分量（n＝0）。

傅立叶系数Cn反映了信号中各次谐波的幅度值和相位值，因此，称Cn为信号的频谱。Cn一般表示为复数形式。傅立叶级数的系数39n102345-2-1-3-4-5|Cn|(a)振幅谱102345-2-1-3-4-5n

n(b)相位谱对于物理可实现的实信号，有周期功率信号频谱的性质403、周期实信号的另一种展开形式：三角形式的傅立叶级数。利用频谱正、负频率存在“负数共轭”的关系，将式（2.2－5）代入式（2.2－2），得到式中41上式（2.2－8）表明：1、实信号可以表示成包含直流分量C0、基波（n=1时）和各次谐波（n=2,3,…）。2、实信号s（t）各次谐波的振幅为，但仅有正频率，物理上将实信号的频谱称为单边谱。

3、实信号s（t）各次谐波的相位等于

。4、数学上频谱函数的各次谐波的振幅等于

，

【2-1】试求下图所示周期性方波的频谱。0T-Tt

Vs(t)例解该周期性方波的周期T，脉宽

，脉福V。可表示为：43

【2-1】试求下图所示周期性方波的频谱。0T-Tt

Vs(t)例解该周期性方波的周期T，脉宽

，脉福V。可表示为：其频谱：44

【2-1】试求下图所示周期性方波的频谱。0T-Tt

Vs(t)例解该周期性方波的周期T，脉宽

，脉福V。可表示为：其频谱：45

【2-1】试求下图所示周期性方波的频谱。0T-Tt

Vs(t)例解该周期性方波的周期T，脉宽

，脉福V。可表示为：其频谱：抽样函数46Cn因为信号为偶函数，因此其频谱Cn是实函数，故可以得到此信号的傅立叶级数表示式为：47T-Tt0

Vs(t)

【2-2】试求下图所示周期性方波的频谱。例解该信号可表示为：48T-Tt0

Vs(t)

【2-2】试求下图所示周期性方波的频谱。例解可见：此信号不是偶函数，所以其频谱Cn是复函数。该信号可表示为：其频谱：积分的上下限发生变化。49例子：试求下图中周期波形的频谱。t1s(t)解：50例子：试求下图中周期波形的频谱。t1s(t)解：根据式（2.2－1）可以求出其频谱为：信号波形为偶函数，因此其频谱Cn是实函数51周期信号的傅立叶变换非周期信号的傅立叶变换

幅度频谱：相位频：522.2.2

能量信号的频谱密度频谱密度的定义：——能量信号s(t)的傅里叶变换：S(f)的逆傅里叶变换为原信号：

即能量信号可以分解为无数个频率为f，复振幅为

的指数信号

的线性组合。532.2.2

能量信号的频谱密度频谱密度的定义：——能量信号s(t)的傅里叶变换：S(f)的逆傅里叶变换为原信号：能量信号的能量有限，并分布在连续频率轴上，所以在每个频率点f上信号的幅度是无穷小；只有在一小段频率间隔df上才有确定的非零振幅。功率信号的功率有限，但能量无限，它在无限多的离散频率点上有确定的非零振幅。542.2.2

能量信号的频谱密度频谱密度的定义：——能量信号s(t)的傅里叶变换：S(f)的逆傅里叶变换为原信号：能量信号的能量有限，并分布在连续频率轴上，所以在每个频率点f上信号的幅度是无穷小；只有在一小段频率间隔df上才有确定的非零振幅。功率信号的功率有限，但能量无限，它在无限多的离散频率点上有确定的非零振幅。S(f)和Cn的主要区别：S(f)是连续谱，Cn是离散谱；S(f)的单位是V/Hz，而Cn的单位是V。注意：针对能量信号讨论问题时，常把频谱密度简称为频谱。55

——负频谱和正频谱的模偶对称，相位奇对称，即复数共轭。因为：2.2.2

能量信号的频谱密度频谱密度的定义：——能量信号s(t)的傅里叶变换：S(f)的逆傅里叶变换为原信号：S(f)和Cn的主要区别：S(f)是连续谱，Cn是离散谱；S(f)的单位是V/Hz，而Cn的单位是V。实能量信号频谱密度和实功率信号频谱的共同特性：56n102345-2-1-3-4-5|Cn|(a)振幅谱102345-2-1-3-4-5n

n(b)相位谱实信号频谱密度S（f）和实功率信号频谱Cn的共同特性：负频谱和正频谱的模偶对称，相位奇对称，即频谱密度的正频率和负频率成复数共轭。如下式：57

【2-3】试求单位门函数:的频谱密度。例1t0ga(t)58

【2-3】试求单位门函数:的频谱密度。Ga(f)f1/

2/

-2/

-1/

0例其傅里叶变换为解1t0ga(t)59矩形脉冲的带宽等于其脉冲持续时间的倒数，在这里它等于(1/

)Hz。

【2-3】试求单位门函数:的频谱密度。Ga(f)f1/

2/

-2/

-1/

0例其傅里叶变换为解1t0ga(t)60

【2-4】试求单位冲激函数(

函数)的频谱密度。例解

函数的定义：

函数的频谱密度：61

【2-4】试求单位冲激函数(

函数)的频谱密度。例一个高度为无穷大、宽度为无穷小、面积为1的脉冲。解

函数的定义：

函数的频谱密度：

函数的物理意义：62

函数的性质①

式中k越大、振幅越大、波形零点的间隔越小、波形振荡的衰减越快，但积分等于1，即如左图所示。可以证明ttt63

单位冲激函数

（t）的频谱密度等于1。f

（f）10t

（t）0单位冲激函数的波形和频谱密度

函数的性质②：64

函数的性质3：

函数是在

t=t0时刻对f（t）的抽样。证明：上式积分的物理意义：可以看作是用

函数在

t=t0时刻对f（t）的抽样。又因为单位冲激函数是偶函数，即有

（t）=

（-t），则有：函数的筛选性质65

函数的性质4：

函数也可以看作是单位阶跃函数的导数。10t

单位阶跃函数单位阶跃函数的定义：即：用函数可以表示功率信号的频谱密度。信号分析中非常有用：可以把功率信号当作能量信号看待，计算其频谱密度。66

【2-5】试求无限长余弦波的频谱密度。例解设余弦波的表示式为s(t)=cos2

f0t，则其频谱密度S(f)为67t(a)余弦波形

【2-5】试求无限长余弦波的频谱密度。例解设余弦波的表示式为s(t)=cos2

f0t，则其频谱密度S(f)为f0－f00(b)频谱密度利用则有参照式（2.2－28）68

引用了冲激函数，就能把频谱密度的概念推广到功率信号上。这在信号分析中非常有用——可以把功率信号当作能量信号看待，计算其频谱密度。

f0－f00频谱密度t波形692.2.3

能量信号的能量谱密度定义：G(f)=|S(f)|2——用来描述信号的能量在频域上的分布情况。设能量信号s(t)的傅里叶变换（即频谱密度）为S(f)，能量——Parseval定理则其能量谱密度G(f)为：帕塞瓦尔能量守恒定理70信号的能量既可以通过时间函数来计算，又可以通过频谱函数来计算，这体现了能量信号的能量在时域与频域中保持守恒。信号

s(t)

的能量谱密度为：表示在频率f处宽度为的频带内的信号能量。71信号的能量既可以通过时间函数来计算，又可以通过频谱函数来计算，这体现了能量信号的能量在时域与频域中保持守恒。信号

s(t)

的能量谱密度为：表示在频率f处宽度为的频带内的信号能量。72

【2-6】试求例【2-3】中矩形脉冲的能量谱密度。例解在例【2-3】中，已经求出其频谱密度：故其能量谱密度为:

73矩形脉冲的带宽等于其脉冲持续时间的倒数，在这里它等于(1/

)Hz。

【2-3】试求单位门函数:的能量谱密度。Ga(f)f1/

2/

-2/

-1/

0例其傅里叶变换为解1t0ga(t)频谱密度函数74

【2-6】试求例【2-3】中矩形脉冲的能量谱密度。例解在例【2-3】中，已经求出其频谱密度：故其能量谱密度为:

752.2.4

功率信号的功率谱密度定义：——用来描述信号的功率在频域上的分布情况。由于功率信号具有无穷大的能量，所以不能计算功率信号的能量谱密度。但是功率信号的功率是有限的，所以可以求出它的功率谱密度。信号s(t)的功率谱密度P(f)定义为：功率——Parseval定理式中，ST(f)为截断信号sT(t)的傅里叶变换。首先将功率信号进行截短为周期等于T，T/2<t<T/2，这样这样功率信号就变成了一个能量信号。个能量信号ST(t)76|Cn|为周期信号第n次谐波（频率为nf0）的振幅。|Cn|2是第n次谐波的功率。|Cn|2随nf0分布的特性称为周期信号的功率谱。对于周期信号，其功率谱密度也可以用|Cn|表示77

【2-7】试求例【2-1】中周期性信号的功率谱密度。例解该周期性方波的周期T，脉宽

，脉福V。可表示为：0T-Tt

Vs(t)频谱：求该信号的功率谱密度:

78

【2-7】试求例【2-1】中周期性信号的功率谱密度。例解在例【2-1】中，已经求出该信号的频谱：可得该信号的功率谱密度:

由式79

确知信号的时域性质§2.3——可由自相关函数或互相关函数来描述802.3.1能量信号的自相关函数定义：性质：自相关函数

R(

)和时间

t无关，只和时间差

有关；当

=0时，R(0)等于信号的能量：R(

)是

的偶函数：

自相关函数R(

)（时域）

和其能量谱密度（频域）|S(f)|2是一对傅里叶变换：物理意义：自相关函数反映了一个信号与延迟

后的同一信号间的相关程度。81对自相关函数求傅里叶变换，即令t’=t+

代入上式，得式中为能量信号s（t）的频谱密度证明：82因为一般来说s（f）是复函数，所以可以令式中A（f）和B（f）为实函数。并且，对于实能量信号，其频谱密度的正频率部分和负频率部分有负数共轭关系。则其中为能量谱密度所以自相关函数和其能量谱密度构成一对傅里叶变换832.3.2功率信号的自相关函数定义：性质：当

=0时，R(0)等于信号的平均功率：R(

)也是

的偶函数；

R(

)和功率谱密度P(f)

是一对傅里叶变换：对于周期功率信号84

【2-8】试求周期性余弦信号s(t)=Acos(

0t+

)的自相关函数

、功率谱密度和平均功率。例85

【2-8】试求周期性余弦信号s(t)=Acos(

0t+

)的自相关函数

、功率谱密度和平均功率。例解对上式作傅里叶变换，则可得此余弦信号的功率谱密度:利用积化和差三角函数公式，上式变为:信号的平均功率:自相关函数：86试求周期性信号s(t)=Acos(t+

)的自相关函数。【解】先求功率谱密度，然后对功率谱密度作傅里叶变换，即可求出其自相关函数。求功率谱密度：结果为求自相关函数：

R(

)和功率谱密度P(f)

是一对傅里叶变换：872.3.3能量信号的互相关函数定义：性质：

R12(

)和时间

t无关，只和时间差

有关；

R12(

)

和两个信号相乘的前后次序有关：互相关函数R12(

)

和互能量谱密度S12(f)是一对傅里叶变换：互能量谱密度的定义:88【证】令x=t+

，则互相关函数R12(

)和互能量谱密度S12(f)是一对傅里叶变换互能量谱密度的定义为：证明:892.3.4功率信号的互相关函数定义：性质：若两个周期性功率信号的周期相同，则其互相关函数可以写为:

R12(

)和时间

t无关，只和时间差

有关；

R12(

)

和两个信号相乘的前后次序有关：R12(

)和其互功率谱C12之间也有傅里叶变换关系：互功率谱定义：90小结能量信号、功率信号确知信号再频域中的四种性质：频谱、频谱密度、能量谱密度、功率谱密度确知信号在时域中的特性：自相关函数和互相关函数91

【2-6】试求例【2-3】中矩形脉冲的能量谱密度。例解在例【2-3】中，已经求出其频谱密度：故其能量谱密度为:

92

【2-6】试求例【2-3】中矩形脉冲的能量谱密度。例解在例【2-3】中，已经求出其频谱密度：故其能量谱密度为:

932.4功率信号功率谱密度首先将信号s（t）截短为周期等于T的一个截短信号,-T/2<t<T/2，这样就成为了一个能量信号。由于功率信号具有无穷大的能量，所以不能计算功率信号的能量谱密度。但是，可以求出他的功率谱密度。则功率谱密度定义如下：3、确知信号的时域性质确知信号在时域中的性质主要有自相关函数和互相关函数。下面将介绍他们的定义和基本的性质95|Cn|为周期信号第n次谐波（频率为nf0）的振幅。|Cn|2是第n次谐波的功率。|Cn|2随nf0分布的特性称为周期信号的功率谱。对于周期信号，其功率谱密度也可以用|Cn|表示96

【2-7】试求例【2-1】中周期性信号的功率谱密度。例解该周期性方波的周期T，脉宽

，脉福V。可表示为：0T-Tt

Vs(t)频谱：求该信号的功率谱密度:

97

【2-7】试求例【2-1】中周期性信号的功率谱密度。例解在例【2-1】中，已经求出该信号的频谱：可得该信号的功率谱密度:

由式98

确知信号de时域性质§2.3——可由自相关函数或互相关函数来描述992.3.1能量信号的自相关函数定义：性质：自相关函数

R(

)和时间

t无关，只和时间差

有关；当

=0时，R(0)等于信号的能量：R(

)是

的偶函数：自相关函数R(

)（时域）

和其能量谱密度（频域）|S(f)|2是一对傅里叶变换：物理意义：自相关函数反映了一个信号与延迟

后的同一信号间的相关程度。100对自相关函数求傅里叶变换，即令t’=t+

代入上式，得式中为能量信号s（t）的频谱密度证明：101因为一般来说s（f）是复函数，所以可以令式中A（f）和B（f）为实函数。并且，对于实能量信号，其频谱密度的正频率部分和负频率部分有负数共轭关系。则其中为能量谱密度所以自相关函数和其能量谱密度构成一对傅里叶变换1022.3.2功率信号的自相关函数定义：性质：当

=0时，R(0)等于信号的平均功率：R(

)也是

的偶函数；

R(

)和功率谱密度P(f)

是一对傅里叶变换：对于周期功率信号103

【2-8】试求周期性余弦信号s(t)=Acos(

0t+

)的自相关函数

、功率谱密度和平均功率。例解对上式作傅里叶变换，则可得此余弦信号的功率谱密度:利用积化和差三角函数公式，上式变为:信号的平均功率:自相关函数：104试求周期性信号s(t)=Acos(t+

)的自相关函数。【解】先求功率谱密度，然后对功率谱密度作傅里叶变换，即可求出其自相关函数。求功率谱密度：结果为求自相关函数：

R(

)和功率谱密度P(f)

是一对傅里叶变换：1052.3.3能量信号的互相关函数定义：性质：

R12(

)和时间

t无关，只和时间差

有关；

R12